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センター試験感想つづき

2019年センター試験が終わり、今日、大手予備校の合格可能性判定が発表されました。受験生の皆さんは、これを参考にしながらどこに願書を出すのか考えるわけで、ドキドキしながら判定を見たことでしょうね。私の生徒はB判定だったので、まだ逆転可能な位置にいるようです。いつもより点数が取れていなかったので、C判定以下だと思っていましたが、何とかなりそうです。しっかり最後まで勉強も含めて応援したいと思います。今回のセンター試験は比較的問題によって難易度の差が大きかったのではないかと思います。数1Aで言うと第二問のデータの分析の後半部分と、第三問の確率の途中の誘導部分で差がついたのではないかと思います。デ…

2019/01/23 23:53

2019年度大学入試センター試験の感想（数学ⅡB）

前回に引き続きセンター試験の感想です。今回は数ⅡBについて書いておきます。大手予備校の寸評はそんなに突っ込んだことは書けませんからね。代わりに書いておこうと思っております。では、早速。（第一問） [1]三角関数です。2倍角の公式、三角関数の合成までは通常のパターンで代り映えはありませんでしたが、その後に求める最大値が、ただの最大値ではなくて最大の整数値っていうところが新しかったですね。そんなに難しいわけではないんですけど、数ⅡBの方ではあまり無理数の整数部分を出させる問題は見かけないので、ちょっと戸惑った人はいたでしょうね。 [2]指数と対数の方程式です。これといって大したことない問題でした…

2019/01/22 23:14

2019年度大学入試センター試験の感想（数学ⅠA）

昨日行われた、センター試験の数ⅠA数ⅡBをとりあえず解いてみました。詳しい解説は、大手の予備校が模範解答を作るでしょうから、それまで待った上で、面白いなぁと思った部分に関しては後日解説しようと思っておりますが、本日は解いてみて抱いた感想を書いておくことにします。予備校も感想を書きますが、当たり障りのないことしか書けないでしょうから、代わりにビシッと書いておきます！単刀直入に言いますと、今回のセンター試験の数学は、ⅠAⅡB共に、残念な内容でした。あくまでも個人的な感想ですが、大学の先生が集まって、自分の研究は横に置いて、1年間かけて作り上げるセンター試験ですから、期待していた分、がっかりしたこ…

2019/01/21 23:07

なぜ数学は暗記だと言われるのか考えてみました

本日はセンター試験2日目、理系科目の試験が行われてました。問題がアップされたら早速解いて感想を書いていきたいと思っております。さて、センター試験が行われているからなのでしょうが、SNSの投稿もセンター試験がらみや、勉強がらみの記事が多いように感じます。英語のリスニングに出てきた野菜四銃士は笑いましたが、センター試験もあの手この手でメンタルを揺さぶってきますね！面白いので良いと思います。出典：平成31年度大学入試センター試験問題（英語リスニング） SNSや、Googleなどの検索エンジンは簡単なAIっぽいものが搭載されているので、私が興味あるものを出してくれるからなのでしょうが、やたらと最近…

2019/01/20 19:08

センター試験の1点の重み

今日は、平成31年度大学入試センター試験の1日目です。今日は文系科目で、明日が、理系科目の試験となっております。今年は、576,829人の受験生がセンター試験を受けたようですが、自分の教え子がきちんと解けたかどうかだけが心配です。良くても悪くても引きづらずに明日に向けて最後の追い込みをやって頂きたいと思っております。さて、1点の重みというセリフを聞いたことがある方は多いと思いますが、実際にどれくらいの重みがあるのでしょうか？計算で出してみようと思います。先程、約57万人の生徒が受けると言いました。これらの生徒は0点から満点の900点まで様々な得点を取ると思うのですが、例えば、0点の生徒はそ…

2019/01/19 20:16

センター試験前日に贈る言葉

とうとう平成31年度センター試験の日がやってきました。1日目は文系科目、2日目が理系科目なので、個人的には明日ではなく明後日の方が気になります。昨年は、新テストを意識した出題が見られましたが、今年はどうでしょうか？新テストを意識したものになっている（私はそうなると思っていますが）場合、どんな素敵な問題を作り出してくれていているのか、楽しみで仕方がありません。実際に入試を受ける方からしたら、「楽しみ～なんて不謹慎な！こっちは勝負がかかっていて真剣なんだぞ！」と怒られてしまうかもしれませんが、不安でドキドキした精神状態で試験を受けるよりも、楽しみな精神状態で受けた方が、良い結果に結び付くんじゃな…

2019/01/18 17:25

直線の傾きとは（受験数学の基礎）

今回は直線の傾きについて書きます。傾きとは何か？と聞かれて答えられますでしょうか？答えられない方は是非ご覧いただき、理解して、中学生に数学を教えるときにでも使ってください。傾きとは、直線の式を表現するときに用いるものなので、まずは直線の図で説明します。この直線の傾きは何でしょうか？答えは2です。変数xの前に書いてある係数を傾きと呼んでいます。この傾きですが、もっと掘り下げて考えてみましょう。傾きは、別名、変化の割合と中学校では呼ばれ、（yの増加量）/（xの増加量）で計算できます。高校では平均変化率と呼びます。この、同じものなのに呼び名が変わる、出世魚みたいなシステムの意味は私には分かりま…

2019/01/17 22:20

速さの計算(受験数学の基礎)

小学校で教わるやつ前回の続きで、速さの計算です。私は小学校で教えている「はじき」の公式が嫌いです。公式を使うことはもちろん構わないのですが、何故そうなるのかを考えることもなく、ただ丸暗記しても、それはあまり使える知識、使える数学(算数)とは言えません。今回は、速さの定義などに遡りながら、この公式の意味、計算方法を考えてみることにします。（問題）時速40kmの速さで3時間走ると何km進めるでしょうか。最初に、距離の求め方からやりましょう。「はじき」の公式をみると、距離は、(速さ)×(時間)で求めることが出来ます。何故でしょうか？前回やりましたが、そもそも速さとは何だったでしょうか？単位時…

