数理経済学的特別計画新着記事

LIGHT FXで「取引が制限されています」エラーが出た場合の原因と対処法

「取引が制限されています」とは、LIGHT FXの取引画面に表示されるエラーメッセージで、文字通りお客様の口座で新規の取引が一時的に禁止されている状態を示します。これはFX業者側が口座の状況に懸念を抱いた際に発動するもので、本人確認や情報確認が完了するまで取引を停止する措置です。突然このエラーが出ると驚くかもしれませんが、これは主に法律や社内規定に基づく安全対策として行われています。

2025/06/22 23:05

高速道路機構の超長期債券をわかりやすく解説！

日本高速道路保有・債務返済機構（JH, JEHDRA, 高速道路機構）は、自身で資金調達を行うために2種類の債券を発行しています。一つは政府保証債（政府が元本・利息支払いを保証する債券）で、もう一つが財投機関債（政府保証のない債券）です。政府保証債は財政投融資制度の一環で発行され、高速道路機構はその債務に政府保証を付与できる権限を与えられています。実際、

2025/06/13 19:19

アメックスプラチナカードの審査通過条件は？年収や利用履歴の必要性を調査

アメリカン・エキスプレス・プラチナ・カード（通称アメックスプラチナ）は、アメックスが発行する最上級クラスのクレジットカードで、高額な年会費（年間税込16万5,000円）に見合う豊富な特典とサービスを備えた非常に高いステータスのカードです。そのため「どうすればこのカードの審査に通過できるのか？」は多くの人の関心事となっています。以下では、日本国内におけるアメックスプラチナの審査通過条件について、

2025/06/12 18:08

2024年南アフリカランド投資環境の総括投資アイデア

この記事では、新興国通貨である南アフリカランドの投資環境について、2024年度を振り返ってみようと思います。 2024年の南アフリカランド対円相場（ZAR/JPY）は、年初の1ランド＝約7.7円水準から堅調に上昇しました。年間の最安値は1月3日の約7.65円、最高値は7月10日に約8.92円を記録し、年間平均は約8.27円となりました。年間を通じてランド高・円安の傾向がみられ、

2025/06/11 20:08

クレジットカードの家族カード使用はクレジットヒストリーに影響を与えるか？

クレジットカードの家族カードを幼い頃から使っていると、「自分の信用履歴（クレジットヒストリー）にプラスになるのだろうか？」と気になりますよね。日本ではクレジットカードの審査時に、CICやJICCといった信用情報機関に登録された個人の信用情報がチェックされます。そのため、家族カードの利用履歴がどのように信用情報に記録され、将来のカード審査に影響するのかを知っておくことは大切です。本記事では、

2025/06/10 19:52

FX証券会社でクレジットカード入金に対応しているところは存在する？

この記事では、FX証券会社でクレジットカードの入金に対応しているかを調査しました。国内の主要FX取引業者（金融庁登録業者）では、法律・規制上クレジットカード入金は対応していません。したがって国内業者は銀行振込や提携金融機関経由のクイック入金（インターネットバンキングを利用したリアルタイム入金）で資金を入金する形となります。クイック入金は基本24時間対応で即時反映され、手数料も無料です。

2025/06/09 22:59

アメックスセンチュリオン修行で保険料決済はアリ？――MCC6300評価を考察

同じ100万円でも「保険料」と「高級ホテル」は評価が段違い？アメックスセンチュリオンが重視する“ライフスタイル指標”と保険カテゴリの関係を深掘りします。クレジットカードで保険料の支払いが可能な保険商品は年々増えています。生命保険や医療保険、損害保険、旅行保険など多岐にわたり、国内外問わず多くの保険会社がクレジットカード払いに対応しています。以下に主な例を保険種別ごとに整理します。上記の他、

2025/06/09 22:36

確率変数のランダムな個数の和の積率母関数の導出を解説

この記事では、確率変数のランダムな個数の和の確率変数の、積率母関数の導出を解説します。確率変数のランダムな個数の和というのは、「確率変数を何個足し合わせるか」自体もあるランダムな確率変数に従っていると言うことです。例えば、サイコロがあったとき、サイコロを投げる回数自体を別のサイコロで決めることにすると、サイコロの出目自体もランダムですし、

2025/06/04 22:50

2階層線形回帰モデルのIntraclass Correlation Coefficient

ICC(群内相関係数, Intraclass Correlation Coefficient)は単に同じクラスの次のような2階層のモデルを考えます。 \begin{align*} Y_{ij} = \mu + a_i + \varepsilon_{ij}, \quad a_i \sim \text{i.i.d.}\, N(0, \sigma^2_a), \varepsilon_{ij} \

