みんなは並べられる？アルファベットを辞書式に配列させる場合の数

はじめに 今回は、辞書式に配列させる場合の数です。 みなさん辞書は引いたことがありますか？ 例えば、 ① あんこ ② カステラ ③ あんぱん これを辞書式に並べるとどうなりますか？ 答えは、① → ③ → ② ですね！ これと同じように数字もアルファベットも並べることができます。 今回はこの法則を用いた問題になっています。 ↓他の順列の問題はこちら 「固定」と「ひとかたまり」を覚えるだけ！男女の並び方を題材にした順列の場合の数 - Math Kit 順列の公式 個を並べる並べ方は、 ↓順列を用いた問題を確認したい方はこちら 「固定」と「ひとかたまり」を覚えるだけ！男女の並び方を題材にした順列の…

排出率 1 %って何回引けば当たるか知ってる？納得できるガチャの沼化

はじめに みなさん好きなアプリゲームはありますか？ 私もアプリゲームは新しいものが出るたびにチェックしてしまいますね…笑 アプリをインストールした後、 アプリゲームの醍醐味といえばなんといっても、ガチャですよね！ 私もどれだけ課金したことか… そんな話はおいときましょう笑 ガチャを引く前に、ガチャの詳細を見たことはありますでしょうか？ 詳細の中には、各キャラクターの排出率が書かれていますね。 排出率 %のキャラクターがいたとすると、 「大体、 くらい引けば当たるかな？」と見通しを立てますね。 それって本当でしょうか？？ 実は、 回引いても当たる確率はかなり低いのです！ それについて解説していこ…

群数列の基本がこれに詰まってる！奇数の列を群数列で並べるときの数列の問題

はじめに 今回は、奇数の列を群数列で並べたときの数列の問題です。 この範囲には、特に特有の公式はありません。 今までの等差、等比、階差、シグマなどの知識を活用して解いていく、 いわばちょっとした応用問題となります。 しかし、応用問題というのは、大抵の場合解き方が複数通り存在しています。 多くのアプローチの方法を知っておくことは、様々な応用問題を解く際に とても役に立ちます。 今回の問題でも、複数通りの解き方を紹介するので、 色々な方法を考察していきましょう。 理解できない解き方ももちろんあるかと思いますので、 そういった場合は、理解できるものから確実に身に着けていきましょう。 群数列とは？ ま…

紙を42回折れば厚さで月に到達？！わかりやすく解説

はじめに 1枚の紙を折ることのできる最大の回数はご存知ですか？ 今回は、 何回折れば紙の厚さで月まで到達するのか？ 紙は最大で何回折れるのか？ といった内容を書いていこうと思います！ 数学的な解説もあるので難しい部分もあるかもしれませんが、感覚的に理解できる解説もしているので、ぜひ読んでみて下さい！ はじめに 紙の厚さで月に到達？ 数学的に解説 なんで月を越えられるの？ 紙を折れる限界値 おわりに 紙の厚さで月に到達？ もともと薄っぺらい紙でも、折れば折るだけ厚みが増すのは容易に理解できますね。 厚さが mm の紙を 回折れば紙の厚さで月に到達できるという信じがたいお話をしていこうと思います。…

等差でも等比でもない？！階差数列の一般項を求める問題を解説！

はじめに 今回は、階差数列の一般項を求める問題です。 階差数列の問題は、 数列の規則性が簡単に見つけられないものが多いです。この時点で数学が苦手な人にとっては、解く意欲をそがれますよね… しかし、どんな時であれ 数列の分野で大切なことは、規則性をどのようにして見つけるかです。 逆に言えば、規則性の見つけ方を知っておけば、 ある方法でつまずいても、別の方法でその数列の正体を見破ることができるわけです。 具体的に問題を解説する中で、ポイントをおさえていきましょう。 階差数列を利用した一般項の公式 の階差数列を とすると、 であり、 のとき、 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1…

和を求める！シグマの公式を使った問題

はじめに 今回は、シグマの公式を使った問題です。 シグマという言葉が難しく感じさせますが、行っている計算は単純で、 和を求めるというだけです。 シグマとは？ 例えば、 という偶数のたし算の計算をする場合、おそらく純粋に足し合わせて、 という結果をすぐに導くことができるかと思います。 この計算を、試しにシグマの考えを使って書いてみます。 偶数は、「 （整数） 」と表すことができるので、仮に整数の部分を とすると、偶数は と表されますね。 仮に に を入れてみる（代入してみる）と、 となり、「 」の初項の値が出てきます。 同じように、 に を代入すると、 となり、「 」の第 項の値が出てきます。 …

「私は嘘つきである」変なのわかる？パラドックス「モンティホール問題」

はじめに パラドックスとは モンティ・ホール問題とは？ どんなゲームだったのか？ 天才現れる 解説 解説① 理論的に理解する 解説② ドアを100個に増やして感覚的に理解する おわりに Math Kit はじめに みなさんこんにちは！ パラドックス問題って聞いたことがありますか？ 今回は、ある有名なパラドックス問題と一人の天才のお話になっています。 パラドックスとは パラドックスとは、正しく見える前提や論理から、納得しがたい結論が導かれてしまう問題のことを言います。 一つ例を紹介しましょう。 「私は嘘つきである。」という言葉を考えていきましょう。 なんの変哲もない言葉に思えますし、何気ない友達…

