さかいゼミ　塾　ブログ

4STEP 数学A 組み合わせ68

(1) a,b,b,b,c,c,dの7文字を1列に並べる方法は何通りあるか。 (2) KUMAMOTOの8文字を1列に並べる方法は何通りあるか。 解 (1) 420通り 簡単な例a,b,bの3文字を1列に並べて考えます。 1つ目は3通り 2つ目は2通り 3つ目は1通りなので3・2・1＝6通りとなりそうですが 実際はabb、bab、bbaの3通りです。 bは2個ありますがb₁、b₂のように判別できない場合はその文字の個数の階乗(！)で割る必要があります。 問題に戻ると まず7文字あるので7！ bが3個あるので3！で割ります。 さらにcが2個あるので2！で割ります。 よって7！÷3！÷2！＝420…

2023/03/31 13:20

4STEP 数学A 組み合わせ67

6本の平行線と、それらに交わる4本の平行線とによってできる平行四辺形は何個あるか。 解 90個 2組の対辺が平行な四角形は平行四辺形になるので 6本の平行線の中から2本、4本の平行線の中から2本を選べばOKです。 ₆C₂・₄C₂ ＝6・5÷2！・4・3÷2！ ＝15・6 ＝90個になります。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/30 12:54

4STEP 数学A 組み合わせ66

正七角形について、次の数を求めよ。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の個数 解 (1) 35個 7つの頂点から3つを選べばよいので ₇C₃＝7・6・5÷3！＝35通りになります。 ＊3つの点で三角形ができない場合は、ほかの考え方をしなくてはいけないので注意して下さい。(今回の問題は気にしなくて大丈夫です) (2) 35個 (1)と同様に7つの頂点から4つを選べばよいので ₇C₄＝₇C₃＝7・6・5÷3！＝35通りになります。 ＊4つの点で四角形ができない場合は、ほかの考え方をしなくてはいけないので注意して下さい。(今回の…

2023/03/29 12:28

4STEP 数学A 組み合わせ65

(1) 8枚の絵はがきから5枚を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が3回出る場合は何通りあるか。 解 (1) 56通り ₈C₅＝₈C₃＝8・7・6÷3！＝56通りになります。 ＊PとCの違いについて 例えばA,B,C,D,Eという5の文字がある場合 Pではその並びに注目するので、ABCDEとABCEDは別のものと考えます。 Cでは選ぶ事に注目するので、ABCDEとABCEDは同じものと考えます。(なので階乗で割っています) (2) 120通り 10回の中から表が出る3回を選べばよいので ₁₀C₃＝10・9・8÷3！＝120通りとなります。 HPやYoutubeは…

2023/03/28 12:43

4STEP 数学A 組み合わせ64

次の値を求めよ。ただし、(6)のnは正の整数とする。 (1) ₆C₃ (2) ₇C₇ (3) ₇C₁ (4) ₅C₀ (5) ₅₀C₄₇ (6) n+1 C n-1 解 (1) 20 Cの左にある数字からスタートしてCの右にある数字の分の積を求めます。 その際数字は1ずつ小さくしていきます。 今回はCの左が6で、右が3なので6からスタートして3個の数字の積6・5・4になります。 これをCの右の数字(今回は3)の階乗(！)で割ります。 よって 6・5・4÷3！ ＝120÷6 ＝20になります。 (2) 1 7・6・5・4・3・2・1÷7！ ＝1になります。 ＊Cの左右の数字が同じ時は1になります…

2023/03/27 13:04

4STEP 数学A 円順列・重複順列63

右図(下図)の円板の6個の各部分を、すべて異なる色で塗り分ける。 次の各場合では、塗り分ける方法は何通りあるか。 ただし、回転して同じになるときは、同じ塗り方とみなす。 (1) 6色を用いる。 (2) 全7色の中から6色を用いる。 解 (1) 180通り 中心の円の色の選び方は6色から1色を選ぶので6通り その外の円の色の選び方は残り5色から1色を選ぶので5通り 残り4色で一番外の円の円順列を考えればよいので(4－1)！通り よって 6・5・(4－1)！ ＝30・3！ ＝30・6 ＝180通りになります。 中心とその外側の円の配色は₆P₂で求めることができます。 (2) 1260通り 7色のう…