2025/05/28 22:14

信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説

この記事では信頼性理論における全信頼基準の導出をわかりやすく解説します。全信頼基準(full credibility standard)とは、サンプル平均が、真の平均値から誤差$latex k$(割合です)以内に入る確率が$latex 1-\alpha$以上になることを保証するために必要なデータ数の目安です。どういうことかというと、最初に$latex \mu, \alpha$を与えた上で、

2025/05/25 18:15

ベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと1選

この記事ではベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと(?)を解説します。ベイズの定理 \begin{align*} P(\theta \mid G) \propto P(G \mid \theta ) P(\theta) \end{align*} を用いて、事後分布を考えている時、明らかに事後分布が \begin{align*} P(\theta \mid G)…

2025/05/20 21:38

確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説

この記事では確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説します。確率変数$latex X$の生存関数は \begin{align*} S(x ) = P(X \geq x )\end{align*} により定義されます。今回は、$latex X$が非負確率変数の場合を考えます。 $latex X$を非負確率変数とすると、 \begin{align*} E(X^2) = 2\

2025/05/19 21:58

Bühlmann信頼度をLMMSE推定量の観点から理解する

この記事では、Bühlmann信頼度をLMMSEの観点から理解します。 LMMSEはLeast Minimum Mean Square Errorです。次のような状況を考えます。ナイーブな書き方をしているので、読みながら適宜厳密化してください。今手元にデータ$latex Y$が1つありますが、これは真の確率変数$latex X$に対して、ノイズである確率変数$latex N$が乗って、

2025/05/18 15:53

超指数分布のベイズ更新のやり方をわかりやすく解説！！

超指数分布のベイズ更新のやり方を解説します。超指数分布Hyperexponential distributionは、名前はまあサイヤ人みたいに強そうですが、定義はというと、単に指数分布の有限個の凸結合です。パラメータを$\theta_1, \ldots, \theta_k >0$と$p_1, \ldots , w_k ;0<w_i<1,\quad \sum_{i=1}^k w_i =…

2025/05/17 14:08

推定量の一致性は「平均二乗誤差が収束するなら確率収束する」で確認した方が楽な時がある

推定量の一致性を確認するのは面倒くさいです。そこで、平均二乗誤差が$latex 0$に収束することで一致性を確かめることにしましょう。よくある確認方法ですが、こっちの方が楽だったりします。というのも、チェビシェフの不等式から \begin{align*} E\left( X – c ^2 \right) \geq k^2 P( X – c > k) \end{align*} なので、

2025/04/20 18:08

2つの独立なポアソン過程の競争問題をわかりやすく解説

2つの独立なポアソン過程の競争問題について解説します。 2つの独立なポアソン過程$latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$で強度がそれぞれ$latex \lambda_a, \lambda_b$であるものが存在するとします。前者のイベントを$latex A$と呼ぶことにし、後者を$latex B$と呼ぶことにします。 $latex B$が$latex…

2025/04/20 16:53

再保険関数空間上の最適化問題が2パラメータの最適化問題に退化する状況を解説

2025/04/13 23:54

幾何分布の最尤推定量の導出をわかりやすく解説

幾何分布$latex Geom(p)$のパラメータ$latex p$の最尤推定量(MLE)を$latex \hat p$で表記することにすると、 \begin{align*} \hat p = \frac{1}{\bar x + 1} \end{align*} です。この記事ではそのことを解説します。幾何分布の確率質量関数は \begin{align*} P(X = x) = (1- p)^x…

2025/04/13 01:11

マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法

マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。離散的な状態が$latex k$個存在する状況を考えます。状態間の遷移は、遷移確率行列が \begin{align} P \end{align} に従うとします。各状態$latex i$のコストを$latex c_i $とし、$latex k \times 1$行列 \begin{align} c \

2025/04/05 09:46

マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法

マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。離散的な状態が$latex k$個存在する状況を考えます。状態間の遷移は、遷移確率行列が \begin{align} P \end{align} に従うとします。各状態$latex i$のコストを$latex c_i $とし、$latex k \times 1$行列 \begin{align} c \

2025/04/05 09:46

ポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説！！

この記事ではポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説します。ポアソン分布の希薄化とは、二項分布とポアソン分布を混合し、二項分布の試行回数のパラメータをポアソン分布に従うように設定することです。命題：ポアソン分布の希薄化確率変数$latex N$はポアソン分布に従うとする。つまり$latex N \sim Po(\lambda)$とする。パラメータ$latex N…

2025/03/29 17:23

ラデマッハ確率変数の定義・期待値・分散の導出をわかりやすく解説

この記事では、確率論や機械学習でしばしば登場するラデマッハ確率変数 (Rademacher Random Variable) の定義を確認します。定義：ラデマッハ確率変数確率変数$latex X$は \begin{align*} P(X = -1) = \frac{1}{2}, \quad P(X = 1) = \frac{1}{2}\end{align*} を満たす時、

