ベクトル関数がベクトルの和であるときの微分

ベクトル関数がスカラー関数のときの微分は\begin{align}\frac{d \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}{dt}=\frac{d \boldsymbol{A}}{dt}+\frac{d \boldsym

ベクトル関数がスカラー関数のときの微分

ベクトル関数がスカラー関数のときの微分は\begin{align}\frac{d \boldsymbol{K}}{dt}=0\end{align}となる。

ベクトルの不定積分

ベクトル\(\boldsymbol{A}(t),\boldsymbol{B}(t)\)について\begin{align}\frac{d \boldsymbol{A}(t)}{dt}=\boldsymbol{B}(t)\end{align}の

連続の式とは

次の式を連続の式という。\begin{align}\frac{\partial \rho}{dt} + \mathrm{div} (\rho \boldsymbol{v})=0\end{align}

ベクトルの微分

ベクトルの微分は各成分ごとに微分したものと等しい。即ち\begin{align} \frac{d \boldsymbol{A}(t)}{dt}=\frac{dA_x(t)}{dt} \boldsymbol{i}+\frac{dA_y(t)}

静電場と静電ポテンシャル

静電場\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\)について、\begin{align}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=- \nabla \phi (\boldsymbol{r})\end

自由落下の式を導出する

ニュートンの運動方程式\begin{align}m \frac{d^2x(t)}{dt^2} =F\end{align}および自由落下を行っている物体に掛かる力\begin{align}F=-mg\end{align}より\begin{al

ベクトル関数の微分

ベクトル関数の微分\(A(t)\)の微分係数は\begin{align}\frac{dA(t)}{dt}=\lim_{\delta t \to 0} \frac{A(t + \delta t)-A(t)}{\delta t}\end{ali

畳み込み積分のラプラス変換

畳み込み積分のラプラス変換は次のようになる。\begin{align} \mathcal{L}&=\int_0^{\infty}e^{-st}\int_0^tf(u)g(t-u)dudt \\&=\int_0^{\infty

ラプラス変換の線形性

定義に従い計算すれば良い。\begin{align}\mathcal{L} & =\int_0^\infty e^{-st} (a f(t) + b g(t)) dt \\& =a \lim_{p \to \infty}

ベクトル関数の定義

ある実数\(t\)によってベクトル\(A\)が定まる時、これをベクトル関数といい\(A(t)\)と書く。\(A(t)\)の変数が\(A_x,A_y,A_z\)であれば\begin{align}A(t)=A_x(t) \boldsymbol{

合同数と3次方程式が有理数解を持つ条件

合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成す

合同数と平方数

合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成す

電圧源について

回路に電気エネルギーを供給する素子を電源という。外部にどんな負荷を接続しても一定の電流を出力する電源を電圧源という。理想電圧源の内部抵抗は零である。電圧源に接続された抵抗を小さくすることを考える。オームの法則より、\begin{align}

ラプラス変換の定義

区間\((0,\infty]\)で定義された関数\(f(t)\)について次の無限積分\begin{align}\lim_{T \to \infty} \int^{T}_{0} e^{-st} f dt = \int_0^\infty e^{

合同数と楕円曲線の関係

合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば\begin{align

合同数である条件を定式化

\(n\)が合同数であるとは\begin{align}\begin{cases}x^2+y^2=z^2\\\frac{xy}{2}=n\end{cases}\end{align}となる有理数\(x,y,z\)が存在することである。

合同数とは

3辺の辺の長さが有理数であるような直角三角形の面積を合同数という。例：底辺を\(\frac{3}{2}\)、高さを\(\frac{20}{3}\)とすると斜辺は\begin{align}c&=\sqrt{\left ( \frac{

what if

もし～だったらどうなるか

5^100000の一の位の数

\(5 \times 5\)が\(25\)であることから\(5\)

集合の分配律 1

集合の演算において、次の分配率が成り立つ。\begin{align}A \cup (B \cap C)\end{align}証明\begin{align}x \in A \cup (B \cap C) & \Leftrightarr

