使える数学を目指して！

平方根の計算（受験数学の基礎）

平方根の計算は、中学校での知識が残っている方はできると思いますが、ただ計算出来れば良いというものでもありません。少しでもスラスラ計算できるために知っておきたいという基礎部分を書いておこうと思います。ただ、ここに書く内容は中学生でも知っている人が多いと思われる内容なので、高校生以降の方でご存じない方は、申し訳ありませんが、（平方根の計算に関しては）基礎が欠けていると言わざるを得ません。でも大丈夫です。そんなに難しい内容ではありませんので。 では、問題です。 本題に入る前に、平方根とは何か、念のために解説しておきます。例えば、3の平方根と言うと、2乗して3になる数のことです。2乗して3になる数は、…

2018/12/31 10:03

平方完成（受験数学の基礎）

これは、高校数学の基礎ですが、マスターすると中学生でも2次方程式で使える場所があります。使えるというより理解するときに簡単に感じるでしょう。高校生は必須ですね。ここでしっかりマスターして、ダラダラ何行も書くのではなく、一発で平方完成できるようになってください。 そもそも平方完成とは何か、それは、以下のような形に2次関数などを式変形することです。 これは、平行移動の考え方につながる部分なので、平行移動した後の関数の作り方をご存じない方は、平行移動のエントリーを先にご覧ください。 この平方完成は、何のために行うかと言うと、2乗のかたまりを作るためと、2次関数の頂点の座標を知るためという2つの目的が…

2018/12/30 14:37

幼児教育・高等教育の無償化について考える

政府は、幼児教育の無償化について来年（2019年）10月からスタートさせることを正式に決めました。3～5歳児は原則全世帯、0～2歳児は住民税非課税の低所得世帯を対象にしています。また、高等教育の無償化については、2020年度から、大学などに通う低所得世帯の学生に、返済不要の給付型奨学金を支給することに決めました。今回は、このことについて私の考えを書いておきたいと思います。 私には3歳の娘がいるため、今回の無償化の対象になっている世帯であり、法案が可決すれば、恩恵をあずかることになります。しかし、今回の決定に関しては反対です。反対の理由は幼児教育の分と高等教育の分で違うので、分けて書いておきます…

2018/12/29 12:32

平行移動（受験数学の基礎）

平行移動したあとの関数をどうやって作るのか、また、何故そうしたら良いのかについて解説します。これは、高校生で学ぶことですが、中学生でも理解できるか試してみてください。これが分かると、直線の方程式をさっと求めることが出来ますから、中学生にもお勧めです。 中学生でも理解できるように、あまり抽象的な説明ではなく、具体的に例を挙げながら説明します。下の図のように、y＝2xという直線をx軸正の方向（右側）に＋3だけ平行移動させたときの直線の方程式を求める方法を考えます。高校生は楽に解いてほしいところですが、解けましたでしょうか？ まずは、あまりオススメではない方法から。 中学生が何も教わらずに解くと、こ…

2018/12/28 20:36

因数分解（受験数学の基礎）

前回は式の展開でしたが、今回はその逆の因数分解について書きたいと思います。因数分解の方法について逐一解説するわけではなく、他の問題集などに載っていないことで重要だと思うこと、載っているけど意外とおろそかにされていることについて書いておきたいと思います。 まず、因数分解とは何か、細かい定義をすっ飛ばして簡単に説明しますと、掛け算のかたまりを作ることです。つまり、6＝2×3みたいな感じです（これは素因数分解）。これの文字式バージョンを一般的に因数分解と呼んでいます。 まず、教科書や問題集などに載っていることで、意外とおろそかにされていることについてですが、因数分解をするときに最初に考えないといけな…