2025/03/18 18:54

補対数対数リンク関数の逆関数の導出

この記事では補対数対数リンク関数の逆関数を求めます。対数を2回書いているのは誤植ではないです。 complementary log-log link functionです。 \begin{align} g(x) = \log{\left(-\log(1-x) \right)}\end{align} により定義されます。 \begin{align} \xi =\log{\left(-\log(1…

2025/03/08 20:34

対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説

この記事では、対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X \sim LN(\mu, \sigma^2)\end{align*} とします。サンプルの平均を$latex m$とし、分散を$latex s^2$とします。モーメント法による$latex \mu, \sigma^2$の推定量は、 \begin{align*} E(X) = m…

2025/03/05 21:11

正規分布のtail boundをわかりやすく解説

この記事では正規分布のtail boundの評価を解説します。 \begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*} とします。 \begin{align*} S(x) = P(X \geq x)\end{align*} を評価します。 \begin{align*} 0 < x \leq \xi \Rightarrow 1 \leq \frac{\xi}{x} \

2025/03/04 23:57

一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説

この記事では、一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説します。適当にネットで調べてもあまりしっくりくる説明がなかったので、自分用の備忘録も兼ねています。前提知識としては、重回帰分析の線形代数による記述スタイルを掴んでいたらよいと思います。経済学専門の予備校で100点満点の経済学の試験をしました。この予備校にはA・B・Cの3クラスがあります。

2025/02/24 00:00

累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解に書き直せることを解説

この記事では累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解として書き直せることを解説します。 12種類あるBurr型の分布は、 \begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)(1 – F(x))g(x, F(x))\end{align*} というロジスティック型の微分方程式において、$latex g$を様々に変えることで導出された(はず)です。

2025/02/23 19:51

順序統計量の最大値と最小値の累積分布関数の導出をわかりやすく解説！！

この記事では順序統計量の最大値と最小値の分布関数は簡単に求められることを解説します。まず順序統計量の最大値と最小値というのは、確率変数 \begin{align*} X_1, \ldots, X_n \end{align*} があった時に、それぞれ \begin{align*} X_{(n)} = \max \{X_1, \ldots, X_n\}, \quad X_{(1)} = \min \

2025/02/23 00:16

線形回帰モデルの残差の分散共分散行列と単一データの残差の分線を導出する方法をわかりやすく解説

この記事では線形回帰モデルの残差の分散共分散行列を導出・証明する方法をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I)\end{align*} という線形回帰モデルを考えます。OLS推定量$\hat \beta$による予測値を \begin{align*} \

2025/02/22 15:05

線形回帰モデルのCase-Deletion公式の導出や証明をわかりやすく解説！！

この記事ではCase-Deletion公式をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*} という線形回帰モデルを考えます。ここで、行列$latex A$に対して、$latex i$行目を削除(0にするのではなく、削除です)した行列を \begin{align*} A_{-i}\end{align*}…

2025/02/22 13:02

Sherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説

この記事ではSherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説します。定理：Sherman-Morrison-Woodburyの公式 $latex A$を$latex n\times n$の正則行列、$latex U$を$latex n\times k$、$latex C$を$latex k \times k$の正則行列、$latex V$をk \

2025/02/16 23:29

統計学の回帰分析におけるレバレッジの定義や性質をわかりやすく解説

この記事では回帰分析におけるレバレッジ(leverage)の定義をわかりやすく解説します。誤差項のある線形回帰モデル \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon \end{align*} を考えます。ハット行列を \begin{align*} H = X \left(X^t X \right)^{-1} X^t \end{align*} により定義します。

2025/02/16 21:58

擬似逆行列により定義したハット行列は適切に直交射影であることを解説

この記事では、擬似逆行列によるハット行列の定義は適切に直交射影であることを解説最初に擬似逆行列の定義を確認しておきます。定義：擬似逆行列(Moore-Penrose逆行列, 一般化逆行列) $latex A$を$latex n\times m$(複素)行列とする。$latex m\times n$(複素)行列$latex A^+$で \begin{align*}A A^+ A &= A \\

2025/02/16 15:23

射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説

この記事では射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説します。有限次元ユークリッド空間$latex \mathbb R^n$上での話をします。定義：射影行列行列 \begin{align*} P: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n\end{align*} は、冪等性、つまり \begin{align*} P^2 = P \end{align*}…

2025/02/16 14:50

線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明！！！

この記事では線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I) \end{align*} という線形回帰モデルを考えます。$latex X$は1列目が全て1の$latex n \

2025/02/16 09:57

多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式がカイ二乗分布に従うことの証明

この記事では多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式が、冪等行列のランクを自由度とするカイ二乗分布に従うことを証明します。つまり主張は次のとおりです。命題 $latex x$を$latex n$次元多変量標準正規分布 \begin{align*} x \sim N (0, I)\end{align*} に従う確率ベクトルとする。$latex P \in M_n$を$latex \