ベクトルが含まれた方程式がベクトル方程式ただそれだけ

はじめに 今回は、ベクトルが含まれた方程式についての問題です。 ベクトル方程式は、ベクトルの中でも特に難しい単元ですね。 しかし、ベクトルは大きさと向きを表すものという定義をしっかりと押さえておけば決して理解できない単元ではないです！ ベクトルの定義などの基本を復習したい方はこちらをチェック www.smohisano.com ベクトル方程式とは？ ベクトル方程式とはなにか？ 難しく考えるとなんなのかがわからなくなってきます。 シンプルに考えましょう！ ベクトル方程式とは、ベクトルを含んだ方程式です。 つまり、 ベクトルでも直線の方程式とか円の方程式とかを表すことができるんだよ！ってだけの話で…

式を図に落とし込む！位置ベクトルについての問題

はじめに 今回は、位置ベクトルについての問題です。 早速ですが、ポイントは2点あります。 ① 位置ベクトルがなにかを理解する ② 式を図に落とし込む 図に落とし込むことができれば、問題を解くために必要な情報が見えてきます。 式を図に落とし込むポイント 式を図に落とし込むために、始点を変更しなければいけない場合があります。 始点の変更についてはこちらをチェック www.smohisano.com 位置ベクトルとは？ 位置ベクトルとは、 に対して、任意の点を始点（ここでは、点 とする。）にして、 と表すことです。 よく使用する形 において、線分 を に内分する点を とするとき、 + はじめに 式を…

絶対値がついたら2乗！ベクトルの大きさの最小値問題

問題 ベクトル , について , , であるとき (1) 内積 の値を求めよ。 (2) ベクトル の大きさを求めよ。 (3) ベクトル の大きさが最小となるように実数 の値を定め、そのときの最小値を求めよ。 つまずきポイント 今回は、ベクトルの大きさの最小値問題です。 ベクトルの大きさが与えられているときの解法を覚えていないと、 手も足も出ない問題かもしれません。 今回の問題のポイント ベクトルの大きさが与えられていたら2乗しましょう。 問いの中にあるこちらの式は、このままだとなにも計算ができません。 両辺を2乗することによって、 の値を求めることができ、(2) にも繋がります。 二次関数の最…

ベクトルを座標で表す！ベクトルを成分表示させる問題

問題 , に対して、 の最小値とそのときの の値を求めよ。 問題 つまずきポイント ベクトルの成分表示 使用する公式 解説 おわりに Math Kit つまずきポイント ベクトルは、座標で表すことによって座標平面上で扱うことができます。 ベクトルの成分表示 ベクトルは、座標平面上で のように表されます。 このように、座標で表すことをベクトルの成分表示と言います。 例） 使用する公式 ベクトルが成分表示されているときのベクトルの大きさ 例） の大きさを求めよ。 図のように、 に対して、三平方の定理を用いる。 ベクトルが成分表示されているときの内積の求め方 , のとき、 解説 から （平方完成をす…

等比数列の一般項と和の一般項

問題 次の問いに答えなさい。 (1) 数列 , , , の一般項 を求めよ。 (2) (1) の数列について，初項から第 項までの和 を求めよ。 (3) 初項 , 公比 の等比数列の初項から第 項までの和 を求めよ。 問題 つまずきポイント 等比数列の一般項の公式 等比数列の和の公式 解説 おわりに Math Kit つまずきポイント 今回は、等比数列の一般項と和の一般項の問題です。 等差数列同様、公式を覚えられていれば、問題なく解けるのではないかと思います。 和を求める問題では、 等差数列のときのように、公式の中に含まれる文字の数が少し増えてきます。 ここで重要なのは、 公式を使うにはどんな…

ベクトルとは？ベクトルの基礎・基本

はじめに 今回は、ベクトルの基礎・基本について話していきます。 高校数学におけるベクトルは、 平面ベクトルと空間ベクトルに分けられます。 空間ベクトルは少し難しい印象を持つ方が多いかと思いますが、 必要な箇所で切り取ってその断面図を見て問題を解く場合がほとんどです。 断面図は、平面図形なので、結局は平面図形を解くことと同じです。 つまり、平面ベクトルをある程度理解できれば、 同時に空間ベクトルも理解できるということです。 平面図形におけるベクトルの基本用語等を確認していきましょう。 はじめに ベクトルの基本事項 基本用語 ベクトルの相等について ベクトルの加法・減法・実数倍 ベクトルの演算法則…

等差数列の一般項と和の一般項

問題 次の問いに答えなさい。 (1) 数列 , , , の一般項 を求めよ。 (2) 数列 , , , , の和 を求めよ。 (3) 初項 , 公差 の等差数列の初項から第 項までの和 を求めよ。 問題 つまずきポイント 等差数列の一般項の公式 等差数列の和の公式 解説 おわりに Math Kit つまずきポイント 今回の問題は、等差数列の一般項と和の一般項の問題です。 公式を覚えられていれば、そこまで難しい問題ではないかと思います。 和の一般項の公式は つあり、状況に応じて使い分ける必要があります。 どちらの公式を使用するかは問いの条件をよく見ましょう。 等差数列の一般項の公式 ：初項, ：…