2023/03/26 14:35

4STEP 数学A 円順列・重複順列62

(1) 5人を3つの部屋A,B,Cに入れる方法は何通りあるか。 ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 (2) 5人を3つの組A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。 解 (1) 243通り 1人目はAかBかCの3通り 2人目もAかBかCの3通り 3人目、4人目、、、5人目も同様に3通りなので 3⁵＝243通りになります。 (2) 150通り (1)の243通りの中から任意の組が空になるときを引いて求めます。 例えばAに誰も入らない場合を考えると、5人はそれぞれBかCの2通りから選ぶ事になるので2⁵＝32通りになります。BとCが空になるときも同様に考えるので32×3＝96通りとなり…

2023/03/25 13:15

4STEP 数学A 円順列・重複順列61

(1) 10人を2つの部屋A、Bに入れる方法は何通りあるか。 ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする。 (2) 10人を2つの組A、Bに分ける方法は何通りあるか。 (3) 10人を2つの組に分ける方法は何通りあるか。 解 (1) 1024通り 1人目はAかBの2通り、2人目もAかBの2通り、3人目、4人目・・・と同じようにすると 2⁹＝1024通りになります。 (2) 1022通り 空室があってはいけないのでAが空室の場合(1通り)とBが空室の場合(1通り)を引いて考えればOKです。 1024ー2＝1022通りになります。 (3) 511通り 部屋に名前がついていない場合、人をそ…

2023/03/24 12:54

4STEP 数学A 円順列・重複順列60

9個の要素をもつ集合Aの部分集合の総数を求めよ。 また、Aの2個の特定の要素を含むAの部分集合の総数を求めよ。 解 512、128 9個の要素が部分集合に入る・入らないの2通りを考えるので 2⁹＝512となります。 特定の2つの要素は部分集合に”入る”の1通り、 残り7個の要素は部分集合に入る・入らないの2通りなので2⁷ よって1・1・2⁷＝128となります。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/23 12:50

4STEP 数学A 円順列・重複順列59

4個の数字0,1,2,3,を使ってできる次のような自然数は何個あるか。 (1) 3桁の自然数 (2) 3桁以下の自然数 (3) 123より小さい自然数 解 (1) 48個 百の位は0以外の3個から1個を選ぶので3通り 十の位と一の位は4個から1個選ぶので各4通り よって 3・4・4＝48個になります。 (2) 63個 (1)より3桁の自然数は48個 2桁の自然数は3・4＝12個 1桁の自然数は3個 よって 48＋12＋3＝63個になります。 (3) 26個 2桁の自然数(12個)と1桁の自然数(3個)はわかっているので、 3桁の自然数で123以下のものを求めます。 まず10▢、11▢となる場合…

2023/03/22 12:47

4STEP 数学A 円順列・重複順列58

正三角柱の5つの面を青、白、赤、黄、緑の5色すべてを使って塗り分ける方法は何通りあるか。 解 20通り 上の面は5色から1色を選ぶので5通り 下の面は残り4色から選ぶので4通り 側面は残り3色を円順列で考えればOKです。 ただし上下を逆にしても同じと見なすため÷2が必要になります。 よって 5・4・(3－1)！÷2 ＝5・4・2！÷2 ＝20通りとなります。 上下の底面の色の選び方は₅P₂で表すことができます。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/21 14:32

4STEP 数学A 円順列・重複順列57

色の異なる7個の玉を糸でつないで首飾りにする方法は何通りあるか。 解 360通り 7個で円順列を考えればOKです。 ただし、首飾りの場合は裏返すと同じと考えるので÷2をします。 (7－1)！÷2 ＝6！÷2 ＝720÷2 ＝360通りとなります。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/20 13:28

