日比谷高校のススメ

【数学小話】病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式

今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。 簡単？な因数分解 不思議な因数分解 円分多項式 簡単？な因数分解 まずは簡単な因数分解から始めましょう。当然、と因数分解されます。 では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で)因数分解してみましょう。 簡単ですかね？答えはこちら。 まだまだ行きます。 答えはこちら。 では、こちらはどうでしょう。 少し難しいですね、こんな風にできます。 ⑥は、がこれ以上因数分解できないことを確認するのが簡単ではありませんが、ここではそこはよしとします。 さて、ここまで様々なを見てきましたが、次の共通点があるように予想できます。 (a) どれ…

2020/05/27 08:00

【数学小話】病的な数学④ ディリクレの関数

前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。 ディリクレの関数 リーマン積分できないことの証明 区分求積法 リーマン積分できない証明 ルベーグ積分 ディリクレの関数の書き換え ディリクレの関数 そもそも、中学で習った関数の定義は、 xの値を定めるとそれに対応したyがただ一つに定まるとき、yはxの関数であるという でしたね。この定義を守っていれば、次のようなものもれっきとした関数なのです。こちらがディリクレの関数と呼ばれるものです。 実数から好きにxを持ってきて、それが有理数か無理数かによって1か0の数字が対応す…

2020/05/16 08:00

【数学小話】病的な数学③ 1回しか微分出来ない関数

数Ⅱで初めて微分を習い、数Ⅲでより深く微分を習います。高校数学で見る微分可能な関数は、基本的に何回でも微分できます。 しかし、登場しないだけであって、高校数学の範囲内でも、1回微分可能だが2回微分不可能な関数は作れます。一般に、n回微分可能だがn+1回微分不可能な関数が作れます。 今回は数IIIの最初の方で習う単元と深く関係しています。 だいたい何回でも微分できる 導関数、微分可能性(数Ⅱ、Ⅲ) 導関数の定義(数Ⅱ) 関数の連続性(数Ⅲ) 微分可能性(数Ⅲ) 1回しか微分できない関数 ずるい作り方 最初は微分、連続、微分可能という定義の確認から始まります。面倒なら飛ばしてください。 だいたい何…

2020/05/13 08:00

【数学小話】病的な数学② 歴史的に有名な反例

歴史的に有名な反例をいくつか見てみましょう。 病的な数学① 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関数 病的な数学④ ディリクレの関数 病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式 病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線 病的な数学⑦ シェルピンスキーのギャスケット 素数を作る式 ワイエルシュトラス関数 素数を作る式 素数というのはやはり数学においてとても重要で、大昔からあまたの数学者が素数の現れる法則を解き明かそうとしてきました。（当然、まだ分かっていません） フェルマー数という、数学者フェルマーが考えた次のようなものがあります。 これが全ての0以上の整数nについて、フェルマー数は素数ではないか？とフ…

2020/05/09 08:00

【数学小話】病的な数学①

数学を勉強するにあたり、反例を考えるということは非常に重要です。反例を見ることで、「できること」と「できないこと」、「成り立つ場合」と「成り立たない場合」の境界がよりはっきりし、より深い理解が得られます。 この病的な数学というシリーズで、面白い、ためになる（とは限らない？）反例を紹介していきます。 実は、数学で「病的な」という言葉はしばしば使われます。直感に反するような、一種の気持ち悪さを感じるような例に対してつけられる修飾語として用いられます。 初回は、簡単な例をいくつか見つつ、数学のセンスを磨くためのヒントを探ります。 病的な数学② 歴史的に有名な反例 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関…

2020/05/02 08:00