2019/01/16 19:41

速さって何？（受験数学の基礎）

今回は、速さについて解説しようと思います。速さって何？と小学生に聞かれたら何と答えますか？意外と困ってしまう方が多いかもしれません。速さとは何か、何故、難しく感じてしまうのかについて書いてみます。結論から行きましょう。速さとは、単位時間当たりに進むことのできる距離のことです。これが定義なのですが、少し分かりにくいですね。もっと具体的に説明すると、例えば、時速30kmとは何か、1時間で30km進むことのできる速さのことです。こう考えるとそんなに難しくはないのですが、何故、速さとは何か？と聞かれたら答えるのが難しく感じるのか、少し考えてみました。きっとそれは、速さの表現方法が、勉強で教わること…

2019/01/15 23:36

指数部分の計算（受験数学の基礎）

前回、超基礎の掛け算、割り算について考えるというエントリーを書きました。簡単にまとめると、掛け算の2×3とは2を3回足すこと、割り算の6÷2とは6を2つに分けることと考えることもできるけど、6の中に2がいくつ入るかと考えることもできる、ということでした。これらは小学校で本来学ぶことですが、掛け算とは、割り算とはという定義は意外と忘れている人もいるかなぁということで取り上げた次第でした。今回は、中学校で学ぶ基礎なのですが、これも何となくで覚えてしまっている人が多い、指数部分の計算について取り上げようと思います。これは高校でも改めて学ぶのですが、中学校で学んでいることになっているからなのか何なの…

2019/01/14 17:51

掛け算と割り算を改めて考える

以前授業で「aをn回足したらan」と言ったときに、ある生徒が「？」の表情だったので、そのときは具体的に「2を3回足すってことは2を3倍することだから、同じように考えて・・・」と説明したのですが、「掛け算って何？」と聞かれて答えられない生徒がたくさんいるんだろうなぁと思ったことを覚えています。また、よく取り上げられる話題でもある、「割り算は何故掛け算になおすときにひっくり返すのか」に関しても、「割り算って何？」に答えられない人がたくさんいるから、こういう話題になりやすいのだろうなぁとも思っています。実際、この割り算の解説は書籍やネットでも取り上げられているものがありますが、これを理解するのは小…

2019/01/13 13:33

式の計算（受験数学の基礎）

以前、式の展開や因数分解については書いたのですが、もっと基礎的な文字式の計算において身に付けておいた方が良いと思われるこまごましたことを書いてみようと思います。こまごましたことを書くエントリーなので、「小さいことを言う奴だな！」なんて怒ったら駄目ですよ！この小さいことに意味があると思って書いていますからね。では、早速、問題から。計算自体はそんなに難しくはありません。ポイントは、計算ミスをしないようなスピーディーな計算が出来ているかという部分です。以前、式の展開のエントリーで書きましたが、ミスをしないことと素早く解けることには因果関係があって、私は、素早く解けているからミスしないと思っています…

2019/01/12 17:27

ユークリッドの互除法で最大公約数が求まる仕組み

前回、最大公約数や最小公倍数の求め方について書きました。大体は前回のやり方で事足りると思いますが、約数に気づけないと苦しむでしょう。そんなときに便利な方法があって、ユークリッドの互除法と言います。これは、最大公約数を求めるための方法ですが、一次不等式の整数解を求めるときにも使えるものです。今回は、ユークリッドの互除法とは何か、また、その使い方、さらに、その仕組みについて書こうと思います。ここでは納得してもらうことが目的なので、厳密な証明ではなく、比較的理解しやすいよう解説してみます。まずはユークリッドの互除法とは何かを簡単に説明します。ユークリッドの互除法とは、「整数Aを整数Bで割ったとき（…

2019/01/11 23:58

通分の仕方（受験数学の基礎）

今回は通分です。通分とは、分数の足し算、引き算をするときなどで行われる、分母の数をそろえる行為です。通分なんかできるよ！小学生か！とお怒りのあなた、実際の現場で教えていて、通分をまともに出来ない、またはスラスラ出来ない高校生は、少なく見積もっても3割はいます。私の肌感覚ですが。なので、今回は、出来て当然の通分について説明していきます。通分をするときに欠かせないのが、最小公倍数の求め方ですね。倍数については以前のエントリーで解説してますので、理解が怪しい人は先に見てください。複数の整数において、共通の倍数のことを公倍数といい、その中で最も小さいものを最小公倍数と言います。分母を最小公倍数に揃え…

2019/01/10 18:19

橋下徹氏の三角関数不要論について

元旦に放送された、AbemaTVの橋下徹の即リプ！という番組の中で、橋下さんが、三角関数の教育が不要なのではないかという持論を述べて、ネット上で物議を醸していたようです。Twitterでも反論合戦が行われていたようですが、私は、放送から8日も過ぎた今日、近所のパスタ屋さんで白ワイン飲みながらパスタが出てくるのを待ってるときに、やっと知りました。興味のあるテーマなので、Twitter上の色んな方のご意見もたくさん拝見しましたが、賛成意見の方も結構いらっしゃる様に感じましたし、反対意見を述べてらっしゃる方も、全面的に反対！という方はごく小数で、ほとんどの方は、三角関数を不要と言い切ってしまうのは…

2019/01/09 23:46

行動にかかる時間を意識する

今回のエントリーは直接勉強とは関係なさそうに見えるかもしれませんが、自分の行動にかかる時間を意識することは、勉強をしていく上でとても大事なことだと私は思っています。何故ならば、勉強に限りませんが、何かをマスターする上で、ある一定の時間は必要とするからです。もちろん、密度の濃い時間を過ごせば、標準よりも短時間で何かを成し遂げることは可能でしょうが、それでもある程度は時間がかかるわけで、そのためには普段何気なく費やしている時間を削ったりしながら、時間を捻出する必要があります。そのためには、自分が取っているひとつひとつの行動が、いったいどれくらいの時間がかかっているのかを知っておく必要があるのではな…

