数理経済学的特別計画

実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることの証明

この記事では実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることを証明します。 最初に冪等行列の定義を確認しておきます。正方行列$latex A$は、 \begin{align*} A^2 = A \end{align*} を満たすときに、冪等行列といいます。 命題： $latex A$を実対称な冪等行列($latex n$次)とする。任意の$latex i = 1, \ldots , n$に対して、

2025/01/18 23:01

標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることの証明

この記事では、標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることを証明します。 まず、スコア関数を定義します。 確率変数$latex X$を、パラメータ$latex \theta$をもち、確率密度関数が$latex f_X(\cdot; \theta)$である確率変数とします。 スコア関数は、 \begin{align*} S(X; \theta ) = \partial_\theta \

2025/01/12 23:29

アーラン分布の生存関数を計算する方法を解説！！

アーラン分布の生存関数をポアソン分布から計算する方法を解説します。 最初にアーラン分布を思い出しておきましょう。 定義:アーラン分布 正の整数$latex k$と正の実数$latex \mu$をパラメータとするアーラン分布とは、 確率密度関数 \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left(\frac{1}{\mu} \right)^k x^{k…

2025/01/12 19:26

条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説！！！

この記事では条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説します。 条件付き裾野期待値(Conditional Tail Expectation)と言っているのは、確率変数$latex X$に対して \begin{align*} E(X \mid X > x) \end{align*} この積分のことです。 結論を先にかくと、$latex F$を$latex X$の累積分布関数とすると、

2025/01/04 19:06

ハザード関数から生存関数を復元する計算を解説

この記事ではハザード関数から生存関数を導出する方法を解説します。 命題：ハザード関数から生存関数を復元 $latex X$を確率変数、$latex h$を$latex X$のハザード関数、$latex S$を$latex X$の生存関数とする。 このとき、 \begin{align*}S(x) = e^{ – \int_{-\infty}^x h(\xi)d\xi } \end{align*}…

2025/01/04 16:04

指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式

この記事では、指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式を解説します。 よくある状況を考えるために、$latex f(x) \in C^\infty$とし、$latex ^\exists{N} \in \mathbb N$ \begin{align*} \frac{d^N}{dx^N}f(x) = 0 \end{align*} という状況を考えることにします。 \begin{align*

2025/01/04 14:55

略算平均余命の再帰式の導出方法を簡単に解説！

この記事では略算平均余命の再帰式の導出方法を解説します。 記号の復習をしておきます。 $latex x$歳の人が$latex k$年生きる確率を、 \begin{align*} {}_k p_{x} = \frac{l_{x+k}}{l_x}\end{align*} という記号で表記します。 $latex x$歳の人が、$latex x + t$年目に死亡する確率を、 \begin{align*}…

2025/01/03 02:34

1/√(1+x^2)の積分の計算方法をわかりやすく解説

この記事では1/√(1+x^2)の積分の計算方法を解説します。 つまり、 \begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx \end{align*} の計算方法を解説します。 余談ですが、京都大学の女性募集枠特色入試の数学サンプル問題でこの積分が使える場面がありました。 結論から書いてしまうと、 命題：1/√(1+x^2)の積分 \

2025/01/02 10:52

略算平均余命が生存確率の総和と一致することの証明をわかりやすく解説

この記事では、略算平均余命(Curtate Life Expectancy)が生存確率の総和と一致することを証明します。 記号の準備をします。 $latex x$歳の人の人口を、 \begin{align*} l_x\end{align*} という記号で表記します。 $latex x$歳の人が$latex k$年生きる確率を、 \begin{align*} {}_k p_{x} = \frac{l…

2025/01/02 10:16

2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説！！！

この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。 命題：2つのポアソン過程の発生順序 $latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$を2つの独立なポアソン過程とし、それぞれ強度(intensity)は$latex \lambda_a, \lambda_b$であるとします。 このとき、1回目のイベントの発生が$latex \{B_t \

2025/01/01 18:43

2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説！！！

この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。 命題：2つのポアソン過程の発生順序 $latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$を2つの独立なポアソン過程とし、それぞれ強度(intensity)は$latex \lambda_a, \lambda_b$であるとします。 このとき、1回目のイベントの発生が$latex \{B_t \

2025/01/01 18:43

指数分布の指数関数がパレート分布であることをわかりやすく解説！！！

この記事では、指数分布の指数関数がパレート分布であること、つまり、パレート分布の対数変換が指数分布であることを解説します。 パレート分布がなんだったかを思い出しておきます。最小値パラメータ$latex x_m >0$、形状パラメータ$latex a$のパレート分布とは、確率密度関数が \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x_m}\left(\

2025/01/01 13:56