未来を読む？！高校数学における数列の基本

はじめに 数列とは 数列の分野に出てくる主な数学用語 高校数学における数列の目的とは？ 目的① 一般項を求める 目的② 漸化式を求める おわりに Math Kit はじめに 今回は、高校数学における数列の基本について話していきます。 数列の詳しい説明は後々しますが、簡単にいえば数の列です。 例えば、アルバイトをしている A さん 月の給料は、 円 月の給料は、 円 月の給料は、 円 だったとする。 では、 月にいくらもらえますか？ 必ずしもそうとは限りませんが、 おそらく多くの人が 円って思うことでしょう。 こういう考え方の根本を成している概念こそが、数列です。 先述したように、必ず 円をもら…

大学受験の数学をなんとかしたいと思っている全ての方へ

はじめに ブログの内容 どんな人が書いてるの？ ブログの特徴 Math Kit ブログ サイト おわりに はじめに ブログの内容 ブログを見てくださりありがとうございます。 このブログでは、 高校数学の頻出問題をまとめていたり、 大学受験の勉強をする上で必要なマインドについてまとめています。 どんな人が書いてるの？ 青森県出身の普通の人です…笑 しかし、「数学を教える」ということは、ずっとやってきました。 私自身も元から数学が得意だったわけではないので、 みなさんと同じように数学をつまずいてきました。 高校生の時にこういう風に勉強すれば良い。と、今だからわかることが多くあるのでそういった観点か…

微分って何？定義を具体的にわかりやすく解説

はじめに グラフにより変化具合を見てみる 変化具合が一定の場合 変化具合が変動する場合 曲線の変化具合を考える 2点間の直線の傾き 「ほぼ」1 点に接する直線の傾き まとめ 変化具合を計算してみよう おわりに Math Kit はじめに 今回は、「微分する」ということの意味について解説します。 早速ですが、数学の教科書に載っている微分の定義を見てみましょう。 上の における接線の傾き は、 となる。 これを見て多くの人が、「微分は諦めよう」と思ったのではないでしょうか？ 今回は、この公式を紐解いていきたいと思います。 早速ですが微分とは、 「変化具合を表したもの」です。 変化具合とは、 が ず…

実数とか整数とか違い理解する必要なんてあるの？数の体系を理解する必要性とは？

はじめに 今回は、数の体系について話していきたいと思います。 数の体系に直接関係する問題は出題されませんが、 数学の問題をスムーズに解くためのルールの一つです。 野球に例えると、野球もある程度ルールを覚えた上でプレイするから楽しめるんですよね。 ピッチャーが投げたボールを打ったバッターが、左に走ったり正面に走ったりしてたらゲームが成り立ちませんよね？ はじめに 数の体系 数がどう拡張されてきたか？ 数の体系の図 「〜は実数とする。」 例題①（整数の範囲） 例題②（実数の範囲） 絶対値 平方根 数の体系 数の体系とは、数の種類と各種類の数字の間の関係を表したもののことです。 数がどう拡張されてき…

【微分法】微分を使ったグラフの描き方

問題 次の関数のグラフを描け。 問題 つまずきポイント 習得しておく必要のある単元 解説 おわりに つまずきポイント 今回は、3次関数のグラフを描く問題です。 この問題は、高校数学の集大成であるといっても過言ではありません。 把握しなければいけない定義や定理が複数存在しますので、確認しながら問題を解きましょう。 習得しておく必要のある単元 微分係数と導関数導関数は、微分した後の関数のこと微分係数は、導関数の変数に値を代入して求められる値のこと 接線の方程式 接線の方程式の問題はこちらをチェック www.smohisano.com 関数の増減と極大・極小微分係数の正負によって、関数の増減が決まる…

順列と組合せの違いを解説！イメージによる解説と公式から読み解く解説

はじめに 今回は、順列と組合せの違いを解説していきます。 順列と組合せといえば、場合の数や確率を解く上で欠かせない単元ですね！ それぞれこのような計算のものですね。 順列 ： 組合せ： それぞれ、 順列 ：P（Permutation） 組合せ：C（Combination） の部分が違いますね。 この2つの公式を見てもなかなか違いに気づけないものです。 今回は、イメージで違いを掴む方法と簡単な例に当てはめて違いを掴む方法の2つの方法を使って説明していこうと思います！ 実際に問題を解きたい方は以下の記事をチェック！ ↓順列の問題はこちら 「固定」と「ひとかたまり」を覚えるだけ！男女の並び方を題材に…

【場合の数】順列と組合せの違いとは？

はじめに 順列 定義 イメージ 組合せ 定義 イメージ 順列と組合せの違い おわりに はじめに 場合の数の問題を解くために欠かせないのが、順列と組合せですね。 今回は、そんな順列と組合せの違いについて解説していきます。 公式を見てもなかなか違いに気づけないものです。 今回は簡単な例に当てはめて説明していこうと思います。 順列 定義 異なる 個のものの中から異なる 個を選んで並べる。 その時の順列の総数は、 例） イメージ 誰か3人モノを運ぶの手伝ってくれるかなー？ いいですよ〜 じゃあAはこのテキストを運んで、Bはノートを運んで、Cはこの機材を運んでくれる？ わかりました〜 このように、 複数…