2019/01/08 19:25

二桁×二桁の暗算その3（十の位が1じゃなくてもOK)

二桁×二桁の暗算のラストです。一番汎用性の高い方法です。その分、少し面倒なので、個人的には、その1その2で処理できないときの最後の手段として利用しています。また、数字によってはちょっと面倒なことにもなるので、そのときは諦めて筆算するか電卓に頼ります。ここに書いている暗算方法は自己流なので、もっと手際よくできる方法がありましたら、コメントで教えていただけると嬉しいです。（問題）23×37を暗算で計算せよ。早速問題です。もしよければ暗算に挑戦してみてください。そのあとに、下の手順でやってみてください。（手順） 1．二桁×二桁の外側同士、内側同士をかけて足す 2．手順1の数を10倍して覚えてお…

2019/01/07 22:11

二桁×二桁の暗算その2（十の位が共に1のとき）

前回のエントリーで、二桁×二桁の暗算の方法について書きましたが、これはいくつかあるパターンの内のひとつに過ぎないということも併せて書きました。ということで、その続きです。今回は、十の位が共に1のときに使える暗算の方法です。では早速いきましょう！（問題）17×15を暗算で計算せよ。いかがでしょうか？前回のやり方と同じように、17×3×5に分解して、51×5＝255とやるのも良いと思いますが、十の位が共に1の場合は、全部同じパターンで計算できるので、興味がある方は、是非覚えていただいて、積極的に使ってみてください。では、具体的な手順をご紹介します。十の位が共に1のときに使えるテクけっこう丁…

2019/01/06 13:44

二桁×二桁の暗算について考える

そろばんなどを習っていない人からすると暗算って簡単ではないですよね。私もそろばんを習っていないので、そろばん習っていて暗算の早い人を見るとうらやましく思ってしまいます。もちろん今から習っても良いのですが、もっぱら自己流で暗算しています。今回は、この自己流の二桁×二桁の暗算について書いてみようと思います。自己流なので批判は受け付けませんが、もっとこうしたら良いよという前向きな素敵なアドバイスがありましたら、是非、コメントで教えてください！まず、本題の二桁×二桁の暗算にいく前に、二桁×一桁の暗算について考えてみます。皆さんはどうやってしていますか？例えば、23×4を暗算するとき、先に3×4の計算…

2019/01/05 22:03

勉強の効果を感じやすくする仕組み

前回のエントリーで、「成績が上がるのに時間がかかる理由」を解説しました。ご覧いただいた方々は、成績が上がるまでにはどうしても一定時間必要であることをご理解いただけたと思いますが、頭では分かっていても、それでもやはり効果は早く出て欲しいと思ってしまうのが人情ってもんです。教える側の人間もそれが分かっているので、その辺りを少しコントロールしながらやってるんですよね。今回は、私の考える、「少しでも勉強の効果を感じやすくする仕組み」についていくつか書いてみます。いち早く勉強の効果を感じたい！って方は参考にしてみてください。効果を感じるときの感情って、大きく分けて「分かった！」「解けた！」の二つではな…

2019/01/04 17:20

成績が上がるのに時間がかかり、上がるときは一気に上がる理由

大学入試センター試験前ということで、しばらくは、受験にまつわることを書いておこうと思います。勉強していて、その効果を感じ取れるものとして最も分かりやすいのは、模試などのテストに依るものだと思いますが、勉強してもしてもなかなか模試の成績が上がらないといった経験、成績を上げたことのある人は皆経験済みなのではないでしょうか？なかなか成績が上がらなくても、少しずつでも成績を上げるための勉強を続けていけば必ず成績は上がるのですが、やはり、効果が表れにくくなると、人は継続を怠ってしまいがちです。なので、教える側としてはその辺りを考慮しつつ、効果を感じさせることが出来るような仕組みを、模試以外に用意する必…

2019/01/03 20:00

模試の復習の方法

年も開けて、今年の大学入試センター試験まであと17日となりました。私が教えている生徒は、センター試験の結果でほぼ入試の結果が決まるので、残り時間、勉強に全力をそそいで頑張って貰いたいと思っております。大学受験だけでなく高校受験、中学受験の勉強中の方々はみな、模擬試験なるものを受けていると思います。私の住んでいる地域では、某予備校の主催している元旦模試があるので、受験生の皆さんは模試の真っ最中かもしれません。今回はその模試について書きます。模試の復習をしなさいというセリフは、受験生のほとんどの人が言われた経験があると思いますが、その復習の方法を細かく指導された経験のある人は少ないのではないで…

2019/01/02 10:44

倍数の見つけ方（受験数学の基礎）

私はいま、高校での非常勤講師、家庭教師で生徒に数学を教える仕事をしているのですが、新しい生徒に対応するときはまず基礎から確認するようにしています。何故ならば、受験数学の基礎は、今後勉強していく上で欠かせない、考えるための道具だからです。イメージ的には料理人で言うところの包丁、まな板、大工で言うところの金槌、カンナでしょうか？具体的な調理、建築の方法を学ぶ前に、やはりその道具の使い方から正しく学びますよね？そんな感じです。今回の倍数の見つけ方は、色んな場面で使います。本当に色んな場面で使うので、いざ使うときにもたもたしないように事前に身に付けておきましょう。さらっと見て、あ、知ってることだけだ…

2019/01/01 09:57

平方根の計算（受験数学の基礎）

平方根の計算は、中学校での知識が残っている方はできると思いますが、ただ計算出来れば良いというものでもありません。少しでもスラスラ計算できるために知っておきたいという基礎部分を書いておこうと思います。ただ、ここに書く内容は中学生でも知っている人が多いと思われる内容なので、高校生以降の方でご存じない方は、申し訳ありませんが、（平方根の計算に関しては）基礎が欠けていると言わざるを得ません。でも大丈夫です。そんなに難しい内容ではありませんので。では、問題です。本題に入る前に、平方根とは何か、念のために解説しておきます。例えば、3の平方根と言うと、2乗して3になる数のことです。2乗して3になる数は、…