4STEP 数学A 円順列・重複順列56

8人の中から選ばれた5人が円形状に並ぶとき、並び方は何通りあるか。 解 1344通り 5カ所に8人の中から1人ずつ並べていくと 1カ所目は8通り 2カ所目は7通り 3、4、5カ所目も同様にすると8・7・6・5・4=₈P₅通りになります。 しかし、円形状に並べた5人を配置をそのままにして左右にずらすと同じ状態になるためこのパターンを取り除きます。最初の位置は5カ所から選ぶ(5パターンの重複ができる)ので÷5をすればよいので ₈P₅÷5 ＝8・7・6・5・4÷5 ＝1344通りになります。 組み合わせを習っている場合は ₈C₃・(5－1)！で解く方が簡単です。 HPやYoutubeはこちらからどう…

2023/03/19 13:32

4STEP 数学A 円順列・重複順列55

男子4人、女子4人が手をつないで輪を作るとき、 次のような並び方は何通りあるか。 (1) 女子4人が続いて並ぶ。 (2) 男女が交互に並ぶ。 解 (1) 576通り 女子4人をひとかたまりと考え、5人の円順列で解きます。 5人の円順列は(5ー1)！、 さらに女子4人の並びは4！通りあります。 ＊円順列ではなく、横一列に並べるイメージです。 よって (5－1)！・4！ ＝4！・4！ ＝24・24 ＝576通りになります。 (2) 144通り まず男子4人を円順列を使い並べると、(4－1)！通り 次にその間(4カ所)に女子を一人ずつ並べると4！通り よって (4－1)！・4！ ＝3！・4！ ＝6・…

2023/03/18 13:13

4STEP 数学A 円順列・重複順列54

大人2人と子ども8人が円形のテーブルに着席するとき、 次のような並び方は何通りあるか。 解 (1) 80640通り 大人2人を1かたまりと考えて9人で円順列を考えます。 その後大人2人の位置を入れ替えた場合もあるので×2します。 (9－1)！・2 ＝8！・2 ＝40320・2 ＝80640通りになります。 (2) 40320通り まず子供ども8人の円順列を考えます。 その後、子ども8人の円の隙間に大人を入れます。 1人目の大人の位置が決まれば2人目はその向かいに決まるので 1人目だけ考えればOK です。 今回は隙間が8カ所あるので8通りになります。 よって (8－1)！・8 ＝7！・8 ＝50…

2023/03/17 12:58

4STEP 数学A 円順列・重複順列53

集合{1,2,3,4,5,6}の部分集合の個数を求めよ。 解 64個 部分集合は集合に含まれる要素を任意の個数取り出したものです。 例えば{1}、{3,4,5}、{1,2,5,6}などです。 今回は任意の要素が部分集合に入るか・入らないかの2通りを考えればOKです。 1は部分集合の入るか・入らないかの2通り 2も部分集合の入るか・入らないかの2通り 3、4、5、6も同様に2通りになるので 2・2・2・2・2・2＝64個になります。(2⁶) ちなみに、全ての要素が部分集合に含まれない場合も∅(空集合)として個数に含めます。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/16 12:40

4STEP 数学A 円順列・重複順列52

7人を、2つの部屋A、Bに入れる方法は何通りあるか。 ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 解 128通り 1人目はAかBの2通り 2人目もAかBの2通り 3人目、4人目、、、7人目も同様に2通りなので 2・2・2・2・2・2・2＝128通りになります。(2⁷) HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/15 12:55

4STEP 数学A 円順列・重複順列51

2種類の記号○と×を、重複を許して次のように並べる方法は何通りあるか。 (1) 合計6個の記号を並べる。 (2) 1個以上6個以下の記号を並べる。 解 (1) 64通り 1個目の記号は○か×の2通り 2個目の記号も○か×の2通り 3個目、4個目、5個目、6個目も同様に2通りなので 2・2・2・2・2・2＝64通り(2⁶) (2) 128通り 1個の記号を並べるときは○か×の2通り(2¹) 2個の記号を並べるとき2・2＝4通り(2²) 3個の記号を並べるとき2・2・2＝8通り(2³) 4個の記号を並べるとき2・2・2・2＝16通り(2⁴) 5個の記号を並べるとき2・2・2・2・2＝32通り(2⁵…

2023/03/14 11:57

4STEP 数学A 円順列・重複順列50

5人が1回じゃんけんをするとき、手の出し方は何通りあるか。 解 243通り 1人目はグー・チョキ・パーの3通り 2人目もグー・チョキ・パーの3通り 3人目もグー・チョキ・パーの3通り 4人目もグー・チョキ・パーの3通り 5人目もグー・チョキ・パーの3通り よって 3・3・3・3・3＝243通りになります。(3⁵) HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/13 12:32