2025/02/15 11:25

多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることの証明！！！

この記事では、多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることを証明します。 $latex x$を$latex n$次元の多変量標準正規分布に従うとします。つまり、 \begin{align*} x \sim N(0, I )\end{align*} とします。 \begin{align*} Q \in O_n\end{align*} を$latex n$次直交行列とします。

2025/02/14 12:58

線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明

この記事では線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明をします。全要素が1のベクトルを \begin{align*} e = (1, 1, \ldots, 1 )^t \in \mathbb R^n\end{align*} で表記します。線形回帰モデルを \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon \end{align*}…

2025/02/13 21:29

指数分布の順序統計量の期待値の導出をわかりやすく解説！！

この記事では指数分布の順序統計量の期待値の公式の導出をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda), \text{i.i.d.}\end{align*} とします。$latex X_1, X_2, \ldots, X_n$を昇順にならべ、下から$latex i$番目の値を$latex X…

2025/02/13 21:21

線形回帰モデルの残差平方和RSSの期待値を導出する方法をわかりやすく解説！！

この記事では残差平方和RSSの期待値の導出をわかりやすく解説します。まず最初に残差平方和がなんであったかを確認しておきます。線形回帰モデル \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*} を考えます。ただし$latex \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I)$ の回帰係数の最小二乗推定量を$latex \

2025/02/11 00:48

確率ベクトルの2次形式の期待値の公式をわかりやすく証明！！

この記事では確率ベクトルの2次形式の期待値の導出をわかりやすく証明します。ここで、$latex n$次確率ベクトルとは、確率変数$latex X_1, \ldots, X_n$を並べたベクトル \begin{align*} x = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \end{align*} のことです。 $latex (i,j)$成分が$latex \text{Cov}(X_i…

2025/02/09 20:42

双線形形式をtraceによって表現するトリックをわかりやすく解説

この記事では双線形形式をtraceによって表現するトリックを説明します。ただし、この記事内で$latex x, y \in \mathbb R^n$の$latex n$次正方行列$latex A \in M_n$による双線形形式というと、 \begin{align*} x^t A y\end{align*} を指すこととします。命題 $latex x, y \in \mathbb R^n$とし、

2025/02/09 18:50

Pythonの__eq__とは何かをわかりやすく解説！！！！！

この記事では__eq__が何かを、実装例も合わせて超簡単に説明します。 __eq__ __eq__ とは、Python において「==」演算子が呼び出される際に挙動を定義するための特別なメソッド（特殊メソッド）のことです。クラスのオブジェクト同士の等価比較を行う際に、__eq__ メソッドが呼び出されます。 Pythonで==演算子を使ったとき、内部的には以下のように動作しています。つまり、=…

2025/02/08 23:16

ハット行列のトレースが回帰係数の数と一致することの証明を超簡単に解説

この記事ではハット行列のトレースが回帰係数の数と一致することの証明を超簡単に解説します。ほぼ自明ですが。この事実は、残差平方和の期待値を求める上でクリティカルな役割を果たします。 \begin{align*} y = \beta_0 + x_1 \beta_1 + \cdots + x_{p-1}\beta_{p-1} \end{align*} とモデルをたてているとします。

2025/02/08 22:37

冪等行列Aはrankとtraceが一致することの証明をわかりやすく解説！！！

この記事では「冪等行列ならばrankとtraceが一致すること」の証明をわかりやすく解説します。冪等行列を$latex A$で表記することにします。行列のtraceは、固有値の総和に一致することを思い出しておきます。冪等行列$latex A$の固有値は、$latex 0, 1$のみであったことを思い出しておきます。というのも、$latex 0$ベクトルでない固有ベクトル$latex x\

2025/02/02 20:40

冪等行列Aに対してrank(I-A)=dimKerAであることの証明

この記事では冪等行列Aに対して$latex \textrm{rank}(I-A)=\textrm{dim} \textrm{ker}A$であることを証明します。まず$latex n$次正方行列$latex A$を冪等行列、つまり \begin{align*} A^2 = A\end{align*} を満たす行列とします。次の事実が成り立ちます。命題 $latex n$次正方行列$latex…

2025/02/01 01:14

実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることの証明

この記事では実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることを証明します。最初に冪等行列の定義を確認しておきます。正方行列$latex A$は、 \begin{align*} A^2 = A \end{align*} を満たすときに、冪等行列といいます。命題： $latex A$を実対称な冪等行列($latex n$次)とする。任意の$latex i = 1, \ldots , n$に対して、

