初級Mathマニアの寝言

射影行列

この記事では射影行列について解説します。 射影行列の定義と性質 行列 が射影行列であるとは、\begin{align} P^2 =P \end{align} を満たすときに言います。 行列 が射影行列のとき、\begin{align} Q:= I_n-P \end{align} も射影行列であり（ は の単位行列）、\begin{align} PQ=QP =0 \end{align} であり、\begin{align} {\bf R}^n = {\rm Im}\, P\oplus {\rm Im}\, Q\end{align} が成り立ちます。さらに、\begin{align} {\rm Ke…

2019/03/29 13:55

ベクトル空間の直和分解

この記事では、ベクトル空間の直和分解について解説します。 ベクトル空間の和と直和 ベクトル空間 の二つの部分空間 が与えられているとします。このとき、 は の部分空間でないかもしれませんが、\begin{align} V_1+V_2 := \{ x_1 + x_2\, \, x_1\in V_1, x_2\in V_2 \} \end{align} は の部分空間になっています。この は を含む最小の部分空間になっており、 と の和と言います。基底を構成するベクトルの数をカウントすることで、\begin{align} \dim (V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 -…

2019/03/26 16:37