2018/12/31 10:03

平方完成（受験数学の基礎）

これは、高校数学の基礎ですが、マスターすると中学生でも2次方程式で使える場所があります。使えるというより理解するときに簡単に感じるでしょう。高校生は必須ですね。ここでしっかりマスターして、ダラダラ何行も書くのではなく、一発で平方完成できるようになってください。そもそも平方完成とは何か、それは、以下のような形に2次関数などを式変形することです。これは、平行移動の考え方につながる部分なので、平行移動した後の関数の作り方をご存じない方は、平行移動のエントリーを先にご覧ください。この平方完成は、何のために行うかと言うと、2乗のかたまりを作るためと、2次関数の頂点の座標を知るためという2つの目的が…

2018/12/30 14:37

幼児教育・高等教育の無償化について考える

政府は、幼児教育の無償化について来年（2019年）10月からスタートさせることを正式に決めました。3～5歳児は原則全世帯、0～2歳児は住民税非課税の低所得世帯を対象にしています。また、高等教育の無償化については、2020年度から、大学などに通う低所得世帯の学生に、返済不要の給付型奨学金を支給することに決めました。今回は、このことについて私の考えを書いておきたいと思います。私には3歳の娘がいるため、今回の無償化の対象になっている世帯であり、法案が可決すれば、恩恵をあずかることになります。しかし、今回の決定に関しては反対です。反対の理由は幼児教育の分と高等教育の分で違うので、分けて書いておきます…

2018/12/29 12:32

平行移動（受験数学の基礎）

平行移動したあとの関数をどうやって作るのか、また、何故そうしたら良いのかについて解説します。これは、高校生で学ぶことですが、中学生でも理解できるか試してみてください。これが分かると、直線の方程式をさっと求めることが出来ますから、中学生にもお勧めです。中学生でも理解できるように、あまり抽象的な説明ではなく、具体的に例を挙げながら説明します。下の図のように、y＝2xという直線をx軸正の方向（右側）に＋3だけ平行移動させたときの直線の方程式を求める方法を考えます。高校生は楽に解いてほしいところですが、解けましたでしょうか？まずは、あまりオススメではない方法から。中学生が何も教わらずに解くと、こ…

2018/12/28 20:36

因数分解（受験数学の基礎）

前回は式の展開でしたが、今回はその逆の因数分解について書きたいと思います。因数分解の方法について逐一解説するわけではなく、他の問題集などに載っていないことで重要だと思うこと、載っているけど意外とおろそかにされていることについて書いておきたいと思います。まず、因数分解とは何か、細かい定義をすっ飛ばして簡単に説明しますと、掛け算のかたまりを作ることです。つまり、6＝2×3みたいな感じです（これは素因数分解）。これの文字式バージョンを一般的に因数分解と呼んでいます。まず、教科書や問題集などに載っていることで、意外とおろそかにされていることについてですが、因数分解をするときに最初に考えないといけな…

2018/12/27 12:34

式の展開（受験数学の基礎）

高校受験、大学受験が近づいてまいりましたので、ここらあたりで、受験数学において確実に身に付けておきたい、受験数学の基礎シリーズをやっておこうと思います。基礎なので、受験生であれば身に付けておいて当たり前！なのですが、意外と身についていない人もいる、そういう部分が最後の最後で大きな差になるんですよね。ここに書くことは基礎なので、これだけを身に付けたからと言ってすぐに点数に反映されるわけではありませんが、確実にマスターしていただければ、間違いなくその差は目にみえるようになります。今回は、式の展開です。式の展開は、要はバラバラにしたらよいので、これが出来ないという人は少ないと思います。しかし、ス…

2018/12/26 21:16

場合分けして考える

場合分けって、数学が苦手っていう人のほとんどが嫌いですよね。何故でしょうね？話が複雑になる気がするのでしょうか？本当は、話を複雑にしないために分けて考えているのですけれど。この場合分けも、日常で使える数学のひとつです。というよりも、皆、無意識で使っていたりもするはずです。色んなシチュエーションで人は選択を迫られるわけで、そういうときに、「もしこうするとこうなる・・・」など、考えているはずです。今回は、その場合分けを、無意識ではなく、意識して使っていこうというお話です。道を歩いていて素敵な異性を見かけたとします。あなたならばどうしますか？積極的に声をかけるというあなた、素晴らしいですね！行動…

2018/12/25 19:30

色んな解法で解くことを教える

数学のテストで出てくる問題は、「どの単元の問題か」「何を使って解くのか」が分かっている問題がほとんどなのが現状です。なので、問題を見て、自分の知識の中から考える道具を引っ張り出してきて、どう考えるかから考えるというプロセスを鍛える訓練の場がありません。これでは日常生活に数学を使うことなど不可能ですし、数学を学ぶことに何の意味があるのかと思われても仕方ないと思います。よく耳にする話に、「小学校で方程式を使って解いたら✖をされた」というのがあります。学校で教わっていない方法は間違いだとのことです。私はこれは少しだけ分かる部分もあって（ほんの少しだけですが）、学校以外の場所で先に学習している場合…

2018/12/24 13:00

「付き合う」の定義について生徒と考えました！

明日はクリスマスイブですね。今年は、23日24日と連休なのもあって、ゆっくり出来るクリスマスイブとなりそうです。中学生高校生は、冬休みに入っていきなりのビッグイベントですから、テンション上がるでしょうね。今も昔も変わらないと思いますが、中学生高校生（に限らず？）の一番の興味は恋愛のようです。「中高生の本分はがくぎょうである」とか「中高生らしい恋愛を」とか、心にもないことを言うつもりは当然ありませんし、恋愛に限りませんが、自分の人生なので、やりたいことを好きなようにやったら良いと思っていますし、生徒との話でも、そのスタンスでおしゃべりします。だからなのかは知りませんが、恋愛の話で相談されるこ…

