スーパーサイエンスガール

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷1

「それでは、次に問題2.2cを解いてみましょう」 問題2.2c：保存電荷 を生成・消滅演算子の観点で書き直し、それぞれの種類の粒子の電荷を評価せよ。 「まず、上の保存電荷の式を生成・消滅演算子の観点で記述するために、上式に複素スカラー場およびその運動量密度の式を代入します」 「式変形のコツとしては、それぞれおよびでまとめるようにします」

2015/09/30 08:00

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン4

「次に、交換関係から、となり、これを上式に代入すると、次のようになります」 「最後の項は、定数、すなわち古典的なc数であり、これは真空の零点エネルギーに相当します。そこで、この定数項を無視すると、ハミルトニアンは結局、次のようになることがわかります」 「ここで、2種類の生成・消滅演算子、に対して、共通のエネルギーおよび質量が用いられていることが分かります。これから、複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれる2種類の粒子は、同一のエネルギーEおよび質量mを有することがわかります」 複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれる2種類の粒子 (1) 同一のエネルギーEおよび質量…

2015/09/29 08:00

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン3

「ここで、は、のときにとなり、それ以外の値ではとなるというデルタ関数の性質から、上式の第3行目は、からの値のみが残ることがわかります。これから、の値を代入すると、第3行目のエネルギーの項は、となります」 デルタ関数の性質 「一方、アインシュタインの関係式をの自然単位系で表すと、となります。これから、となりますが、これは上式の第3行目のエネルギーの項と同じ形をしています。したがって、上式の第3行目の項は消去でき、第2行目の項のみが残ります」 「また、デルタ関数についても同様に、のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」 「なお、途中の式変形において、アインシュタ…

2015/09/28 08:00

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン2

「複素スカラー場のハミルトニアンを生成・消滅演算子で表すと、下のようになります」 「ここで、デルタ関数のフーリエ積分表示の関係を使います」 デルタ関数のフーリエ積分表示 「すると、上式は次のようになります」 「ここで、デルタ関数は原点に対して対称なので、等の関係があることを用いました」

2015/09/25 08:00

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン1

「次に、ハミルトニアンを生成・消滅演算子に置き換えて計算してみます」

2015/09/24 08:00

複素スカラー場の正準交換関係の計算2

「次に、被積分関数の括弧[ ]の中の計算をしてみましょう」 「ここで、(2.29)式と同様に、生成・消滅演算子の交換関係および生成・消滅演算子の交換関係が次のようになるものと定義します」 (2.29) 「一方、生成演算子同士の交換関係および消滅演算子同士の交換関係はゼロになるものとします」 「そこで、これらの関係式を上式のに代入すると、次のようになります」 「ここで、デルタ関数のフーリエ変換の関係を使います」 「すると、複素スカラー場の正準交換関係の計算は結局、次のようになります」

2015/09/18 08:00

複素スカラー場の正準交換関係の計算1

「ここで、の正準交換関係に上式を代入し、の関係を用いると、次のようになります」 「次に、上式の括弧[ ]内を計算していきます」

2015/09/17 08:00

複素スカラー場の共役運動量密度

「次は、問題2.2bです」 問題2.2b： 生成・消滅演算子を導入することによって、ハミルトニアンを対角化せよ。また、この理論が質量の2組の粒子を含むことを示せ。 「以前、クライン-ゴルドン場をフーリエ展開して、生成演算子と消滅演算子で表しました」 (2.25) 「複素スカラー場の場合も、同様にフーリエ展開により、生成・消滅演算子で表すことができます」 「ただし、複素スカラー場の場合、の2種類の場があるため、生成・消滅演算子だけでは十分に表現することができません。そこで、もう1組の生成・消滅演算子が必要となります。ここで、の関係を用いると、複素スカラー場から、共役運動量密度の式を導くことができ…

2015/09/16 08:00

複素スカラー場のハミルトニアン

「次に、ハミルトニアンは、下の(2.5)式を用いて導くことができます」 (2.5) 「具体的には、(2.5)式の運動量に相当するのが共役運動量密度であるため、これを代入します」 「上の式に、前回導いたラグランジアンを代入します」 「ここで、の関係に注意すると、上式は次のようになります」 「これが複素スカラー場のハミルトニアンとなります。以上が、問題2.2aの解答です」

2015/09/15 08:00

複素スカラー場の共役運動量密度と正準交換関係

「次に、上のラグランジアンから場の共役運動量密度を導いてみましょう。一般に、共役運動量密度は次のように書くことができます」 「また、上のラグランジアンを、とに分けて考えると、次のようになります」 「それゆえ、上のラグランジアンの第1項をで微分した値が、場の共役運動量になることがわかります」 「同様に、の共役運動量を導くこともできます」 「また、およびの正準交換関係は、(2.20)式から次のようになります」 (2.20)

2015/09/14 08:00

複素スカラー場の作用とラグランジアン

問題2.2 「問題2.1を解いたので、次は問題2.2を解きましょう。問題2.2では、クライン‐ゴルドン場に従う複素数値のスカラー場の場の理論について考えてみます。この理論の作用は、次のようになります」 「基本的な力学変数として、場の実数部分と虚数部分を考えるより、2種類の場およびを考えることによって、この理論を分析すると一番簡単になります。問題aは次のとおりです」 問題a： 場およびの共役運動量および正準交換関係を導け。また、ハミルトニアンが、次のようになることを示せ。 場についてのHeisenbergの運動方程式を計算し、それがまさしくクライン‐ゴルドン方程式であることを示せ。 「それでは実…