2^100の1の位の数

\(2^100\)を計算したときの1の位の数を求める。1の位に注目すると\begin{align}2,4,8,6,2,4 \cdots \end{align}と続く。4個の繰り返しなので25回の繰り返しが現れる。余りはないので1の位の数は6

三角関数の近似式 2

十分小さい正の角度\(\theta\)について、\(\cos \theta\)は\(\tan \theta \)を用いて\begin{align}\cos \theta \approx 1 - \frac{\tan^2 \theta}{2}

三角関数の近似式

\(tan \theta\)は\(\cos \theta \)を用いて十分小さい正の角度\(\theta\)について\begin{align}\tan \theta \approx \sqrt{2(1- \cos\theta)} \end{

電荷分布が与えられているときのrだけ離れた場所の静電ポテンシャル

電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)が与えられているときの\(\boldsymbol{r}\)だけ離れた場所の静電ポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{r})\)は\begin{align}\phi(\bol

rだけ離れた場所の静電ポテンシャル

点電荷\(Q\)から\(\boldsymbol{r}\)だけ離れた場所の静電ポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{r})\)は\begin{align}\phi(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon \b

対数積分とコーシの主値

対数積分\begin{align}\mathrm{Li} (x) = \int_0^x \frac{1}{\log t} dt\end{align}は\(t=1\)で特異点を持つのでコーシの主値を使って\begin{align}\mathr

n以下の自然数に含まれる素数の数について

リーマンの論文によれば、n以下の自然数に含まれる素数の数は\begin{align}\pi (x) =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\mu(m)}{m} \left ( \mathrm{Li}(x^\frac{1}{m

n以下の数の中に2と3の倍数はいくつ含まれるか

\(A\)を2の倍数、\(B\)を3の倍数とすると\(A,B\)はそれぞれ\begin{align}n(A)= \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \\n(B)= \left \lfloor \

even if

例え～でも例：・Even if you don't like food, you have to eat .

積分をしてみる

\begin{align}\int \left ( \frac{x+2}{x} \right )^2 dx &= \int \left (1 + \frac{2}{x} \right )^2 dx \\&= \int

虚数の虚数乗

オイラーの公式より\begin{align}e^{\frac{\pi}{2}i}= \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}=i\end{align}両辺を\(i\)乗して\begin{align}

作図できる図形であるかどうか

コンパスと定規を使って作図できる図形であるとき、その図形は1次もしくは2次方程式で表現できる。

MATLABで分散を逐次計算しようとしてうまくいかなかった話

MATLABで分散を逐次計算しようとしてうまくいかなかった。分散の逐次計算は\begin{align}\sigma_{n+1}^2=\dfrac{n(\sigma_n^2+\mu_n^2)+x_{n+1}^2}{n+1}-\mu_{n+1}

MATLABで平均を逐次計算する

平均は\begin{align}\mu_{n+1} = \frac{1}{n+1} (n \mu_n + x_{n+1})\end{align}で逐次計算できる。以下コードN=10;x=1:1:N;mu=zeros(1,N);mu(1,1)

MATLABでベルヌーイ数を求める

これの続きN=6;B=zeros(1,N);B(1,1) = 1;disp(B(1,1));for i = 2:1:N B(1,i) = getBernoulliNumber(i, B); disp(B(1,i));endfun

MATLABで素数の逆数和を計算する

素数の逆数和は\begin{align}P=\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ \cdots = \infty\end{align}となる。これを計算する。以下コードN=100;zeros(1,N);for i=1:1:N

部分分数分解の公式 その1

\(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\)は次の関係がある。\begin{align}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}=\frac{n}{n(n-1)} - \frac{n-1}{n(n-1)}=\

MATLABで素因数分解をする

これの続きnum = input('数字を入力してください: ');fprintf('入力された数字 -> %d\n', num);PrimeFactorization(num);functio

Switch版のCLANNADは英語でも遊べる

Switch版のCLANNADは日本語と英語のどちらの言語でも遊べて、ボタンひとつで言語切り替えができます。これは冒頭のシーン。設定のところから言語変更ができます。タッチ操作とマイナスボタンでの切り替えも対応値段は5000円くらい。こ...

