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【群論】可解群の性質

可解群（solvable group）とは、群に対して交換子群列を作った時にDk(G)＝｛e｝【単位元だけからなる群】となる自然数kが存在する群Gの事です。以下、D(G)（＝D1(G)）はGの交換子群で、D2(G)＝D(D1(G))、D3(G)＝D(D2(G))、・・・等とします。 ◆可解群に関しては、次の定義をする事もあります：群Gに対して有限個の正規部分群の列Hjがあり【jは自然数、H0＝G】

2021/03/21 01:24

【群論】交換子・交換子群・交換子群列

交換子群は多項方程式の可解性（ベキ根で解ける事）との関連性が非常に深い群です。 目次： 交換子と交換子群 交換子群の性質 交換子群列 交換子と交換子群 群Gがあって、xとyがその元であるとします。この時、xyとyxは等しいとは限りません。 他方で、x－1y－1xy という4つの元の積からなる別の元を考えてみて、これを [x，y] と書く事にして「交換子」(commutator)と呼ぶ事にすると、[

2021/03/20 15:33

平面曲線の曲率円と曲率半径

目次： 曲線の曲がり具合と曲率円 曲率円の中心座標と曲率半径の公式 曲線の「曲率」と公式 曲率円そのものについては高校ではあまり扱いませんが、内容としては高校数学のまとめのような所もあるので、高校数学としても勉強になる題材かもしれません。より一般的には、曲線・曲面論の初歩的な事項の1つになります。 曲線の曲がり具合と曲率円 平面上の曲線について、緩やかに曲がっているものもあれば、急激な曲がり方をし

2021/03/18 02:27

自乗と累乗・ベキ乗

目次： 2乗（自乗、平方）の意味と表記 2乗（自乗、平方）の応用・使われ方 一般のベキ乗（累乗）と指数 「乗（じょう）」は数学では掛け算の意味です。掛け算の事を「乗法（じょうほう）」とも言います。「～を掛け算する」という意味で「～を乗する」とも言います。 2乗（自乗、平方）の意味と表記 2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16など、「同じ数を掛け算する事」を「自乗」あるいは「2乗」と言います。これを2

2021/03/17 17:56

角運動量の数学

物理学で考える「角運動量」は回転運動を表す物理量です。外積ベクトルを使って表します。 目次： 角運動量ベクトル 力の能率（モーメント） 角運動量の保存則 剛体の角運動量 ◆関連：ベクトルの基本事項と内積 角運動量ベクトル 角運動量ベクトル（angular momentum）の定義 角運動量ベクトルは、次のように外積ベクトルによって定義されます。 $$角運動量ベクトル：\overrightarrow

2021/03/15 22:38

【証明】ガウスの発散定理

電磁気学などでよく使う「ガウスの発散定理」（「発散定理」「ガウスの定理」とも）の証明をします。ベクトル解析の分野の中の基礎的で重要な定理の1つになります。 目次： 定理の内容 発散定理における閉曲面の扱い 証明 電磁気学の「ガウスの法則」は、「ガウスの発散定理」と関係が深いですが、あくまで静電場に関して成立する事実関係としての「法則」を表すものとして用語の使い分けがなされるのが一般的です。 関連事

2021/03/13 13:21

外積ベクトルの定義と公式【3次元】

3次元ベクトルに対しては、「外積」と呼ばれるベクトルを考えます。外積ベクトルは、物理学で力のモーメントや角運動量、電磁気学での特定の法則などの定式化に使用したりします。また幾何的には「平行六面体」の体積を表す公式に使用もされます。 目次： 定義と考え方 演算と公式 成分表示の方法（外積ベクトルの成分と射影面積の関係） ◆「微分形式」という数学分野の演算でも「外積代数」という用語を使います。その3次

2021/03/12 03:04

平行四辺形の面積【ベクトルでの公式】

平行四辺形の面積は「底辺×高さ」です。（参考：台形の面積公式と同じ考え方）他方で、「直交座標上の2つのベクトルが作る平行四辺形」の面積を、「ベクトルの大きさと内積」あるいは「ベクトルの成分」で表す方法と公式があります。 （ベクトルが作る「三角形」の面積については、単純に平行四辺形の面積を半分個を考えます。） ベクトルが作る平行四辺形の面積 原点を始点とする2つのベクトル と があり、なす角度がθで

2021/03/09 19:02