2018/12/27 12:34

式の展開（受験数学の基礎）

高校受験、大学受験が近づいてまいりましたので、ここらあたりで、受験数学において確実に身に付けておきたい、受験数学の基礎シリーズをやっておこうと思います。基礎なので、受験生であれば身に付けておいて当たり前！なのですが、意外と身についていない人もいる、そういう部分が最後の最後で大きな差になるんですよね。 ここに書くことは基礎なので、これだけを身に付けたからと言ってすぐに点数に反映されるわけではありませんが、確実にマスターしていただければ、間違いなくその差は目にみえるようになります。今回は、式の展開です。 式の展開は、要はバラバラにしたらよいので、これが出来ないという人は少ないと思います。しかし、ス…

2018/12/26 21:16

場合分けして考える

場合分けって、数学が苦手っていう人のほとんどが嫌いですよね。何故でしょうね？話が複雑になる気がするのでしょうか？本当は、話を複雑にしないために分けて考えているのですけれど。 この場合分けも、日常で使える数学のひとつです。というよりも、皆、無意識で使っていたりもするはずです。色んなシチュエーションで人は選択を迫られるわけで、そういうときに、「もしこうするとこうなる・・・」など、考えているはずです。今回は、その場合分けを、無意識ではなく、意識して使っていこうというお話です。 道を歩いていて素敵な異性を見かけたとします。あなたならばどうしますか？積極的に声をかけるというあなた、素晴らしいですね！行動…

2018/12/25 19:30

色んな解法で解くことを教える

数学のテストで出てくる問題は、「どの単元の問題か」「何を使って解くのか」が分かっている問題がほとんどなのが現状です。なので、問題を見て、自分の知識の中から考える道具を引っ張り出してきて、どう考えるかから考えるというプロセスを鍛える訓練の場がありません。 これでは日常生活に数学を使うことなど不可能ですし、数学を学ぶことに何の意味があるのかと思われても仕方ないと思います。 よく耳にする話に、「小学校で方程式を使って解いたら✖をされた」というのがあります。学校で教わっていない方法は間違いだとのことです。私はこれは少しだけ分かる部分もあって（ほんの少しだけですが）、学校以外の場所で先に学習している場合…

2018/12/24 13:00

「付き合う」の定義について生徒と考えました！

明日はクリスマスイブですね。今年は、23日24日と連休なのもあって、ゆっくり出来るクリスマスイブとなりそうです。中学生高校生は、冬休みに入っていきなりのビッグイベントですから、テンション上がるでしょうね。 今も昔も変わらないと思いますが、中学生高校生（に限らず？）の一番の興味は恋愛のようです。「中高生の本分はがくぎょうである」とか「中高生らしい恋愛を」とか、心にもないことを言うつもりは当然ありませんし、恋愛に限りませんが、自分の人生なので、やりたいことを好きなようにやったら良いと思っていますし、生徒との話でも、そのスタンスでおしゃべりします。 だからなのかは知りませんが、恋愛の話で相談されるこ…

2018/12/23 12:00

東京ドーム何個分って考え方は外国でもあるのか？

中学生くらいだと、単位をおろそかにしてしまう生徒が結構いて（高校生でもいますけど）、例えば、方程式の問題で文字を設定するときに、「クッキーをxとする」という文を平気で書く子がいます。これだと、クッキーの枚数なのか重さなのか値段なのかわかりませんね。もっと言うと、もし重さだとしても単位がグラムなのかキログラムなのかポンドなのか分かりません。ですから、「クッキーの重さをxgとする」などのように書く必要があります。 単位を意識していない子は、頭の中で絵がイメージ出来ていないのではないかと思われます。これだと、自分のあたまで考えて数学を使いこなすことなど出来るはずがありません。 高校化学で「モル」を苦…