2025/01/18 23:01

標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることの証明

この記事では、標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることを証明します。まず、スコア関数を定義します。確率変数$latex X$を、パラメータ$latex \theta$をもち、確率密度関数が$latex f_X(\cdot; \theta)$である確率変数とします。スコア関数は、 \begin{align*} S(X; \theta ) = \partial_\theta \

2025/01/12 23:29

アーラン分布の生存関数を計算する方法を解説！！

アーラン分布の生存関数をポアソン分布から計算する方法を解説します。最初にアーラン分布を思い出しておきましょう。定義:アーラン分布正の整数$latex k$と正の実数$latex \mu$をパラメータとするアーラン分布とは、確率密度関数 \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left(\frac{1}{\mu} \right)^k x^{k…

2025/01/12 19:26

条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説！！！

この記事では条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説します。条件付き裾野期待値(Conditional Tail Expectation)と言っているのは、確率変数$latex X$に対して \begin{align*} E(X \mid X > x) \end{align*} この積分のことです。結論を先にかくと、$latex F$を$latex X$の累積分布関数とすると、

2025/01/04 19:06

ハザード関数から生存関数を復元する計算を解説

この記事ではハザード関数から生存関数を導出する方法を解説します。命題：ハザード関数から生存関数を復元 $latex X$を確率変数、$latex h$を$latex X$のハザード関数、$latex S$を$latex X$の生存関数とする。このとき、 \begin{align*}S(x) = e^{ – \int_{-\infty}^x h(\xi)d\xi } \end{align*}…

2025/01/04 16:04

指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式

この記事では、指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式を解説します。よくある状況を考えるために、$latex f(x) \in C^\infty$とし、$latex ^\exists{N} \in \mathbb N$ \begin{align*} \frac{d^N}{dx^N}f(x) = 0 \end{align*} という状況を考えることにします。 \begin{align*

2025/01/04 14:55

略算平均余命の再帰式の導出方法を簡単に解説！

この記事では略算平均余命の再帰式の導出方法を解説します。記号の復習をしておきます。 $latex x$歳の人が$latex k$年生きる確率を、 \begin{align*} {}_k p_{x} = \frac{l_{x+k}}{l_x}\end{align*} という記号で表記します。 $latex x$歳の人が、$latex x + t$年目に死亡する確率を、 \begin{align*}…

2025/01/03 02:34

1/√(1+x^2)の積分の計算方法をわかりやすく解説

この記事では1/√(1+x^2)の積分の計算方法を解説します。つまり、 \begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx \end{align*} の計算方法を解説します。余談ですが、京都大学の女性募集枠特色入試の数学サンプル問題でこの積分が使える場面がありました。結論から書いてしまうと、命題：1/√(1+x^2)の積分 \

2025/01/02 10:52

略算平均余命が生存確率の総和と一致することの証明をわかりやすく解説

この記事では、略算平均余命(Curtate Life Expectancy)が生存確率の総和と一致することを証明します。記号の準備をします。 $latex x$歳の人の人口を、 \begin{align*} l_x\end{align*} という記号で表記します。 $latex x$歳の人が$latex k$年生きる確率を、 \begin{align*} {}_k p_{x} = \frac{l…

2025/01/02 10:16

2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説！！！

この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。命題：2つのポアソン過程の発生順序 $latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$を2つの独立なポアソン過程とし、それぞれ強度(intensity)は$latex \lambda_a, \lambda_b$であるとします。このとき、1回目のイベントの発生が$latex \{B_t \

2025/01/01 18:43

2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説！！！

この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。命題：2つのポアソン過程の発生順序 $latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$を2つの独立なポアソン過程とし、それぞれ強度(intensity)は$latex \lambda_a, \lambda_b$であるとします。このとき、1回目のイベントの発生が$latex \{B_t \

2025/01/01 18:43

指数分布の指数関数がパレート分布であることをわかりやすく解説！！！

この記事では、指数分布の指数関数がパレート分布であること、つまり、パレート分布の対数変換が指数分布であることを解説します。パレート分布がなんだったかを思い出しておきます。最小値パラメータ$latex x_m >0$、形状パラメータ$latex a$のパレート分布とは、確率密度関数が \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x_m}\left(\

2025/01/01 13:56

パラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説！！！

この記事ではパラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説します。まず初めに、ガンマ分布とポアソン分布について思い出しましょう。パラメータ$latex \alpha , \beta$のガンマ分布$latex \Gamma(\alpha, \beta)$とは、確率密度関数が \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{ \

2024/12/31 17:23

標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることの証明

この記事では、標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることをわかりやすく解説します。定義：t分布自由度$latex n$のt分布とは、確率密度関数が \begin{align*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{n \pi}} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})} \left( \