2018/12/23 12:00

東京ドーム何個分って考え方は外国でもあるのか？

中学生くらいだと、単位をおろそかにしてしまう生徒が結構いて（高校生でもいますけど）、例えば、方程式の問題で文字を設定するときに、「クッキーをxとする」という文を平気で書く子がいます。これだと、クッキーの枚数なのか重さなのか値段なのかわかりませんね。もっと言うと、もし重さだとしても単位がグラムなのかキログラムなのかポンドなのか分かりません。ですから、「クッキーの重さをxgとする」などのように書く必要があります。単位を意識していない子は、頭の中で絵がイメージ出来ていないのではないかと思われます。これだと、自分のあたまで考えて数学を使いこなすことなど出来るはずがありません。高校化学で「モル」を苦…

2018/12/22 23:15

全パターンを書き出せば良いという考え方

場合の数を効率よく数えるために、「順列」や「組合せ」などの考え方や公式などを理解して使いこなすことは、数学を使うことのひとつだと思うのです。もちろん、これらの考え方や公式に限らず、他にも数学ではたくさんの定理があります。これらを使いこなす機会で一番多いのは数学の問題を解くときなのかもしれません。このブログで書いていきたいのは、実生活で使える数学であることには違いないのですが、問題を解くときも意外と使える数学があることに気づいていない人がいます。それは、模範解答よりも素敵な解法に気づくというハイレベルな話（も、ごくたまにありますが）ではなく、せっかく便利な公式や考え方があるのに、それを理解した…

2018/12/21 23:05

同じ10億円！年末ジャンボより○○○の方が2倍当たりやすい！

2018年もそろそろ終わりですね。年末と言えば年末ジャンボ宝くじです。宝くじは当たる確率が低いですけど、その当選金額の高さから、購入のために行列が出来るほどの人気商品です。宝くじについては「夢を買っている」「買わなきゃ当たらない」という意見や、「当たるわけがない」「買うやつは愚かだ」という意見があります。購入は自己責任でやっていただければ良いわけで、個人のお金の使い方に文句を言うつもりはさらさらないのですが、今回は、改めて、数学的に、宝くじについて考えてみます。まず、年末ジャンボ宝くじとは何なのか、知らない人はほとんどいないとは思いますが、少し丁寧に見ていきます。年末ジャンボ宝くじは、毎年…

2018/12/20 17:44

何が分からないかが分からないという質問

教える現場でよく耳にするこのセリフ。何が分からないのかが分からないというセリフについて、考えてみます。まずこのセリフが出てくるシチュエーションとして、例えば試験中などで、「もうお手上げ状態です。私には無理です。」という意味でこのセリフを使うのであれば、個人的にはまだ理解は出来ます。つまり、降参、負けを認めているのですから、かける言葉は、「うん、仕方ないね」となります。己の力不足を認めている訳ですから、死者に鞭打つ言葉をかけても意味はありません。しかし、よくあるのが、「何？この問題、意味不明」などのように、まるで問題文が悪いかのような勢いで、ときには怒りを込めて、逆ギレして、このセリフを浴び…

2018/12/19 19:13

大学入学共通テストのプレテスト数1Aを解いた感想まとめと今後

13回に渡って解いてみました。平成30年11月施行分の大学入学共通テストのプレテスト数1A。ちょっと時間を空けて数2Bも、感想と考え方を書いていこうと思っています。13回の間にもちょこちょこ全体的な感想を書いていましたが、今回は、振り返ってみて改めて、「平成30年11月施行分の大学入学共通テストのプレテスト数1A」についての感想を書いておこうと思います。全体的によく練られた素晴らしい問題だったと思います。当初のコンセプトと外れて、結局、読解力を最も必要とする試験だったことは賛否両論あるでしょうし、私も最初は、「新テストで測りたい能力は読解力じゃなかったはずだろ？新テスト設立の目的から外れてい…

2018/12/18 20:10

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その13（数1A第5問後半）

図形の性質の後半です。新たな設問は、最後の（ク）（ケ）だけですが、掻い摘んで問題文も載せておきます。詳しくお知りになりたいかたは、こちらからご覧ください。 https://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00035624.pdf&n=02-02_%E5%95%8F%E9%A1%8C%E5%86%8A%E5%AD%90_%E6%95%B0%E5%AD%A6%E2%91%A0.pdf 出典：大学入試センター出典：大学入試センター出典：大学入試センター出典：大学入試センター出典：大学入試センターまず、（ⅴ）の∠QPRが120°より小さいときの点Yの位置の…

2018/12/17 08:56

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その12（数1A第5問前半）

第5問は、図形の性質です。出典：大学入試センター出典：大学入試センターある2つの三角形の合同を示すことで、AB'＝CXを示す、と誘導してくれています。実は、選択肢をよくみることで答えを出すこと自体は難しくはありません。何故ならば、示したいのがAB'＝CXなので、辺AB'と辺CXを含む三角形の組合せを選べばよいからです。選択肢の中で辺AB'と辺CXを含むものは、⓪①③⑥⑦です。これらをひとつずつ検証してみると、合同な三角形っぽくなるのは、⓪と⑦の組合せのみですし、実際、これらが答えです。些細なことですが、こういう風に必要条件から絞り込むという考え方は数学的な考え方ですし、使える数学です。…

2018/12/16 13:58

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その11（数1A第4問後半）

整数問題の最後です。出典：大学入試センター出典：大学入試センターこの問題では、分銅を片方にしか乗せません。Xの質量Mグラムとつりあうように3gと8gのおもりを乗せる、つまり、Mを3と8を何回か足すことで作るということです。今回のポイントは、足すだけで引くことはできないというところです。まずは具体的に見ていきましょう。M＝1やM＝2を作ることが出来ないことは容易に分かります。続いて、M＝4、5、7が出来ないことも分かります。数が小さいときは3の倍数でも8の倍数でもないものを選べばよいので簡単ですが、3＋8＝11とか、3×2＋8＝14とかいうのは気を付けて数えないと数え漏れをおこします。M…