【微分法】2つの放物線の共通接線

問題 つの放物線 , の共通接線の方程式を求めよ。 問題 つまずきポイント 共通接線のイメージ 使う公式 解説 おわりに つまずきポイント 共通接線のイメージをするのが難しいです。 イメージをするためには、二次関数のグラフを描ける必要がありますね。 イメージができれば、共通接戦はふたつ引けるかも？という予想が立てられますね。 共通接線のイメージ このように、ふたつ引くことが出来ます。 ここのグラフは100%正確に描く必要はありません。あくまでもイメージするためのものです。 使う公式 接線の求め方がいまいちわからない方はこちらを先に解くと良いです。 www.smohisano.com 上の 点 …

【微分法】微分で傾きを求めて接線を求める

問題 点から曲線に引いた接線の方程式を求めよ。 問題 つまずきポイント 使用する公式 解説 おわりに つまずきポイント 接線を求めるために必要な要素は、接点と傾きです。 接点と傾きは、 問いに与えられている時もあれば与えられていない時もあります。 接点が与えられていない時は、接点を文字に置く。 今回の問題の場合）接点 とおく 傾きが与えられていない時は、微分することにより求める。 今回の問題の場合） に を代入する。 使用する公式 上の 点 における接線の方程式は、 （ ：接線の傾き） 接線の傾き を求める手順 ① を微分をする。（ を求める） ② の 座標に接点の 座標を代入する 解説 接点…

ログを文字に置き換えて最大値・最小値を求める【対数関数】

問題 のとき、 関数 の最大値と最小値を求めよ。 問題 つまずきポイント 解説 おわりに つまずきポイント ① 底を合わせる必要がある 底の変換公式が不安な方は、こちらの問題 www.smohisano.com ② その他使用する公式 , , , , が実数のとき 解説 の底を にする。 よって、 （与式） とおくと、式と定義域が変わる。 のグラフを描いてみる。 なので、グラフより となる。 （） 頂点 グラフより、 のとき最小値 のとき最大値 より なので、 より なので、 よって、 のとき最小値 のとき最大値 おわりに 簡単に手順を書くと、 ① 対数部分を文字に置き換える ② 定義域を修正…

【対数関数】ログが含まれた方程式の解き方

本日の問題 【問題】 次の方程式を解け。 本日の問題 つまずきポイント 今回の問題のポイント 公式① 公式② 公式③ 解説 おわりに つまずきポイント 対数独自の公式が複雑で大変なところです。 しっかりと公式を覚えて、最初は公式を見ながらで良いのでしっかりと式変形できるよう解き進めましょう。 今回の問題のポイント 公式① 実数を対数で表す （実数を対数で表したい時に便利） 公式② 両辺の対数の底が揃っている場合、両辺の対数を外すことができる。 のとき、となる。（ は 底、 は真数と呼ぶ。） 公式③ 底が揃っている対数の足し算は、真数を掛け算してまとめられる。 解説 真数条件より、, , よって…

【指数関数】指数を二次関数に変換する

本日の問題 【問題】 関数 の最大値と最小値を求めよ。 本日の問題 つまずきポイント 指数法則 解説 おわりに つまずきポイント 指数を二次関数に変換するためには、指数法則が必要になる。 指数法則は、ややこしい法則が多いので暗記しきれていない人も多いですね。 最初は、見ながらで良いので解き進めていきましょう。 指数法則 指数法則 , で、, が整数のとき 1. 1'. 2. 3. 3'. 解説 ここで、 とおくと、式と定義域が変わる。 （）のグラフを描いてみると、 なので、図より となる。（文字が変換された際には、必ず必要となる作業です。） （） 頂点 グラフより、 のとき最小値 のとき最大値…

【三角関数】サインコサインが入った方程式

本日の問題 【問題】のとき、次の方程式を解け。 本日の問題 つまずきポイント 三角比の相互関係 解説 おわりに つまずきポイント 今回の問題は、サインコサインが入った方程式です。 サインコサインを揃えることができればそこまで難しい問題ではないです。 三角比の相互関係を使った式変形が必要になるため、 以下の公式を確認しておきましょう。 三角比の相互関係 三角比の相互関係 今回使用する公式 解説 より とおくと、 , ここで、 より となるので、 , の範囲を求めて、解が範囲に入っているかどうかの確認を忘れずに おわりに もっと詳しく教えてほしいという方は、 下記の相談フォームからご連絡ください。…

【三角関数】サイン+コサインを文字に置いて変換する関数問題

本日の問題 【問題】 関数 を考える。 ただし、 とする。 (1) とおくとき、 を の式で表せ。 (2) の最大・最小を求めよ。また、そのときの を求めよ。 本日の問題 つまずきポイント 今回の問題のポイント 解説 おわりに つまずきポイント を使って、 を で表すことが第一関門です。 次に、 で表された二次関数の最大・最小を求めることが第二関門です。 今回の問題のポイント ときたら、両辺を 乗して、 を求める。 この解法は、頻出となるので、確実に押さえたい問題です。 解説 より 両辺を 乗すると、 より となるので、 を代入すると、 よって、 頂点 平方完成を確認したい人はこちら 【平方完…

【対数関数】ログの大きさの比べ方とは？

本日の問題 【問題】 次の数の大小を不等号を用いて表せ。 , 本日の問題 つまずきポイント 今回の問題のポイント 対数の公式 解説 おわりに つまずきポイント 片方の数字は、対数（） が付いているが、 もう片方の数字は、対数（）が 付いていないため、 このままの形だと大小を比べることができない。 今回の問題のポイント Point 同じ土俵に立たせてあげる。 今回の問題は、 は小数 は対数 このように、それぞれが異なる形であるため大小を比べることができない。 よって、小数または対数どちらかに形を合わせる必要がある。 どちらに合わせた方が良いのかは、問題によるので演習を重ねましょう。 対数の公式 …