MATLABのisprimeの速度を比較してみた

以下のソースコードで速度を比較。n=15のとき自作関数：0.002isprime:0.0049n=150のとき自作関数：0.0051isprime:0.0055なお自作のmyisprimeで判定できるのは150程度までn = 15;coun

MATLABで素数の数を求める

これのMATLAB版n = 15;count = 0;for i = 1:n disp(); count = count + isprime(i);enddisp();function p = isprime(n) k =

MATLABで多項式を解く

polynomialに生成した多項式を放り込んでsolveで解を求める。coefficientsには高い順に係数を入れればいい。今の例だと\(x^2+5x+6=0\)を解く。coefficients = ;syms x;polynomial

MATLABで素数定理を確認する

primesを使えば簡単。n_min = 2;n_max = 1000;x = n_min:1:n_max;p_count=zeros(size(x));pi_n = x ./ log(x);for i=1:1:length(x) p

C++で回転行列を計算する

angleとaxisを指定すれば計算できる。#define _USE_MATH_DEFINES#include <iostream>#include <cmath>double** getRotationMatrix

MATLABでスターリングの公式を計算する

スターリングの公式は\begin{align}n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \end{align}で表される。以下コード。stirling(3)function re

ChatGPTでMATLAB用の最急降下法の学習係数最適化プログラムを生成した

ChatGPTでMATLAB用の最急降下法の学習係数最適化プログラムを生成した。合ってるかは不明。% 3変数のラインサーチのサンプルコード（gradを使用しない）% 目的関数（Rosenbrock関数）fun = @(x) 100*(x(2

MATLABで楕円曲線を描く

今回描く楕円曲線は\begin{align}y^2=x^3-x\end{align}解は複素数になるときもあるが、今回は実平面との交点のみを描く。ルートの中身\begin{align}x^3-x\end{align}が正になるときだけ描画す

差集合の定義

集合\(A\)に属して\(B\)に属さない集合を差集合といい\begin{align}A-B=\{x x \in A \land x \not \in B \}\end{align}と表す。

集合族の定義

集合を元とする集合を集合族という。例えば\(A\)を集合として\(A\)の各要素に\(B_i\)が対応しているとする。この時この集合族を\begin{align}\{ B_{i} \} _{i \in A}\end{align}などと表し、

MATLABでL0ノルムを求める

L0ノルムの定義\begin{align}L_0=\sum_{i=1}^n\delta(x_i),\quad \delta(x_i)=\begin{cases}1\hspace{5mm} (x_i \neq 0)\\0\hspace{5mm

部分集合を使った集合の相等

集合\(A,B\)について、\(A \subset B\)かつ\(B \subset A\)のとき\(A\)と\(B\)は等しいといい\(A = B\)と表す。

L0ノルムとは

ベクトル内の非ゼロ要素の数を表すノルムで\begin{align}L_0=\sum_{i=1}^n\delta(x_i),\quad \delta(x_i)=\begin{cases}1\hspace{5mm} (x_i \neq 0)\\

ChatGPTが生成した数学の問題を解いてみる

\(2x + 5 = 13\)の解を求めよ。\begin{align}x=4\end{align}長方形の一辺が4cm、もう一辺が7cmの場合、その面積を求めよ。\begin{align}28 \mathrm{cm}\end{align}三

水圧管路を有する水力発電所の出力

水圧管路を有する水力発電所の出力\(P\)を求める。はじめに水力発電所出力\(P\)は流速を\(Q\)、有効落差を\(H\)とすれば\begin{align}P=gQH \eta\end{align}となる。水圧管内の流速\(v\)は流速係

√2が無理数である証明

\(\sqrt{2}\)が無理数でないと仮定すると\(\sqrt{2}\)は有理数となる。今互いに素な自然数\(m,n\)を用いると\(\sqrt{2}\)は\begin{align}\sqrt{2}=\frac{m}{n}\end{ali

MATLABでディリクレ核を描画する

ディリクレ核\begin{align}D_n(x)=1+2\sum_{k=1}^{n} \cos (kx) = \frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}\right )x}{\sin \frac{x}{2}}\end

線形システムが可安定であるとは

線形システム\begin{align}\dot{x} (t) = A x(t) + B u(t)\end{align}について、行列\begin{align}A-BK\end{align}の固有値の実部が全て負になるような状態フィードバック