2018/12/15 12:58

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その10（数1A第4問前半）

第4問の整数です。 ------------------------------------------- -----------------------(出典：大学入試センター）ややこしく書いてありますが、丁寧に読み解いて、方程式を立てて解けば別に難しくはありません。（ア）1（イ）5（ウ）7 となります。 ------------------------------------------ -----------------------------------(出典：大学入試センター）これも別に難しい話ではないのですが、「Mがどのような自然数であっても・・・」とか言われると、ちょっとドキ…

2018/12/14 21:14

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その9（数1A第3問後半）

前回に引き続き、確率の問題です。前回までのあらすじをざっくり書いておきます。（問題）くじが100本ずつ入った箱Aと箱Bを同確率で選び、くじを1本引く。1本目のくじが当たったという条件付きで、そのくじは戻さずに2本目も同様に引くときに、1本目を引いた箱と同じ箱から2本目を引くのと、もう一つの箱から引くのはどちらが高確率か調べる。当たりくじは、箱Aに10本、箱Bに5本入っている。（回答の流れ）1本目に当たりを引いて、それが箱Aのくじであった確率は2／3、それが箱Bのくじであった確率は1／3で、箱A→箱Aと引くときは、2本目は99本のくじの中に9本の当たりくじが入っており、箱B→箱Bと引くときは…

2018/12/13 09:07

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その8(数1A第3問前半)

長い・・・問題文が。こういう場合は、ざっくり読んで、どこに何が書いてあるのかだけを把握しつつ軽く読むのが個人的にはお勧めです。掻い摘んで書くと、 1．箱A箱Bのどちらかを選んでクジを2回引く 2．1回目に当たりが出たという条件付きで、2回目も同じ箱から引くのが良いか、それとも違う箱から引くのが良いのかを考えるという感じです。今回のポイントとなるのが、条件付き確率というものですが、これは、大きく分けて下記の2つの解き方があります。これらは問題によって使い分けるのが良いですが、今回のように問題文で誘導される場合もあります。ちなみに今回は、2つ目の乗法定理の公式を利用するように誘導されています。…

2018/12/12 23:12

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その7（数1A第2問〔2〕後半）

前回の続きです。掻い摘んで問題を載せておきます。消去法ではなく、ピンポイントで③を選びたいところです。相関係数の式は以下のように書けました。そして、標準偏差とは、√（分散）で、分散とは「偏差の2乗の平均値」でした。さらに、偏差とは、「（データ）－（平均値）」ですから、yのすべてのデータが2だと、yの平均値も2となり、偏差は0になり、yの分散もyの標準偏差も0になります。よって、他の値に関係なく、相関係数の分母は0となり、相関係数は存在しないということになります。ちなみに、分母が0である数は存在しないことはご理解いただけるでしょうか？一応、下に簡単な証明を載せておきます。（背理法を使ってい…

2018/12/11 19:36

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その6（数1A第2問〔2〕前半）

今回からデータの分析です。押さえるべきポイントを押さえているかどうかで、解くスピードが変わってくる分野です。いや、それは全部そうか・・・。言い直すと、押さえるべきポイントを教わっていない人が多い分野なのではないかと私は思っています。前半部分ではそんなにポイント的な部分はありませんが、見てみましょう。ここまでの内容で押さえておくべきことは、言葉の定義（計算方法）です。この計算方法を文字式の公式で覚えている人もいるようですが、個人的には、意味が分かるように言葉で覚えておくのがおすすめです。中でも、分散と標準偏差は言葉で説明できるようにしておきましょう。（偏差）＝（データ）－（平均値）（分散）…

2018/12/10 22:57

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その5（数1A第2問〔1〕後半）

前回のエントリーの続きです。各時刻における面積の大小関係と書いてあるので、まずは時刻を変数として面積を表現するという道筋はすぐに分かります。同様にして、△BQR、△CRPの面積を表現すると、△APQと同じ式が出てきます。ということは、変数xに関係なく、面積は、△APQ＝△BQR＝△CRPということが言えます。つまり、解答としては、模範解答から抜粋すると、他にも書き方はあるでしょうが、聞かれたことに忠実に答えたら問題ないと思われます。この設問、入試変更の焦点にもなった「表現力をみるため」の記述式になっています。この設問が表現力をみるための問題かと聞かれると少し疑問が残りますが、計算させて…

2018/12/09 11:56

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その4（第2問〔1〕前半）

12月になって、大学入試センター試験まであと約1ヶ月、受験生はたくさんの問題を解いていることと思いますが、是非、プレテストの問題も解いておくことをおすすめします。何故ならば、前回（平成30年1月）のセンター試験も、明らかに新テストを意識した問題作成になっていたからです。プレテストの問題を解くことで、問題作成者の気持ちや自分の弱点に気づけるかも知れません。というわけで、しばらく、プレテストの問題の感想を載せていこうと思います。あくまでも、感想メインで、数学の考え方、使い方に着眼していきます！模範解答自体は他のサイトを参考になさってください。まず一つ目のポイントとしては、動点P、Q、Rの点を…

2018/12/08 20:33

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その3（数ⅠA第1問〔4〕）

まずは、ここまでの問題文を読んで、解いてみます。（1）の問題文が始まる前までの文は、角が90度のときの正弦定理を証明しています。そして（1）では、角が鋭角のときの正弦定理を証明しようとしているのです。ちなみに、鋭角とは、0度より大きく90度より小さい（90度を含まない）角のことで、90度より大きく180度より小さい角のことを鈍角と言います。では、90度は？直角ですね。この問題を解く上で、中学校で学んだ、円周角の定理（ある弧における円周角はすべて等しい）や、円周角と中心角の性質（中心角は円周角の2倍）を知っておく必要はあるのですが、この証明自体を経験しているかどうかが大きく差をつけた問題だと思…