【対数関数】底はどれにすれば良い？底の変換公式をを利用した計算

本日の問題 【問題】 次の式を簡単にせよ。 本日の問題 つまずきポイント 解説 おわりに つまずきポイント 底の変換公式 今回の問題は、底をどれに合わせれば良いのか？ 候補は、, , があるが、基本的にどれに合わせても答えは導かれる。 しかし、一番数字が小さいものを底にすれば計算が楽になるでしょう。 解説 について について 変換したものを与式に当てはめると、 おわりに 対数では、対数独特な公式が複数存在する。 そのため、どのタイミングでどの公式を使えるのかということを見極める必要がある。 そのような見極めの目は演習によって身についていくので、これを機会に類題に取り組みましょう。 もっと詳しく…

【三角比】教科書よりもわかりやすい三角比の定義

はじめに 三角比の定義 定義 三角形を用いた定義の問題点 三角比の定義の拡張 定義 例題の解説 例題① 例題② 例題③ おまけ（サイン0°とかコサイン0°とか） サイン0°、コサイン0° サイン90°、コサイン90° サイン180°、コサイン180° サイン270°、コサイン270° おわりに はじめに 三角比の定義について解説します。 三角形に当てはめた公式だけ覚えている人が非常に多いと思います。 三角形を使った定義だけだと、角度が を超える場合や三角関数（一般的に高校2年生に学習する）を扱う際に困ります。 今回は、三角形の定義を確認した後に、もっと拡張させた定義を解説していきます。 確実に…

【積分法】定積分が含まれた関数について『積分部分を文字に置く』

本日の問題 【問題】 次の等式を満たす関数を求めよ。 本日の問題 つまずきポイント 今回の問題のポイント 解説 おわりに つまずきポイント 式の中に定積分が含まれているところが難しいところでしょう。 今回の問題はパターンとして、解法を覚えてしまうのが良いです。 変に仕組みを理解するために時間をかけすぎないようにしましょう。 今回の問題のポイント 定積分部分を丸々文字に置いてしまう。 とおく 解説 とおくと、 を に代入すると、 よって、 したがって、 おわりに もっと詳しく教えてほしいという方は、 下記の相談フォームからご連絡ください。 いつでもお待ちしております。 お問い合わせフォーム ht…

【積分法】途中式を一切飛ばさない積分

本日の問題 【問題】 曲線 と 軸に囲まれた図形の面積 を求めよ。 本日の問題 つまずきポイント 今回の問題のポイント 解説 おわりに つまずきポイント 今回の問題は、積分を用いて面積を求める問題です。 定期テスト、大学入試でかなりの頻出問題となっています。 難しいポイントは、グラフを描く必要がある点ではないでしょうか？ グラフを正しく描くことができるか否かで、立式のしやすさが大きく異なります。 いつも以上に丁寧目にグラフを描きましょう。 今回の問題のポイント 区間 で常に とする。 つの曲線 , , および 直線 , で囲まれた図形の面積 は、 解説 軸との交点を求める。 とおくと、 となる…

【積分法】定積分の計算『途中式丁寧に解説』

本日の問題 【問題】 次の定積分を求めよ。 本日の問題 つまずきポイント 不定積分の公式 解説 おわりに つまずきポイント とにかく計算が大変です。 計算自体は、たくさん演習をして慣れていくしかありません。 今回の問題は、公式をしっかりと確認して公式に沿って解けるようにしましょう。 不定積分の公式 不定積分の定義 ( は積分定数) 解説 おわりに 今回の問題は割と楽な計算で解くことができましたが、 分数が絡んで大変な計算になる場合もあります。 何行になってもいいので、しっかりと途中式を書いて計算しましょう。 もっと詳しく教えてほしいという方は、 下記の相談フォームからご連絡ください。 いつでも…

【三角関数】サインの2倍角の公式を用いた三角方程式

本日の問題 【問題】 のとき、次の方程式を解け。 本日の問題 つまずきポイント 2 倍角の公式 方程式の計算 解説 おわりに つまずきポイント 必要な技能 ① 倍角の公式が使える ② 方程式の計算ができる 2 倍角の公式 方程式の計算 のとき または , 解説 倍角の公式より となるので、 （与式） ゆえに、 よって、 または より または となる。 より より , より , おわりに 改めてポイントは、 倍角の公式と方程式の解き方です。 もっと詳しく教えてほしいという方は、 下記の相談フォームからご連絡ください。 いつでもお待ちしております。 お問い合わせフォーム https://forms…

【三角関数】サインコサインを含んだ関数の最大値・最小値

本日の問題 【問題】 の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの の値を求めよ。 つまずきポイント この問題を解くためには、 つの技能が必要になります。 ① 三角比の相互関係を使える ② 二次関数の最大最小を求められる 三角比の公式 三角比の相互関係 二次関数の最大最小の求め方 二次関数の最大値・最小値は、グラフを描ければ容易に解くことができます。 詳しい説明はこちらをチェック smohisano.hatenablog.jp 解説 より （三角比の相互関係 ① を使用） とおくと、 頂点 また、 の範囲は、 より は、 となる。 よって、 の最大値・最小値を求めれば良い。 グラフより、 のとき…