システムが安定であるとは

\( \forall \varepsilon > 0\)に対して\(\delta > 0\)が存在して、\( x_0 - x_e < \delta \)となる初期状態\(x_0\)について、\( x(t) - x_e

自律システムの定義

微分方程式系が\(t\）を含まないとき、すなわち、ある微分方程式系が\begin{align}\dot{x} = f(x(t)) \hspace{5mm} f(x_e) = 0\end{align}のときこのシステムを自律システムという。

安定性の定義

入力\(u\)と状態ベクトル\(x\)を用いて記述される次のシステムがあるとする。\begin{align}y=f(x(t),u(t))\end{align}このシステムの内部安定性を調べるために\(u(t)\)を時間関数に固定すれば\be

MATLABでベルヌーイ数を求める

これの続き。N=10;B=zeros(1,N);B(1,1)=1;for i = 1:1:N B(1,i+1)=getBernoulliNumber(i, B);endBfunction y = getBernoulliNumber(

C++の正規表現を使ってみる

regexを使えばできる。以下コード#include <iostream>#include <string>#include <regex>int main() { std::string str

C++でベルヌーイ数を求める

ベルヌーイ数を求めるには漸化式を解けばいい。漸化式は\begin{align}B_0&=1\\B_n&=-\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1} C_{k} B_{k}\end{ali

冪乗の和公式

冪乗の和公式は次式で与えられる。\begin{align}\sum_{i=1}^{n} i^k = \sum_{j=0}^{k} i^k \begin{pmatrix}k \\ j\end{pmatrix}B_j \frac{n^{k+1-

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式は圧力を\(P\)、体積を\(V\)、物質量を\(n\)、モル気体定数を\(R\)、熱力学温度を\(T\)とすると\begin{align}PV=nRT\end{align}で与えられる。

多倍長ライブラリのメモ

多倍長ライブラリmpirを含むデータをtupleにまとめvectorに格納するとうまくいかなくなる。

小数の二乗とルートの外し方

小数\(0.5\)の二乗は\(0.25\)となるが、今回は\(\sqrt{0.25}\)を考える。\begin{align}\sqrt{0.25}&=\sqrt{\frac{25}{100}}\\&=\sqrt{\frac{

二次方程式の複素解と共有点の場所

二次方程式\begin{align}y=ax^2+bx+c\end{align}について複素解になるのは\begin{align}b^2-4ac<0\end{align}のときである。このときの共有点の場所を調べる。\(x=p+qi\

圧力の定義

単位面積当たりに働く力を圧力といい\begin{align}P=\frac{F}{S}\end{align}単位はパスカルPa

三角関数のマクロリーン展開を使ったバーゼル問題の解法

三角関数の級数展開を使ってバーゼル問題の値を求める。\(\sin x\)と\(\frac{\sin x}{x}\)をマクロリーン展開する。\begin{align}\sin x &=x - \frac{x^3}{3!} + \cdo

ディリクレ核とは

次の関数で得られる数列\begin{align}D_n(x)=1+2\sum_{k=1}^{n} \cos (kx) = \frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}\right )x}{\sin \frac{x}{2}

mpirを使ってウィルソンの定理を計算する

ウィルソンの定理は\(p\)が素数ならば\begin{align}(p-1)! \equiv =-1(mod p)\end{align}が成り立つ定理である。今回はwikipediaにある表をmpirを用いて計算した。

オイラーの素数生成多項式を計算する

オイラーの素数生成多項式は\begin{align}n^2-n+41\end{align}で与えられる。これを順に計算すれば41,43,47,53,61,71,83,97,113,131151,173,197,223,251,281,313

ポケモンスタンプその2

2つ目はツタージャとフライゴンとメラルバメラルバの目の最短距離が0.4mmなので印刷が若干潰れてしまった

ツタージャのスタンプを作った

下絵（@benisyouga_sianさん作)を元にSTLファイルを作成する。完成品は長辺が50mmとなるよう設計する。下絵の長辺が190mmなので完成品の26.32%となるよう縮小した。つぎにCHITUBOXを使いQIDI Shadow6