2018/12/22 23:15

全パターンを書き出せば良いという考え方

場合の数を効率よく数えるために、「順列」や「組合せ」などの考え方や公式などを理解して使いこなすことは、数学を使うことのひとつだと思うのです。もちろん、これらの考え方や公式に限らず、他にも数学ではたくさんの定理があります。 これらを使いこなす機会で一番多いのは数学の問題を解くときなのかもしれません。このブログで書いていきたいのは、実生活で使える数学であることには違いないのですが、問題を解くときも意外と使える数学があることに気づいていない人がいます。それは、模範解答よりも素敵な解法に気づくというハイレベルな話（も、ごくたまにありますが）ではなく、せっかく便利な公式や考え方があるのに、それを理解した…

2018/12/21 23:05

同じ10億円！年末ジャンボより○○○の方が2倍当たりやすい！

2018年もそろそろ終わりですね。年末と言えば年末ジャンボ宝くじです。宝くじは当たる確率が低いですけど、その当選金額の高さから、購入のために行列が出来るほどの人気商品です。宝くじについては「夢を買っている」「買わなきゃ当たらない」という意見や、「当たるわけがない」「買うやつは愚かだ」という意見があります。購入は自己責任でやっていただければ良いわけで、個人のお金の使い方に文句を言うつもりはさらさらないのですが、今回は、改めて、数学的に、宝くじについて考えてみます。 まず、年末ジャンボ宝くじとは何なのか、知らない人はほとんどいないとは思いますが、少し丁寧に見ていきます。 年末ジャンボ宝くじは、毎年…

2018/12/20 17:44

何が分からないかが分からないという質問

教える現場でよく耳にするこのセリフ。何が分からないのかが分からないというセリフについて、考えてみます。 まずこのセリフが出てくるシチュエーションとして、例えば試験中などで、「もうお手上げ状態です。私には無理です。」という意味でこのセリフを使うのであれば、個人的にはまだ理解は出来ます。つまり、降参、負けを認めているのですから、かける言葉は、「うん、仕方ないね」となります。己の力不足を認めている訳ですから、死者に鞭打つ言葉をかけても意味はありません。 しかし、よくあるのが、「何？この問題、意味不明」などのように、まるで問題文が悪いかのような勢いで、ときには怒りを込めて、逆ギレして、このセリフを浴び…

2018/12/19 19:13

大学入学共通テストのプレテスト数1Aを解いた感想まとめと今後

13回に渡って解いてみました。平成30年11月施行分の大学入学共通テストのプレテスト数1A。ちょっと時間を空けて数2Bも、感想と考え方を書いていこうと思っています。13回の間にもちょこちょこ全体的な感想を書いていましたが、今回は、振り返ってみて改めて、「平成30年11月施行分の大学入学共通テストのプレテスト数1A」についての感想を書いておこうと思います。 全体的によく練られた素晴らしい問題だったと思います。当初のコンセプトと外れて、結局、読解力を最も必要とする試験だったことは賛否両論あるでしょうし、私も最初は、「新テストで測りたい能力は読解力じゃなかったはずだろ？新テスト設立の目的から外れてい…

2018/12/18 20:10

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その13（数1A第5問後半）

図形の性質の後半です。新たな設問は、最後の（ク）（ケ）だけですが、掻い摘んで問題文も載せておきます。詳しくお知りになりたいかたは、こちらからご覧ください。 https://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00035624.pdf&n=02-02_%E5%95%8F%E9%A1%8C%E5%86%8A%E5%AD%90_%E6%95%B0%E5%AD%A6%E2%91%A0.pdf 出典：大学入試センター 出典：大学入試センター 出典：大学入試センター 出典：大学入試センター 出典：大学入試センター まず、（ⅴ）の∠QPRが120°より小さいときの点Yの位置の…