【等式の証明】サインコサインタンジェントを含んだ等式の証明

本日の問題 【問題】 以下の等式を証明せよ。 本日の問題 つまずきポイント 使用する公式 等式の証明のポイント 今回の問題のポイント 解説 おわりに つまずきポイント 三角比の公式を暗記していても、 いざ問題を目の前にすると、その中のどの公式を用いればいいのかがわからない。 また、等式の証明でもあるので、 証明の書き方がわかっていなければ解くことができないのも難しいポイントです。 使用する公式 三角比の相互関係 等式の証明のポイント 等式の証明パターン の証明について ① か の一方を変形して証明する ← 今回使用するパターン ② 両辺 をそれぞれ変形して証明する ③ 右辺を にして、であるこ…

【不等式の領域】x + y の最大値・最小値を求める

本日の問題 【問題】 が つの不等式 , を満たすとき、 の最大値および最小値を求めよ。 本日の問題 つまずきポイント 今回の問題のポイント 解説 おわりに つまずきポイント 次関数の最小値なら、放物線を描いて、一番低いところを… とイメージがつきますが、 の最大・最小と言われてもピンとこないですね。 今回の問題のポイント と置き、 と式変更すると、 「不等式の領域を満たすとき の最大値・最小値を求めよ。」を 「不等式の領域を満たすとき の切片 の最大値・最小値を求めよ。」 と言い換えることができる。 解説 ① ② よって、①と②の共通部分は、 この領域の中で、 の最小値・最大値を求める。 と…

【図形と方程式】『絶対値』を含む『不等式の表す領域』つまずきポイント付き

本日の問題 【問題】 次の不等式の表す領域を図示せよ。 本日の問題 つまずきポイント 今回の問題のポイント 解説 おわりに つまずきポイント 「絶対値の意味がわからない。」 というところからつまずく人が多いでしょう。 絶対値 とは、 数直線上で、原点からの距離が となる点 例） 数直線上で、原点から の距離にある点は、 と である。 よって、 今回の問題のポイント Point ① 絶対値の中を つの文字に置く ② 絶対値の中がプラスなのかマイナスで場合分けをする 解説 を とおく。 よって、 , , , したがって、 おわりに もっと詳しく教えてほしいという方は、 下記の相談フォームからご連絡…

【軌跡と方程式】放物線の弦の中点の軌跡

【問題】 放物線 と直線 は異なる 点 で交わっている。 ( 1 ) 定数の の値の範囲を求めよ。 ( 2 ) の値が変化するとき、線分 の中点の軌跡を求めよ。 つまずきポイント 解説 おわりに つまずきポイント 軌跡の問題の解法に当てはめる必要がある。 詳しくはこちらをチェック smohisano.hatenablog.jp 解説 ( 1 ) 放物線と直線は、異なる 点で交わるので、 方程式 の判別式 において、 ＞ となる。 判別式を計算すると、 ＞ ＞ ＞ ＜ , ＜ ( 2 ) 中点を とおく。 この二次方程式の解を , とおくと、 よって、中点の 座標 は、 となる。 中点は を通る…

【2次関数】つまずきポイント『まとめ』わからないところがわからない人向け

はじめに 関数とは？ 平方完成 グラフの描き方 最大値・最小値 まとめ はじめに 関数問題は、大学受験でほぼ100%出題される頻出問題です。 関数問題をマスターするためには、多角的な視点が必要になります。 今回は、 最大値・最小値を求める際につまずくであろうつまずきポイントをまとめました。 各つまずきポイントに関連する問題とその解説も載せていますので、 自分の学習に役立たせてください。 関数とは？ 関数と言うと、 一次関数や二次関数、それに加えて三角関数や指数関数、対数関数と扱っていきます。 これらの全てに「関数」という言葉が含まれていますが、 関数とはそもそもどういう意味なのでしょうか？ 関…

【軌跡の問題】アポニウスの円『公式ではなく解法に当てはめる』

つまずきポイント 軌跡の問題の解法 本日の問題 おわりに つまずきポイント 難しいポイント ⇨公式がないこと 公式に当てはめるのではなく、 解法に当てはめる。 軌跡の問題の解法 ① 動点を見極める 問題文の「〜の点の軌跡を求めよ。」という部分に注目する。 ② 動点を と置く 同点の文字は必ずしも でなくても良い。 ③ と を用いた方程式を立てる 1番の難所だが、問題文のどこかに方程式を立てるためのヒントが隠されている。 本日の問題 【問題】 点 , からの距離の比が である点の軌跡を求めよ。 【解説】 条件を満たす点を とすると ゆえに、 両辺を 乗すると、 となる。 より、 に当てはめると、…

【円の弦の長さ】『図を描く』この問題で2つの公式が学べる

つまずきポイント 難しいポイント① 難しいポイント② 本日の問題 おわりに つまずきポイント 難しいポイント① 図を描く ⇨図を描くためには、直線と円のグラフを描くことができることが前提である。 難しいポイント② 点と直線の距離の公式の計算 点と直線の距離の公式 と直線 の距離は、 本日の問題 【問題】 直線 が円 によって切り取られる弦の長さを求めよ。 Point 円の中心から直線に垂線を引く 【解説】 円の中心 を点 とする。 また、円と直線の交点を とし、線分 の中点を とすると （点と直線の距離の公式を使う） であるから（半径より） 図より おわりに 複雑な公式が複数活用されるので、一…