2015/09/11 08:00

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気の運動量密度の式の導出

「次に、運動量密度の関係式を求めてみましょう。場によって運ばれる（物理的な）運動量は、次の(2.19)式のように表せることは以前お話しました」 (2.19) 「そこで、エネルギー・運動量テンソルにおいて、添字とした場合の計算をしてみましょう」 「上の1行目から2行目の式変形には、クロネッカーのデルタにおいて、のとき0になるという関係を用いました。さらに、として、計算を進めてみます」 「上式2行目から3行目への式変形において、エネルギー・運動量テンソルの式の各項に計量テンソルをかけて、各項の添字を上げ下げしました。また、最後の行の式変形において、の関係を用いました。最後に、の関係およびの関係を代…

2015/09/10 08:00

テンソルの添字の上げ下げと符号の関係

「でも、なんでの上付き添字を下付き添字にすると、のように符号がマイナスからプラスに反転するのよ？」 一宮が訊ねた。 「通常、の上付き添字を下付き添字にするには、計量テンソルをかける必要がありますが、ミンコフスキー空間の計量テンソルの場合、添字のいずれか一方が0の場合と0以外の場合とで、符号が異なります」 ミンコフスキー空間の計量テンソル 「例えば、の上付き添字を下付き添字にする操作は、ちょうど計量テンソルをかける操作に相当するため、となって、のように符号が反転するのです」 ↓ をかける 「一方、の上付き添字を下付き添字にする操作は、ちょうど計量テンソルをかける操作に相当するため、となって、のよ…

2015/09/09 08:00

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出3

「次に、レヴィ=チヴィタ記号の積には、次のような性質があることが知られています」 「この性質を用いると、最初の式は次のようになります」 「それゆえ、ラグランジアン密度は、次のようになります」 「このラグランジアン密度をエネルギー・運動量テンソルの式に代入すると、次のようになります」 「エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージは、ハミルトニアン、すなわちエネルギー密度なので、結局、電磁気エネルギー密度の式が導かれます」

2015/09/08 08:00

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出2

「ところで、ラグランジアン密度は、次のように表せたことを思い出してください」 「そこで、の添字をおよびに展開してみます」 「次に、添字をおよびに展開します」 「上式2行目から3行目への変形において、からの関係を用いました。また、の関係を用いた後に、（または、）および（または、）の関係を代入すると、上の式は次のようになります」

2015/09/07 08:00

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出

「最後に、エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの標準式を導いてみます」 「ここで、エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージは、ハミルトニアン、すなわちエネルギーとなることを思い出してください」 (2.18) 「そこで、として、エネルギー・運動量テンソルを計算してみます」 「ここで、およびの関係を用いました。さらに、（または、）の関係を用いると、次のようになります」 「最後の式変形において、4元ベクトルの内積の定義を用いました。この内積の定義を用いると、は次のように書くことができます」

2015/09/04 08:00

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法3

「上のエネルギー・運動量テンソルの式において、添字を入れ替えた式が対称的となっているか調べてみましょう」 「ここで、およびの関係を用いました。次に、各項の添字を上げ下げします。それには、各項に計量テンソルをかけます」 「ちょっと、勝手に計量テンソルをかけてもいいの？」 一宮が胡散臭そうな目で越野さんを見た。 「その点なら問題ありません。計量テンソルとは逆行列の関係にあり、次の関係が成り立ちます」 「ここで、はクロネッカーのデルタで、のとき1、のとき0となる関数です。このとき、とすれば、次の関係式を導くことができます」 「したがって、式にを自由にかけることができます。そこで、エネルギー・運動量テ…

2015/09/03 08:00

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法2

「次に、上のようにエネルギー・運動量テンソルにを加えて定義しなおしたは、としたとき、対称的なエネルギー・運動量テンソルTを生じ、電磁気のエネルギーおよび運動量密度の標準形式を生じることを示したいと思います」 「ここで、第2項は添字に対して明らかに対称的なので、残りの項の対称性について考えてみます。まず、積の微分法則を用いて、第3項を展開してみます」 「上式の右辺第1項のは、前回の問題2.1で導いた式との関係からゼロになることがわかります」 「したがって、の式は、次のようになります」 「最後の行への変形において、の定義のの添字を上げた式を用いました」

2015/09/02 08:00

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法

「次に、計量テンソルを用いて、エネルギー・運動量テンソルの添字を上付きにします」 「ここで問題なのは、通常の手続きでは、対称テンソルを導くことができないという点です。実際、上のエネルギー・運動量テンソルは、添字の入れ替えに対して対称的ではありません」 「どうしてテンソルが対称じゃないとダメなのよ？」 一宮が訊ねた。 「これは、下の一般相対性理論の基本方程式において、エネルギー・運動量テンソルが対称だからです」 一般相対性理論の基本方程式 「このエネルギー・運動量テンソルが対称テンソルでないという問題を解決すべく、テキストではの形での項を加えることを提案しています。ここで、の項は、最初の2つの添…

2015/09/01 08:00