2018/12/17 08:56

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その12（数1A第5問前半）

第5問は、図形の性質です。 出典：大学入試センター 出典：大学入試センター ある2つの三角形の合同を示すことで、AB'＝CXを示す、と誘導してくれています。実は、選択肢をよくみることで答えを出すこと自体は難しくはありません。何故ならば、示したいのがAB'＝CXなので、辺AB'と辺CXを含む三角形の組合せを選べばよいからです。選択肢の中で辺AB'と辺CXを含むものは、⓪①③⑥⑦です。これらをひとつずつ検証してみると、合同な三角形っぽくなるのは、⓪と⑦の組合せのみですし、実際、これらが答えです。 些細なことですが、こういう風に必要条件から絞り込むという考え方は数学的な考え方ですし、使える数学です。…

2018/12/16 13:58

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その11（数1A第4問後半）

整数問題の最後です。 出典：大学入試センター 出典：大学入試センター この問題では、分銅を片方にしか乗せません。Xの質量Mグラムとつりあうように3gと8gのおもりを乗せる、つまり、Mを3と8を何回か足すことで作るということです。今回のポイントは、足すだけで引くことはできないというところです。 まずは具体的に見ていきましょう。M＝1やM＝2を作ることが出来ないことは容易に分かります。続いて、M＝4、5、7が出来ないことも分かります。数が小さいときは3の倍数でも8の倍数でもないものを選べばよいので簡単ですが、3＋8＝11とか、3×2＋8＝14とかいうのは気を付けて数えないと数え漏れをおこします。M…

2018/12/15 12:58

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その10（数1A第4問前半）

第4問の整数です。 ------------------------------------------- -----------------------(出典：大学入試センター） ややこしく書いてありますが、丁寧に読み解いて、方程式を立てて解けば別に難しくはありません。（ア）1（イ）5（ウ）7 となります。 ------------------------------------------ -----------------------------------(出典：大学入試センター） これも別に難しい話ではないのですが、「Mがどのような自然数であっても・・・」とか言われると、ちょっとドキ…

2018/12/14 21:14

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その9（数1A第3問後半）

前回に引き続き、確率の問題です。前回までのあらすじをざっくり書いておきます。 （問題）くじが100本ずつ入った箱Aと箱Bを同確率で選び、くじを1本引く。1本目のくじが当たったという条件付きで、そのくじは戻さずに2本目も同様に引くときに、1本目を引いた箱と同じ箱から2本目を引くのと、もう一つの箱から引くのはどちらが高確率か調べる。当たりくじは、箱Aに10本、箱Bに5本入っている。 （回答の流れ）1本目に当たりを引いて、それが箱Aのくじであった確率は2／3、それが箱Bのくじであった確率は1／3で、箱A→箱Aと引くときは、2本目は99本のくじの中に9本の当たりくじが入っており、箱B→箱Bと引くときは…

2018/12/13 09:07

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その8(数1A第3問前半)

長い・・・問題文が。こういう場合は、ざっくり読んで、どこに何が書いてあるのかだけを把握しつつ軽く読むのが個人的にはお勧めです。掻い摘んで書くと、 1．箱A箱Bのどちらかを選んでクジを2回引く 2．1回目に当たりが出たという条件付きで、2回目も同じ箱から引くのが良いか、それとも違う箱から引くのが良いのかを考える という感じです。今回のポイントとなるのが、条件付き確率というものですが、これは、大きく分けて下記の2つの解き方があります。 これらは問題によって使い分けるのが良いですが、今回のように問題文で誘導される場合もあります。ちなみに今回は、2つ目の乗法定理の公式を利用するように誘導されています。…

2018/12/12 23:12

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その7（数1A第2問〔2〕後半）

前回の続きです。掻い摘んで問題を載せておきます。 消去法ではなく、ピンポイントで③を選びたいところです。相関係数の式は以下のように書けました。 そして、標準偏差とは、√（分散）で、分散とは「偏差の2乗の平均値」でした。さらに、偏差とは、「（データ）－（平均値）」ですから、yのすべてのデータが2だと、yの平均値も2となり、偏差は0になり、yの分散もyの標準偏差も0になります。よって、他の値に関係なく、相関係数の分母は0となり、相関係数は存在しないということになります。 ちなみに、分母が0である数は存在しないことはご理解いただけるでしょうか？一応、下に簡単な証明を載せておきます。（背理法を使ってい…