【円の方程式】2つの『公式』の使い分け「基本講座」

つまずきポイント 2つの公式 本日の問題 おわりに つまずきポイント 円の方程式には、2つの公式がある。 2つの方程式の使い分けは正直ピンとこない。 2つの公式 ① ② これらの使い分けについて解説していく。 本日の問題 【問題】 中心が 点, 半径 となる円の方程式を求めよ。 Point① 中心や半径 がわかってる時、 を使用する。 Point② 点 , 点 , 点 を通る。 というように、通る点が つわかってる時、 を使用する。 【解説】 中心,半径の円であるから、その方程式は、 よって、 おわりに 円の方程式は、 つの変数が用いられていたり、 乗が含まれていたりと、扱いにくい部分が多い。…

【三角形の面積】『図形と方程式』座標軸上の三角形の面積の求め方

つまずきポイント 三角形の面積の求め方はたくさんある 本日の問題 おわりに つまずきポイント 三角形の面積を求めなさいと言われれば、 固定観念により、 （底辺）×（高さ） しか出なくなってしまう。 三角形の面積の求め方はたくさんある ・（底辺）×（高さ） ・三角比を用いる方法 ・今回扱う方法 とさまざまあります。 どの方法を用いることができるかは、与えられている条件から判断しよう！ 本日の問題 【問題】 点 , , の時, の面積を求めなさい。 Point 三角形の面積の公式から求める。 底辺をどう求める？高さをどう求める？ ということを考えよう。 【解説】 STEP 1 図を描いてみる ST…

【データ分析】相関係数とは？（『計算方法』『散布図』『公式』）

相関係数とは 数値（相関係数）の算出方法 散布図 学習手順 おわりに 相関係数とは 相関係数とは、 つの事柄の関係性の度合いを表したもの。 つの事柄を、, とおくと、 関係性には、 種類ある ① 正の相関 が増えると、 も増える。かつ、 が減ると、 も減る。 ② 負の相関 が増えると、 は減る。かつ、 が減ると、 は増える。 ③ 相関なし と に関係性はない このような、①〜③を、 数値（相関係数）の度合いにより、判断することが出来る。 数値（相関係数）の算出方法 ：, ：, ： の平均 ： の平均 とすると、 ： の標準偏差 ： の標準偏差 ： と 共分散 よって、 ※今は覚える必要はない …

【15分】『オンライン授業』15分から始める受験勉強

みなさんこんにちは！ これから、大学受験を始めようとしているそこのあなたへ 突然ですが、一緒に勉強しませんか？？ オンライン家庭教師申し込みフォーム オンライン授業ってどうやるの？？ smohisano.hatenablog.jp 大学受験なんて、 まだまだ先だって思っている高校1年生 「なんとなく大学には進学したい」 「文系科目よりなら理系科目が少し得意」 「定期試験は、得意科目ならなんとか平均点を超える」 「何から始めればいいのかわからない」 こんな状況の方、少なくないはずです。 そんな方はぜひ読んでください！ なんとなくうまくいく気がしてる 毎日15分から 人に頼りましょう なんとなくう…

【実は超簡単？】『シンプルさ』『オンライン授業とは？』オンライン家庭教師で成績を上げる

オンライン授業とは オンライン授業の流れ STEP 1 わからない問題が出てきた！ STEP 2 授業を予約しよう！ STEP 3 zoomに入室しよう！ STEP 4 授業スタート おわりに オンライン授業とは ◆オンライン授業とは◆ zoomなどのオンラインツールを用いた授業のことです。 昨今、コロナウイルスのためよく聞く授業形態となりましたね。 しかし、 「対面の授業の方が効果ありそう」 「設定とかが複雑そう」 といろんな意見を聞きます。 オンライン授業のメリットとデメリットはこちらにまとめています。 smohisano.hatenablog.jp 上手に使えば、 みなさんの学習をサポー…

三角二次不等式

みなさんこんにちは！ 本日は、 二次不等式と三角比両方の知識が必要な問題を扱います！ ではいきましょう！ 【問題】 以下の不等式が満たす の範囲を求めよ。 （） 【解説】 STEP 1 三角比の種類を揃える。 〈公式〉 より となるので、 （与式） STEP 2 三角比を文字に置き換える。 と置くと、 STEP 3 二次不等式として解く , STEP 4 置き換えた文字 を三角比に戻す , 図 より なので、 は、 となる。 よって、 , いかがでしたか？ 今回の問題が難しく感じた人は↓こちらをチェック！ smohisano.hatenablog.jp もう少し詳しく教えて欲しい！ って人は下…

三角一次不等式

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、三角比が含まれた不等式です。 三角比の基本と不等式の基本、両方が必要になります。 ではいきましょう！ 【問題】 不等式 ＞ を満たす の値の範囲を求めよ。 Point の図を描く。 の定義 定義より、 , となる 図1 STEP 0 問題文を言い換える ＞ が より大きくなるときの の範囲 動径を動かしたとき分母の は半径より大きさが変わらないので、 分子が ＞ となるとき の範囲 STEP 1 図で動径の動く範囲を理解する 図2 図2より いかがでしたか？ 三角比の定義が曖昧だと難しく感じるかもしれません。 もう少し詳しく教えて欲しい！ って人は下記の相談…