4STEP 数学A 円順列・重複順列49

同じ数字を重複してもよいとすると、1,2,3,4,5,6の6種類の数字を用いてできる3桁の整数は何個あるか。 解 216個 百の位は6種類から1種類選ぶので6通り 十の位も6種類から1種類選ぶので6通り 一の位も6種類から1種類選ぶので6通り よって 6・6・6＝216通りになります。(6³) HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/12 13:45

4STEP 数学A 円順列・重複順列48

8人が手をつないで輪を作る方法は何通りあるか。 解 5040通り 8カ所のうちスタートの位置を決め、そこから一人ずつ並べていくので8！通り、 スタートの位置は8通りあるが人の並びが同じ場合、同じ並び方と考えるので 8！÷8＝5040通りとなります。 円順列の公式(8-1)！で解くことができます。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/11 13:17

4STEP 数学A 円順列・重複順列47

右(下)の図のように6等分した正六角形の各部分を、異なる6色の絵の具を全て使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して同じになるときは、同じ塗り方とみなす。 解 120通り 任意の頂点から順番に1色ずつ色を決めていくと6！通りになる。 しかし、色の配置をそのままにして頂点を一つずつ横に移動すると、回転したときに元の色の配置と同じになってしまいます。これが各頂点で起こるので頂点の数6で割ることで正解になります。 よって6！÷6=120通りとなります。 6！÷6は円順列の公式(6－1)！で表すことができます。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/10 12:48

4STEP 数学A 順列46

A,B,C,D,E,Fの6文字を全て使ってできる順列を、 ABCDEFを1番目として、辞書式に並べるとき、次の問いに答えよ。 (1) 140番目の文字列を求めよ。 (2) FBCDAEは何番目の文字列か。 解 (1) BAFCED A▢▢▢▢▢の状態を考えると▢5個の並べ方は5！で120通りあります。 140番目が知りたいので先頭はAでないことがわかります。 B▢▢▢▢▢も同様に120通りあるのでここまでで240番目。 先頭はBであることがわかります。 条件を絞っていくと BA▢▢▢▢は4！で24通り(144番目まで)→BA▢▢▢▢まで確定 BAC▢▢▢は3！で6通り(126番目まで) BAD…

2023/03/09 13:14

4STEP 数学A 順列45

equationsという単語の文字をすべて使って順列を作るとき、 次の問いに答えよ。 (1) 少なくとも一端に子音の文字がくるものは何通りあるか。 (2) eとaの間に文字が2つあるものは何通りあるか。 解 (1) 262080通り 子音はq,t,n,sの4個 母音はe,u,a,i,oの5個 全体から、両端が母音になる場合を引いて求めます。 全体は9文字を一列に並べるので9！通り 次に両端が母音になる場合を求めます。 左端の母音は5通り、右端は4通り 中は7文字を一列に並べればよいので7！通りになります。 よって、9！-5・4・7！＝262080通りとなります。 ＊9！は9・8・7！なので 9…

2023/03/08 12:49

4STEP 数学A 順列44

男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ方法は何通りあるか。 解 1152通り 左端を男子から始めると4人から1人を選ぶので4通り 次は女子が4通り 次は男子が3通り 次は女子が3通り 以下同様にすると 4・4・3・3・2・2・1・1となる 左端は男子か女子の2通りあるので 4・4・3・3・2・2・1・1・2＝1152通りとなります。 男子の並べ方は4！通り 女子の並べ方も4！通りに気づくと 4！・4！・2で解くことができます。 HPやYoutubeはこちらからどうぞ ↓ ↓ ↓

2023/03/07 12:30

4STEP 数学A 順列43

女子5人、男子3人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。 (1) 女子5人が続いて並ぶ。 (2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。 (3) 両端が男子である。 (4) どの男子も隣り合わない。 解 (1) 2880通り 女子5人をひとかたまりと考えます。 そうすると、女子1人、男子3人という状態になります。 この状態で並べていきます。 左端は4人から1人選ぶので4通り 左から2番目は残り3人から1人選ぶので3通り 同様に、左から3番目は2通り、左から4番目(右端)は1通り となります。 この時点で、並び方だけで4・3・2・1＝24通りあります。 さらに女子5人の並び方も考えていき…