2024/12/22 13:13

統計検定で理解しておくべき非復元抽出でカードを2枚引いた時の数字の合計の分散の導出

1からnまでの数字がかかれたカードから2枚引いた数字の和を$latex S$とします。 \begin{align*} V(S)\end{align*} を計算します。いずれのカードも等しい確率で引かれるとします。 1枚だけカードを引く時に、引かれたカードの数字を確率変数で$latex X$と表すことにします。さて、2枚カードを引く時のことを考えます。同時に引くわけですが、

2024/12/01 21:25

指数分布の和がアーラン分布であること証明をわかりやすく解説

この記事では指数分布の和がアーラン分布であることを証明します。まずはじめに、アーラン分布について思い出しておきます。定義:アーラン分布正の整数$latex k$と正の実数$latex \mu$をパラメータとするアーラン分布とは、確率密度関数 \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left(\frac{1}{\mu} \right)^k…

2024/12/01 14:37

株式評価モデルのフランチャイズ価値モデルを導出する方法をわかりやすく解説

この記事では、フランチャイズ価値モデル（Franchise Value Model）の導出をします。フランチャイズ価値モデルは、成長機会現在価値（PVGO: Present Value of Growth Opportunities）モデルともいいます。まず、基本的な仮定として、将来にわたり企業の自己資本利益率$latex ROE$(Return on…

2024/11/26 21:29

ポートフォリオの標準偏差の銘柄比率に関する勾配の求め方

この記事ではポートフォリオの標準偏差の重みに関する勾配を求めます。 $latex X_1, \ldots, X_n$を、標準偏差が$latex \sigma_1, \ldots, \sigma_n$である確率変数とします。 $latex w_1, \ldots, w_n \in \mathbb (0,1)$を、 \begin{align*} w_1 + \ldots + w_n = 1 \

2024/11/18 10:20

標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をわかりやすく解説！！！！

この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。まず最初にカイ二乗分布の確率定義: カイ二乗分布自由度$latex k$のカイ二乗分布の確率密度関数は、 \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left( \frac{1}{2}\right)^{\frac{k}{2}} x^{ \frac{k}{2} – 1}…

2024/11/09 18:47

事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額

この記事では、事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額を計算します。事故の発生件数が平均パラメータ$latex \lambda$のポアソン分布に従うとします。 1件目の事故に対しては支払いはなく、2件目の事故から、1件あたり$latex L$円支払われるとします。例えば、事故の総数が1件であれば、保険金は$latex 0$円です。また、例えば事故が4件であれば、

2024/10/30 21:46

一様分布の分散の求め方をわかりやすく解説

この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。命題: 一様分布の分散確率変数$latex X$は一様分布$latex U(a, b)$に従うとします。このとき、 \begin{align*} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*} が成り立ちます。実際に計算してみましょう。一様分布$latex U(a, b)$の確率密度関数が \

2024/10/30 20:52

二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説

この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。命題: 二項分布の再生性 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n, p)$に従う確率変数とし、 $latex Y$をパラメータ$latex m, p$の二項分布$latex Bin(m, p)$に従う確率変数とします。 $latex X, Y$は独立であるとします。

2024/10/29 19:00

二項分布の積率母関数の求め方をわかりやすく解説！！！

この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。確率変数$latex X$の積率母関数とは、 \begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*} により定義される関数のことでした。結論から述べると、命題: 二項分布の積率母関数 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n…

2024/10/28 19:00

正規分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！

この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 $latex X, Y$をそれぞれ独立な正規分布$latex N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$に従うとします。つまり、 \begin{align*} X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\quad Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\

2024/10/27 20:32

ポアソン分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！！

ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。命題: ポアソン分布の再生性 $latex X \sim Po(\lambda_1), Y \sim Po(\lambda_2)$で、互いに独立であるとします。このとき、 \begin{align*} X + Y \sim Po(\lambda_1 + \lambda_2)\

2024/10/24 21:31

生存関数から期待値を求める方法を解説！！！

今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。定義確率変数$latex X$に対して、 \begin{align*} S(t) = P( t \leq X)\end{align*} を$latex X$の生存関数といいます。期待値は、生存関数の積分によって表現することができます。

2024/10/22 22:20

ポアソン分布の最頻値の求め方をわかりやすく解説！

統計学や確率論において、ポアソン分布はランダムな事象の発生をモデル化する際に非常に重要な確率分布です。特に、一定の時間や空間内での稀な事象の発生回数を扱う場合によく用いられます。本記事では、ポアソン分布の最頻値（モード）の求め方について、できるだけわかりやすく詳しく解説します。最頻値は確率分布において最も頻繁に観測される値、すなわち確率密度関数が最大となる点を指します。

2024/10/15 19:00

二項分布の単峰性(unimodality)の証明をわかりやすく解説！

二項分布が単峰性(unimodality)を満たすことを証明します。まず単峰性の定義を確認しましょう。定義: 単峰性(unimodality) 離散型の確率変数$latex X$は、 \begin{align*} P(X = 0) \leq P(X = 1) \leq \cdots \leq P(X = k) \geq P(X = k+1) \geq \cdots \geq P(n) \