2018/12/07 00:41

場合の数の考え方(排反と独立の違い)

前回のエントリーでも書きましたが、場合の数や確率を考えるとき、「排反」や「独立」という単語を用いることがあります。この2つの言葉は、意外と混同しがちなので、しっかり意味を把握しておく必要があります。今回は具体例を上げながら、この排反と独立の違いを書いてみます。その前に、試行と事象という言葉の定義について確認しておきましょう。試行とは、繰り返し行うことの出来る操作のことで、事象とは、試行の結果起きる現象のことです。ややこしいと思いますが、具体例でイメージ出来れば大丈夫です。コインを1回投げる試行において、表が出るという事象と裏が出るという事象とがあります。このとき、表でもあるし裏でもあると…

2018/12/06 10:04

場合の数の考え方（かつとまたは）

場合の数を計算で求めていくときに、順列、組合せ、階乗の公式や考え方を使う（個人的には順列の公式は使いませんけど）のですが、実はもっと使っている考え方があります。これは、公式化していないだけで、計算としてはバンバン使っています。無意識に。今回は、これを説明して、是非、無意識ではなく意識しながら使っていただきたいと思います。その考え方とは、「かつ」と「または」です！タイトルでバレバレですが。覚えておきたい結論を先に書きますと、「かつ」は掛け算、「または」は足し算です。とても単純ですが、実はこれには落とし穴（後半に解説します）もありますので、是非、理解した上で使いこなしていただきたいと思います。…

2018/12/05 23:59

場合の数の考え方（組合せの公式を理解する）

場合の数という高校の数Aで勉強する単元では、順列と組合せという2大巨頭の考え方があります。これらを求める公式もあるのですが、これをただ丸暗記するのではなく、その意味を理解することで、公式を使いこなすことができると、前回のエントリーで書きました。 learn-for-fun.hatenablog.com 今回は、順列とは何か、組合せとは何かを、具体的な例を挙げながら説明し、公式を理解していただこうと思います。 (問1)1．2．3．4．5と書かれた5枚のカードの中から3枚を選び、3桁の数を作るとき、何通りの数を作ることが出来るか答えよ。 (問2)1．2．3．4．5と書かれた5枚のカードの中から同時…

2018/12/04 23:59

場合の数の考え方(問題を解くときに大事なことと階乗の定義について)

高校数学の範囲で場合の数を考えてみます。中学校の範囲との大きな違いのひとつとして、場合の数を数えるときに公式の利用があります。しかし、公式自体は無理して使う必要はなく、公式を導く過程の考え方の方が重要だと私は思います。何故ならば、そこが分かっていないと、与えられた問題において、どの公式をどの部分で用いて良いかが分からないからです。公式の利用を苦手としている高校生が多いのも、問題を解くときに、公式をただ当てはめれば良いのではなく、公式を理解して使いこなす必要性が高いからではないでしょうか。基礎が出来ていない生徒からの質問で多いのが、「この問題はPですか？Cですか？」というものです。ちなみに…

2018/12/03 23:04

場合の数の考え方（樹形図など中学校の範囲）

場合の数という数学の単元があります。要は、何パターンあるかという数の数え方について、ただやみくもに数えるのではなく、効率の良い数え方を学ぼうという趣旨のものです。これぞまさに使える数学の名に相応しい単元ですね。中学校と高校でその基礎を学ぶのですが、実は小学校でも学んでいます。例えば、この↓エントリーでも書きましたが、ただ「ひとぉつ、ふたぁつ・・」と数えるのではなく、計算によって求めていますから、立派な数学の考え方ですね。 learn-for-fun.hatenablog.com 小学校でも学ぶ効率の良い数の数え方といえば、「掛け算」がありますね。1列8本のジュースが7列並んでいるとすると、8×…

2018/12/02 20:43

十分条件と必要条件とは

高校の数Ⅰで勉強する論理と集合という単元がありますが、ここは苦手な人が多い単元です。中でも、十分条件、必要条件っていったい何よって人が多いと思っています。このエントリーでは、あまり学校では説明を受けない、「十分条件」「必要条件」という言葉の意味と、その判断の仕方（問題の解き方）について書いていきます。「十分条件」「必要条件」という言葉の意味の説明の前に、命題、真偽について説明を書いておきます。『命題』真偽がはっきり定まる文のこと（〇✖がはっきり言える文のこと）（例）ナイル川は日本の川である→明らかに偽なので命題とは言える（偽の命題）（例）金持ちならば幸せだ→真とも偽とも言えないので命題…

2018/12/01 17:10

比の利用について考える

前回に引き続き、使える数学(算数)を目指してエントリー書きます！使える数学なんて書くと、使えない数学があるのか！って怒られそうですが、もちろんそういう意味ではありません。数学を道具として使いこなす場面について考えてみるという意味です。今日は、「比について」です。これも前回に続いて、数学というより算数ですが、とても重要な考え方だと思うので、使いこなしていきましょう！例えばこんな問題、図のような直角三角形の斜辺の長さを求めるとき、三平方の定理を用いて解くとして、どう計算しますか？三平方の定理を用いて、15の2乗と36の2乗の足し算をしてその平方根を求めます？それでももちろん求まります。しかし…

2018/11/30 22:06

数の数え方について考える

数学の使い方をメインにブログを書きたいと思ってはいたものの、それ以外の勉強方法とか教材の使い方についての記事ばかりが先行してしまったので、バランスとるためにも本来の目的に少し戻ってエントリーを書きます。まずは、問題です。「試験範囲は、教科書の19ページから30ページまでです。さて、全部で何ページあるでしょうか？」これは、意外と県下一位の進学校の生徒とかでも分かっていない人がいる問題です。そして、日常でも使う数学（算数）で、日常過ぎてなのか、問題集の解説などでもここの部分が何故そうなのかについて詳しくページが割かれているのを私は見たことはありません。答えは、12ページです。意外と30ー1…