2023/03/06 12:36

4STEP 数学A 順列42

6個の数字1,2,3,4,5,6から異なる4個の数字を使って4桁の整数を作るとき、 次のような整数は何個あるか。 (1) 4300より大きい整数 (2) 5000より大きい偶数 解 (1) 156個 千の位の数字に着目して場合分けします。 (ⅰ) 5▢▢▢と6▢▢▢の場合 千の位は5か6の2通り 百の位は千の位で選ばなかった数字1個と残り4個(1,2,3,4)の計5通り 十の位は千、百の位で選ばなかった残りの4通り 同様に、一の位は残り3通り よって、2・5・4・3＝120個 ＊2・₅P₃で求めることができます。 (ⅱ) 4▢▢▢の場合 4300より大きいという条件なので、 千の位は4で1通り…

2023/03/05 11:16

4STEP 数学A 順列41

5個の数字0,1,2,3,4を使ってできる3桁の整数のうち、次のような整数は何個あるか。 ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 偶数 (2) 3の倍数 解 (1) 30個 偶数になる時は、一の位が0,2,4になる場合があるので場合分けをして考えます。 (ⅰ) 一の位が0のとき 百の位は0以外の4通り 十の位は百の位の数と0以外の3通り 一の位は0の1通り よって、4・3・1＝12通り (ⅱ) 一の位が2のとき 百の位は2、0以外の3通り 十の位は百の位の数と2以外の3通り 一の位は2の1通り よって3・3・1＝9通り (ⅲ) 一の位が4のとき (ⅱ)と同様なので9通り (ⅰ)～(…

2023/03/04 12:40

4STEP 数学A 順列40

6個の数字0,1,2,3,4,5を使ってできる、次のような整数は何個あるか。 ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 6桁の整数 (2) 6桁の整数で5の倍数 解 (1) 600個 十万の位は0以外の5個から1個選ぶので5通り 一万の位は十万の位の数字以外の4個と0のあわせて5個から1個を選び5通り 千の位は十万、一万の数字以外の4通り 百の位は残り3通り、十の位は残り2通り、一の位は残り1通り よって 5・5・4・3・2・1＝600個になります。 ＊5・4・3・2・1は5！と表すことができ、 (1)は5・5！という式で解くことができます。 (2) 216個 5の倍数は一の位が0か…

2023/03/03 13:21

4STEP 数学A 順列39

5人乗りの車に5人が乗車してドライブをするとき、乗り方は何通りあるか。 次の各場合について求めよ。 (1) 5人全員が運転免許を持っている場合 (2) 5人のうち3人だけが運転免許を持っている場合 解 (1) 120通り 1人目は5カ所から座る場所を1カ所選ぶので5通り 2人目は残り4カ所から1カ所選ぶので4通り 3人目、4人目も同様にして 5人目は残り1カ所から1カ所を選ぶので1通り よって 5・4・3・2・1＝120通りとなります。 ＊5・4・3・2・1は5！と表すことができます。 (2) 72通り 運転席に座るのは3人から1人を選ぶので3通り 残りの席に座るのは4人から1人、3人から1人…

2023/03/02 12:27

4STEP 数学A 順列38

(1) 20人の中から議長、副議長、書記を1人ずつ選ぶ方法は、何通りあるか。 ただし兼任は認めないものとする。 (2) 番号のついた8個のいすに6人の人を座らせる方法は何通りあるか。 解 (1) 6840通り 議長は20人から1人を選ぶので20通り 副議長は残り19人から1人を選ぶので19通り 書記は残り18人から選ぶので18通り よって 20・19・18＝6840通りになります。 ＊20・19・18は₂₀P₃と表すことができます。 (2) 20160通り 1人目は8個のいすから1個を選ぶので8通り 2人目は残り7個から 3人目、4人目、5人目も同様にして 6人目は3個から1個を選べばOKです…

2023/03/01 13:05