2024/10/14 19:00

二項分布の最頻値の求め方をわかりやすく解説！

統計学や確率論において、二項分布は非常に重要な確率分布の一つです。これは、成功確率が一定の試行を複数回行ったときの成功回数を表す分布です。二項分布の特性を理解することは、データ分析や統計的推測を行う上で不可欠です。本記事では、二項分布の最頻値（モード）の求め方について、できるだけわかりやすく詳しく解説します。最頻値は、確率分布において最も頻繁に観測される値、

2024/10/13 20:10

指数分布の中央値の求め方をわかりやすく解説！

指数分布は、連続確率分布の一種で、事象の発生間隔が独立かつ同一の確率で発生する場合に使用されます。この記事では、指数分布の中央値の求め方を解説します。確率変数がパラメータが$latex \lambda$である指数分布に従うとは、確率密度関数が、 \begin{align*} f(x) \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 &

2024/10/08 22:17

deferredキャッシュフローの修正デュレーションの計算方法を解説

投資やリスク管理の分野では、キャッシュフローのタイミングや金額の変動を考慮した評価が非常に重要です。特に、キャッシュフローが将来に繰り延べられる場合（Deferred Cash Flows）、その評価には特別な注意が必要です。本記事では、「Deferredキャッシュフロー」に対する修正デュレーションの計算方法を解説します。各期の金利を$latex i$として、

2024/09/30 19:00

対称な山型キャッシュフローの現在価値の計算方法を解説

ビジネスや投資の世界では、キャッシュフローのパターンはさまざまです。その中でも、支払い金額が期間の経過とともに増加し、その後減少する「山型キャッシュフロー」は特異なパターンとして知られています。現実の世界で綺麗に山型キャッシュフローとなることはほとんどないですが、投資理論に習熟するという意味でこの山型キャッシュフローの現在価値を計算することには一定の意味があるといえるでしょう。本記事では、

2024/09/29 15:17

元金均等返済で金を貸した時の真の利回りである内部収益率(IRR)の計算方法を解説

$latex L$円を$latex T$期間で元金均等返済で貸し出すことを考えます。各期の金利は$latex i$で、支払いは各期末に発生します。受け取った返済金は、その期末にすぐに各期の利率$latex j$で再投資するものとします。現在を$latex 1$期の始まりと仮定し、各期末での返済金を継続的に再投資しながら、

2024/09/28 15:39

逆関数法による確率変数の生成をわかりやすく解説

乱数生成は統計やシミュレーションにおいて非常に重要な役割を果たします。特に、特定の確率分布に従う確率変数を生成することは、統計モデリングや金融工学など多くの分野で必要です。その一つの方法として「逆関数法」がよく使われます。今回は、この逆関数法をわかりやすく解説していきます。逆関数法は、標準一様分布に従う確率変数と、生成したい確率変数の分布関数の逆関数を利用して、

2024/09/20 21:38

大学数学系ブログは収益が少ないので多分稼げない

数学が好きで、大学で学んだ内容をブログに書きたいと思う人は多いかもしれません。しかし、残念ながら「広告収入だけで稼ぐ」のはほぼ無理です。多分、サーバー代とかドメイン代で赤字になります。 Google Adsenseの広告収入に関してですが、私のサイトの場合、大体1PVあたり0.1〜0.2円の収益となっています。これはもちろん個人差やサイトのテーマ、読者層によって変動しますが、

2024/09/18 19:30

棄却法によるサンプリングで確率変数を生成する方法をわかりやすく解説

確率分布に従った乱数を生成する方法は多く存在しますが、複雑な分布では直接サンプリングが難しいことがあります。そんなときに役立つのが棄却法（Rejection Sampling）です。この記事では、棄却法の原理と使い方について、わかりやすく解説します。この記事では、確率変数は全て連続型のものを想定しています。一様分布に従う確率変数$latex U$と、確率密度関数が$latex…

2024/09/17 21:30

棄却法によるサンプリングで確率変数を生成する方法をわかりやすく解説

確率分布に従った乱数を生成する方法は多く存在しますが、複雑な分布では直接サンプリングが難しいことがあります。そんなときに役立つのが棄却法（Rejection Sampling）です。この記事では、棄却法の原理と使い方について、わかりやすく解説します。この記事では、確率変数は全て連続型のものを想定しています。一様分布に従う確率変数$latex U$と、確率密度関数が$latex…