2018/12/11 19:36

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その6（数1A第2問〔2〕前半）

今回からデータの分析です。押さえるべきポイントを押さえているかどうかで、解くスピードが変わってくる分野です。いや、それは全部そうか・・・。言い直すと、押さえるべきポイントを教わっていない人が多い分野なのではないかと私は思っています。前半部分ではそんなにポイント的な部分はありませんが、見てみましょう。 ここまでの内容で押さえておくべきことは、言葉の定義（計算方法）です。この計算方法を文字式の公式で覚えている人もいるようですが、個人的には、意味が分かるように言葉で覚えておくのがおすすめです。中でも、分散と標準偏差は言葉で説明できるようにしておきましょう。 （偏差）＝（データ）－（平均値） （分散）…

2018/12/10 22:57

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その5（数1A第2問〔1〕後半）

前回のエントリーの続きです。 各時刻における面積の大小関係と書いてあるので、まずは時刻を変数として面積を表現するという道筋はすぐに分かります。 同様にして、△BQR、△CRPの面積を表現すると、△APQと同じ式が出てきます。ということは、変数xに関係なく、面積は、△APQ＝△BQR＝△CRPということが言えます。つまり、解答としては、模範解答から抜粋すると、 他にも書き方はあるでしょうが、聞かれたことに忠実に答えたら問題ないと思われます。 この設問、入試変更の焦点にもなった「表現力をみるため」の記述式になっています。この設問が表現力をみるための問題かと聞かれると少し疑問が残りますが、計算させて…

2018/12/09 11:56

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その4（第2問〔1〕前半）

12月になって、大学入試センター試験まであと約1ヶ月、受験生はたくさんの問題を解いていることと思いますが、是非、プレテストの問題も解いておくことをおすすめします。 何故ならば、前回（平成30年1月）のセンター試験も、明らかに新テストを意識した問題作成になっていたからです。プレテストの問題を解くことで、問題作成者の気持ちや自分の弱点に気づけるかも知れません。 というわけで、しばらく、プレテストの問題の感想を載せていこうと思います。あくまでも、感想メインで、数学の考え方、使い方に着眼していきます！模範解答自体は他のサイトを参考になさってください。 まず一つ目のポイントとしては、動点P、Q、Rの点を…

2018/12/08 20:33

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その3（数ⅠA第1問〔4〕）

まずは、ここまでの問題文を読んで、解いてみます。（1）の問題文が始まる前までの文は、角が90度のときの正弦定理を証明しています。そして（1）では、角が鋭角のときの正弦定理を証明しようとしているのです。ちなみに、鋭角とは、0度より大きく90度より小さい（90度を含まない）角のことで、90度より大きく180度より小さい角のことを鈍角と言います。では、90度は？直角ですね。 この問題を解く上で、中学校で学んだ、円周角の定理（ある弧における円周角はすべて等しい）や、円周角と中心角の性質（中心角は円周角の2倍）を知っておく必要はあるのですが、この証明自体を経験しているかどうかが大きく差をつけた問題だと思…

2018/12/07 00:41

場合の数の考え方(排反と独立の違い)

前回のエントリーでも書きましたが、場合の数や確率を考えるとき、「排反」や「独立」という単語を用いることがあります。この2つの言葉は、意外と混同しがちなので、しっかり意味を把握しておく必要があります。今回は具体例を上げながら、この排反と独立の違いを書いてみます。 その前に、試行と事象という言葉の定義について確認しておきましょう。 試行とは、繰り返し行うことの出来る操作のことで、事象とは、試行の結果起きる現象のことです。ややこしいと思いますが、具体例でイメージ出来れば大丈夫です。 コインを1回投げる試行において、表が出るという事象と裏が出るという事象とがあります。このとき、表でもあるし裏でもあると…