C++で素数の数を求める

素数の数は\begin{align}N(n) =\sum_{k=1}^{m} \left \lfloor \cos^2 \frac{(n-1)! + 1}{n} \pi \right \rfloor \end{align}で求める。

C++で素数判定

その数が素数かどうかは\begin{align}isprime(n) = \left \lfloor \cos^2 \frac{(n-1)! + 1}{n} \pi \right \rfloor \end{align}で判定できる

mpirで再帰関数を定義する

mpirで再帰関数を使うにはmpz_tで定義した数値をmpz_ptrで返す必要がある。mpz_ptrはmpz_tのポインタである。例

mpirライブラリを使って計算した階乗の計算結果をcsvに保存する

通常の数値と同じ。

多倍長整数ライブラリを使った階乗の計算

MPIRを使った。インストールはここ。今回は階乗を計算した。結果はこうなる。

動作動詞と状態動詞の進行形

文中で動作動詞として働く動詞は進行形にできる。例 going begin having getting doing文中で状態動詞として働く動詞は進行形にできない。例 know see taste small

動作動詞と状態動詞

動詞には動作を示す動作動詞と感情や感覚、心理などの状態を示す状態動詞がある。動作動詞には殆どの動詞が属し、walk、get等がある。一方で状態動詞にはbe、know、belong等がある。意味によって動作動詞か状態動詞か変わるhaveを見れ

線形計画法とは

関数\(f(x)\)について、\(f(x)\)を最小にする\(x\)を求める問題を線形計画法という。

二次方程式の解の差

二次方程式\begin{align}ax^2+bx+c=0\end{align}の解は\begin{align}x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}となる。2つの解をそれぞれ\(\alp

sortを使ったpairを併用しているときのvectorのソート

sortとbegin、endを併用する

C++でvectorを表示する

unsigned long long int 型で作られたvectorを表示する。

C++でpairで作られたlistをCSVで保存する

C++でpairで作られたlistをCSVで保存する。読み込んで放り込めばいい。

C++でlistをCSVで保存する

C++でlistをCSVで保存する。string型のfile名とunsigned long long intのリストを渡せば保存できる。unsigned long long intはintなどに変換可能。

Pythonで多次元配列にアクセスする

見たほうが早い

Pythonでガウス記号を定義する

floorを使えばいい。

ガウス記号の定義

\(n \leq x \leq n+1 \)を満たす整数\(n\)のことを\(\)と書き、\(\)をガウス記号という。

オイラー積と素数

オイラー積\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}(pは素数)\end{align}について\(s=-1\)のとき\begin{a

Σの公式を計算する その3

C++でΣの公式を計算する。今回計算する公式は次の通り。\begin{align}\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} = \frac{r^n - 1}{r-1}\end{align}以下コード

三角不等式の証明

任意の実数\(a,b\)について\begin{align} a+b \leq a + b \end{align}の三角不等式が成り立つ。証明両辺ともに正であるので、二乗の差を考えて\begin{align}( a + b )^2

Σの公式を計算する その2

C++でΣの公式を計算する。今回計算する公式は次の通り。\begin{align}\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left \{ \frac{n(n + 1)}{2} \right \}^2\end{align}以下コード

トルコで起きた地震のエネルギーを計算してみる

地震のエネルギ\(E\)とマグニチュード\(M\)の関係式は\begin{align}\log_{10} E = 4.8 + 1.5M\end{align}で表される。トルコで起きた地震のマグニチュードの大きさは7.9なので\begin{a

CANを使ってみる

MCP2515とMCP2562を使えばCANを実装できる。細かいつなぎ方は略。CANは相互に接続された装置間で通信ができ、FAなんかに応用されている。

2点を通る直線の方程式

傾き\(a\)の直線の方程式は\begin{align}y=ax+b\end{align}点\((x_1,y_1)\)を通るので\begin{align}y_1=ax_1+b\end{align}\(b\)を消去して\begin{align

オームの法則

電圧を\(E\)、電流を\(I\)とすると抵抗\(R\)は\begin{align}R=\frac{E}{I}\end{align}となる。