2018/11/30 17:41

解法暗記のコツ（数学）

↓まずはポチッと応援お願いします！数学ランキング今回は、このエントリー learn-for-fun.hatenablog.com の続きです。今回のテーマの勉強、スタンダードな解法の理解と暗記、いわゆるインプットが、勉強のメインになると思われます。ここをしっかり勉強しておけば、点数はそこそこ取れます。具体的に書きますと、例えば、ベネッセ駿台模試などでは、小問集合問題の第一問すべて、第二問目以降であれば（1）（2）までと（3）の途中までくらいは解けるでしょう。偏差値で言うと60くらいは軽くいきます。あくまでも、解ける問題を完答できればの話ですが。スタンダードな解法の理解と暗記におすすめな…

2018/11/29 16:37

浪人→予備校という違和感

↓まずはポチッと応援お願いします！数学ランキング今日、とある生徒（高3生）から相談を受けました。その相談内容の要点を書くと、自分は病気を患っていて、それを治すためには医者になるしかない！そのために、今は文系だけど理転して浪人して国公立大学医学部医学科を受験する！そのために、2月から某予備校に通う！そのために、数Ⅲ、生物、化学のある程度の基礎を勉強しておこうと思う！そのために、何をしたら良いですか？という相談でした。ツッコミどころ満載ではありますが、本人なりに真剣に悩んで、真剣に考えて、相談してくれたのだと思い、私も真剣に向き合ってアドバイスをしました。皆さんならば、どんなアド…

2018/11/28 23:56

基礎を理解し覚えるためのおすすめの教材（数学）

↓まずはポチッと応援お願いします！数学ランキング昨日書いたこの↓エントリーの続きです。 learn-for-fun.hatenablog.com 詳しくは上記のエントリーを見ていただきたいですが、数学に限らず何でも、マスターするために必要な段階があって、数学で言うと、 1．基礎を理解して覚える 2．スタンダードな問題の解法を理解して覚える 3．覚えたことを使いこなす訓練が、必要です。料理で言うと、 1．道具や器具、設備の使い方を理解して覚える 2．スタンダードな料理の作り方を理解して覚える 3．覚えたことを使いこなして色んな料理を作り出すという感じになるでしょうか。料理で例える必要は…

2018/11/27 23:58

教材を使いこなすとは

一昨日にこのエントリーを書きました。 learn-for-fun.hatenablog.com ここにも書きましたが、塾でも家庭教師でも教材でも、「正しく使いこなすことが重要」であって、「どの塾、どの家庭教師、どの教材が良いか」という議論は、二の次です。使い方を間違えなければ、そして、フルに活用できれば、言葉は悪いですが、三流の塾に通ったりしても成績は上がります。そもそも、教材を正しく使いこなせる人は、三流の塾には通いませんけどね。今日は、教材を使いこなすということがどういうことなのか、具体的に書いていきたいと思います。人から薦められて購入した教材を十分に使いこなせていないという人のお役に立…

2018/11/26 23:54

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その2（第一問〔3〕）

問題自体は難しくありませんが、学んだことを使いこなせるかという部分を試すのに良い問題だと思います。問題文を読み終わったあと、解ける人は1分で解けるでしょうけど、情報を整理できない人はモタモタしてしまうことでしょう。ざっくりと問題文を読めば、不等式を立てる必要があることはすぐ分かります。ポイントは、気を付けるべき条件と、どの文を利用して式を立てるかという部分でしょう。不等式を立てるのは、赤色のラインを引いた部分です。文字xを用いて蹴上げの長さを表現し、それを18cm以下にするという式を立てるところが最大のポイントです。では、蹴上げの長さを、文字xを用いて、どう表現すればよいのでしょうか？そこは…

2018/11/25 20:07

塾か家庭教師かネット教材か・・・の前に

成績を上げようとするときに、塾や家庭教師などを検討することが多いと思います。最近は、スタディサプリなどのネット教材もありますし、YouTubeで解説しているものもありますから、塾、家庭教師に頼る必要も少なくなってきました。個人的な意見としては、それぞれ一長一短あるので、それを見極めて、自分で「使いこなす」ことが一番大事なのではないかな？と思っています。使いこなすことが出来れば、極端なことを言うと、どこに通っていようと、どんな教材を使いこなそうと、成績は上がるでしょう。一番大事なのは、使い方であって、何を使うかは二の次です。病気になって、どんな優れたお医者さんにかかっても、言われたとおりに薬を…

2018/11/24 23:59

大学入学共通テストのプレテストの問題を解いてみた感想その1

現行の大学入試センター試験が廃止となり、2021年から新テストの「大学入試共通テスト」が始まります。そのための準備として、昨年からプレテストなるものが作られ、今年も今月11月に第2回プレテストが、全国で約8万人を対象として行われました。数学を教えている身として私も解いてみましたが、今日はざっくりとした感想を書いておこうと思います。その前に少しだけ、大学入試共通テストというものが何なのか、ご存じない方のためにざっくりと概要を書きます。現行の知識偏重の大学入試制度を廃止し、思考力や表現力を図るための試験を実施することを目的として、新テストは行われます。具体的な変更点は、英語でのTOEICなどの…

2018/11/23 22:42

数学の教え方勉強中！

「学校で勉強することって、社会に出てから何の役に立つの？」と、勉強が嫌いな子の言い訳としてだけではなく、大人が言っているのを聞くことがあります。大人の場合は、「役に立たない」と断言する人までいらっしゃる。そんな大人が言っているのを子供は真似て言っているだけかもしれないけれど、勉強を教えている身としては、「役に立つような教え方が出来ていなくてごめんなさい！」と思いつつ、「役に立つ勉強を教えたい！」と思うわけです。特に私が教えている数学は何の役にも立たないと言われやすい教科で、計算は電卓使えば良いし、公式なんか覚えていつ使うんだ！と言われがちです。これに対しての反論はじっくりこのブログでやっ…

2018/11/23 01:07