2018/12/06 10:04

場合の数の考え方（かつとまたは）

場合の数を計算で求めていくときに、順列、組合せ、階乗の公式や考え方を使う（個人的には順列の公式は使いませんけど）のですが、実はもっと使っている考え方があります。これは、公式化していないだけで、計算としてはバンバン使っています。無意識に。今回は、これを説明して、是非、無意識ではなく意識しながら使っていただきたいと思います。 その考え方とは、「かつ」と「または」です！タイトルでバレバレですが。 覚えておきたい結論を先に書きますと、「かつ」は掛け算、「または」は足し算です。とても単純ですが、実はこれには落とし穴（後半に解説します）もありますので、是非、理解した上で使いこなしていただきたいと思います。…

2018/12/05 23:59

場合の数の考え方（組合せの公式を理解する）

場合の数という高校の数Aで勉強する単元では、順列と組合せという2大巨頭の考え方があります。これらを求める公式もあるのですが、これをただ丸暗記するのではなく、その意味を理解することで、公式を使いこなすことができると、前回のエントリーで書きました。 learn-for-fun.hatenablog.com 今回は、順列とは何か、組合せとは何かを、具体的な例を挙げながら説明し、公式を理解していただこうと思います。 (問1)1．2．3．4．5と書かれた5枚のカードの中から3枚を選び、3桁の数を作るとき、何通りの数を作ることが出来るか答えよ。 (問2)1．2．3．4．5と書かれた5枚のカードの中から同時…

2018/12/04 23:59

場合の数の考え方(問題を解くときに大事なことと階乗の定義について)

高校数学の範囲で場合の数を考えてみます。中学校の範囲との大きな違いのひとつとして、場合の数を数えるときに公式の利用があります。しかし、公式自体は無理して使う必要はなく、公式を導く過程の考え方の方が重要だと私は思います。何故ならば、そこが分かっていないと、与えられた問題において、どの公式をどの部分で用いて良いかが分からないからです。公式の利用を苦手としている高校生が多いのも、問題を解くときに、公式をただ当てはめれば良いのではなく、公式を理解して使いこなす必要性が高いからではないでしょうか。 基礎が出来ていない生徒からの質問で多いのが、 「この問題はPですか？Cですか？」 というものです。ちなみに…

2018/12/03 23:04

場合の数の考え方（樹形図など中学校の範囲）

場合の数という数学の単元があります。要は、何パターンあるかという数の数え方について、ただやみくもに数えるのではなく、効率の良い数え方を学ぼうという趣旨のものです。これぞまさに使える数学の名に相応しい単元ですね。中学校と高校でその基礎を学ぶのですが、実は小学校でも学んでいます。例えば、この↓エントリーでも書きましたが、ただ「ひとぉつ、ふたぁつ・・」と数えるのではなく、計算によって求めていますから、立派な数学の考え方ですね。 learn-for-fun.hatenablog.com 小学校でも学ぶ効率の良い数の数え方といえば、「掛け算」がありますね。1列8本のジュースが7列並んでいるとすると、8×…

2018/12/02 20:43

十分条件と必要条件とは

高校の数Ⅰで勉強する論理と集合という単元がありますが、ここは苦手な人が多い単元です。中でも、十分条件、必要条件っていったい何よって人が多いと思っています。このエントリーでは、あまり学校では説明を受けない、「十分条件」「必要条件」という言葉の意味と、その判断の仕方（問題の解き方）について書いていきます。 「十分条件」「必要条件」という言葉の意味の説明の前に、命題、真偽について説明を書いておきます。 『命題』真偽がはっきり定まる文のこと（〇✖がはっきり言える文のこと） （例）ナイル川は日本の川である→明らかに偽なので命題とは言える（偽の命題） （例）金持ちならば幸せだ→真とも偽とも言えないので命題…

2018/12/01 17:10