2024/09/17 21:30

年金現価と年金終価の逆数の差が金利と一致することを解説

本記事では、年金現価と年金終価という2つの重要な概念を中心に、その逆数の差が金利に等しくなるという興味深い関係式について詳しく解説します。まず、記号を導入します。各期の金利を$latex i$で表します。 $latex n$期間、毎期末に1ずつ払う年金の現価を$latex a_n$で表します。 $latex n$期間、毎期末に1ずつ払う年金の終価を$latex s_n$で表します。このとき、

2024/09/15 18:28

年金終価の期始払いと期末払いの再帰的関係式の導出を解説

金融計算や資産運用において、「年金終価」は重要な概念です。特に、支払いのタイミングによって「期始払い」と「期末払い」の2種類が存在し、それぞれの将来価値（終価）は異なります。本記事では、これら2つの年金終価の再帰的関係式を導出し、その背後にある数学的な原理を詳しく解説します。まず、記号を導入します。各期の利率を、$latex i$とします。 $latex n$期間にわたり、

2024/09/15 17:50

借金やローンの元利金等返済の合計支払い利息の計算式をわかりやすく解説

元利均等返済とは、毎月の支払い額が一定で、元金と利息が混ざった形で返済していく方式です。毎月支払う額が固定されているので、計画的に返済がしやすいのが特徴です。返済初期は、利息が大きく、元金返済が少ない。返済が進むにつれて、元金部分の返済が増えて、利息の割合が減っていきます。設定元本$latex L$円、月利$latex r$%のローンを、期末払いで$latex n$回払いで、

2024/09/11 13:26

借金やローンの元利均等返済の計算式の導出を超簡単に解説

ローンを組むとき、毎月支払う金額が一定になる元利金等返済はとても一般的です。この仕組みを理解することは、金融計画にも役立ちます。この記事では、この元利金等返済の公式を、できるだけ簡単に説明します。元利均等返済は、毎月の返済額が一定になる返済方法です。つまり、借りたお金（元本）と利息を合わせた金額を均等に支払います。最初のうちは、利息の支払いが多く、元本の減りは少ないですが、徐々に利息は減り、

2024/09/10 15:22

累減年金の現在価値の公式をわかりやすく解説

毎期減少していく期末払い年金の現在価値を計算してみます。記号として、$latex n$期間の期末払い確定年金の現在価値を$latex a_n$で表記することにします。割引率を$latex v$で表すことにします。命題 paymentが \begin{align*} n, n-1, n-2 , \ldots, 1 \end{align*} と毎期減少していく期末払い年金の現在価値を$latex…

2024/09/07 15:17

パー債券の修正デュレーションが期末払い確定年金現価と一致することの証明

パー債券とは、額面価格と同じ価格で発行される債券のことです。通常、債券にはクーポン（利息）が付いており、一定の期間ごとに投資家に支払われます。パー債券では、このクーポン率が市場利率と一致しているため、額面通りの価格で取引されます。 $latex t$期のクーポンが$latex C$, 割引率$latex v$, 満期$latex n$年の額面が$latex F$の債券を考えます。

2024/09/06 20:38

ベースフード・ベースブレッドを解約する方法をわかりやすく解説

ベースフード（BASE FOOD）は、健康を意識した完全栄養のパンとして多くの人に愛用されています。しかし、ライフスタイルの変化や個人の好みによって解約を考えることもあるでしょう。この記事では、解約の手順をステップごとに詳しく解説していきます。 BASE FOODの創業者、橋本舜さんは甲陽学院高等学校の出身ということで、私のOBにあたるため解約方法の解説は個人的には少し心苦しい気持ちもあります。

2024/09/06 13:38

確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説

確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数$latex X$に対して、 \begin{align*} f(x) = \partial_x F(x)\end{align*} が成り立つことを思い出しておきます。ここで、$latex f$は$latex X$の確率密度関数で, $latex F$は$latex…

2024/08/21 12:32

LaTeXで改行や改ページをするコマンド

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。数学や物理学に限らず、あらゆる分野で改行や改ページが頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで改行や改ページをどのようにするかを詳しく解説します。

2024/05/09 21:54

限界代替率の計算方法をわかりやすく解説！！

限界代替率（MRS: Marginal Rate of Substitution）とは、経済学において消費者の選好を表現する重要な概念であり、特定の財の組み合わせにおいて、ある財を1単位追加で得るために、他の財をどれだけ犠牲にできるかを示します。

2024/05/07 21:00

LaTeXでテンソル積や直和のコマンドクロネッカー積も

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学や物理学の分野では、テンソル積や直和の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXでテンソル積や直和の記号をどのように表現するかを詳しく解説します。

2024/05/07 13:30

LaTeXで不等号や等号のコマンド否定スラッシュや近似記号つき

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学の分野では、等号や不等号の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで等号や不等号の記号をどのように表現するかを詳しく解説します。特にこれといってよく使われる名称がないものについては、名称欄は空欄としています。スラッシュをつけるには、

2024/05/06 14:15