サンプル分位数の漸近正規性を確かめる
サンプル分位数の漸近正規性 サンプル分位数の漸近正規性で示した通り次が成り立ちます. $0 < p < 1$とし, 確率分布関数$F$が密度関数$f$を$Q_p$の近傍で持ち, $f$が$Q_p$で正であり連続ならば, \begin{align} \hat{Q}_{pn} \xrightarrow{d} \mathrm{N}\left(Q_p,\frac{p(1-p)}{f(Q_p)^2n}\right) \end{align} となる. 今回は, この定理が本当に成り立っているのかRを使ってシミュレーションしていきましょう. シミュレーション $F$が正規分布の場合 $F$を$\mathrm{N}(50,10^2)$に従う場合でシミュレーションしてみます. $n= 100 , p = 0.3$とします. この場合, $Q_p \fallingdotseq 44.756 , f(Q_p) \fallingdotseq 0.03477$なので, \begin{align} \hat{Q}_{0.3} \xrightarrow{d} \mathrm{N}\left(44.756,1.737\right) \end{align} となるはずです.シミュレーションにより$\hat{Q}_p$を独立に$10000$個生成し上記の正規分布に従うか確認してみます. Rのコードは次のようになります. 実行結果: 黒線がシミュレーションで生成した$\hat{Q}_p$で赤線が収束先の分布, つまり$\mathrm{N}\left(44.756,1.737\right)$です. よく一致していることがわかります. $F$がカイ二乗分布の場合 $F$を$\chi^2(8)$に従う場合でシミュレーションしてみます. $n= 200 , p = 0.7$とします. この場合, $Q_p \fallingdotseq 9.524 , f(Q_p) \fallingdotseq 0.0769$なので, \begin{align} \hat{Q}_{0.7} \xrightarrow{d} \mathrm{N}\left(9.524,0.1775\right) \end{align} となるはずです.シミュレーションにより$\hat{Q}
2019/05/19 16:49