なす角

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、なす角を求める問題です。 なす角は、タンジェントと深い関わりがあります！ ではいきましょう！ 【問題】 直線 , のなす角を求めよ。 Point なす角を理解し、図を書く の定義を理解する。（ の定義についてはこちら） STEP 0 なす角とは？？ 直線のなす角とは、 図の , つを 直線のなす角という。 ※ つのなす角のうち、鋭角を求めるのか、鈍角を求めるのか、もしくは両方求めるのか、問いを見て確かめる。 STEP 1 図を描く STEP 2 で表す。 直線それぞれの傾きは、, より、 STEP 3 , からを求める 図より、なので いかがでしたか？ とこ…

因数定理

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、因数定理という公式を扱った問題になります。 まずは、時間をかけて「因数定理」という公式を理解していきましょう！ ではいきましょう！ 【問題】 が で割り切れるとき、定数 の値を定めよ。 Point 因数定理を理解する 因数定理とは、 次式 が整式 の因数である。 さらに細かく考えてみよう！！ 次式 が整式 の因数である。 因数分解したときに、 となる より は の解である 因数定理は暗記するだけでなく仕組みも理解しよう！！ この理解が深めれば、今回の問題の答えはもうすぐそこ！！ が で割り切れる。 (は商) より よって、 いかがでしたか？ 因数定理は、問題…

直線の方程式

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、直線の方程式を求める問題です。 あれ？これ前も同じのやらなかった？？ 傾きと切片のやつじゃないの？ そう思った方、その通りです！全く同じものです！ しかし数学Ⅱでは、同じ直線の方程式でも求め方が変わります。 そして、慣れればこっちの求め方がいろんな場面で便利になります！ ではいきましょう！ 【問題】 直線 の交点を通り、点 を通る直線の方程式を求めよ。 Point① 点 を通り、傾き の直線の方程式は、 、 となる。 Point② 直線の方程式を求めるために必要な条件 通る点 つ 通る点 つと傾き 傾きと切片 ※これらの条件が見当たらないい場合は、計算により…

三角比の拡張

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、一つの三角比から他の三角比を求める問題です！ この問題は、公式（三角比の相互関係）を 3 つ覚えるというのが第 1 ステップですね！ ではいきましょう！ 【問題】 のとき、 と の値を求めよ。 Point三角比の相互関係の公式のどれを使うか？ 三角比の相互関係 さらにPoint!! つの等式で求められるものは つ!! つまり、 つの等式の中に つのわからない文字が含まれていると求めることはできない。【解説】STEP 1 今回は を①②③全てに代入してみる。① このまま計算すれば が求められる。 ② このまま計算しても 、 の2つが分かっていないので現時点では…

整数解の見つけ方

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、整数の性質からの問題です。 整数の性質は、公式もその使い方もよくわからない単元ですね… しかし、今回の問題を解く上で抑えてほしいポイントは1つです！ ではいきましょう！ 【問題】 が自然数となるような自然数 を全て求めよ。 Point 積 整数 の形にする STEP 0 とおく STEP 1 , の組み合わせを考える。 全てのパターンを出すとこうなる。 > より > かつ > または < かつ < は自然数より、 < ではないので、 > かつ > ① さらに > ② ①、②より > > 以上を踏まえると、 , の組み合わせは となる。 , , , STEP …

わからないところがわからない人（数学ⅠA編）

はじめに 数学Ⅰ 因数分解 集合 命題 二次関数 三角比 数学A 順列 組合せ 確率 おわりに はじめに 数学あるあるとして、自分がどこを理解していないのかすらも分からないってパターンありますよね… そんな方のために、つまづきやすい問題をまとめましたので見てみてください。 これから紹介する問題は、こちらにまとめてますので全問題を順番に確認したい人はチェックしてみてください！ sites.google.com 数学Ⅰ 「因数分解」「集合」「命題」「二次関数（放物線）」「三角比」 数学A 「順列（）」「「組合せ（）」「確率」 上記の単元に絞って、 ここが分からない人は、この問題をやってみて！という…

関数という概念

みなさんこんにちは！ 本日は、「関数」についてお話ししていきます。 突然ですが、関数と聞くと 何を思い浮かべますか？ グラフ x軸、y軸 放物線、直線 中学・高校で学んだ言葉を思い浮かべる人がほとんどでしょう。 学校では教えてくれませんが、 関数とは、世界を担う一つの概念なのです。 では、関数と社会を繋げてみましょう！ 関数とは 関数の概念が利用されてる例 自動販売機 エクセル おわりに 関数とは 数学における関数とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写…

不等式の証明

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、不等式の証明です。 不等式の証明も等式の証明と同様に、型に当てはめて解いてみましょう！ 等式の証明は、こちら smohisano.hatenablog.jp ではいきましょう！ 【問題】 不等式 が成り立つことを証明せよ。 また、等号が成り立つときはどのようなときか。 Point を示すことは、（, のとき） を示すことと同義となる。 STEP 1 与式の両辺を 乗しよう。 (左辺) (右辺) より、 , となるので、 の考え方を使える。よって、 を示せばよい。 STEP 2 であることを示そう。 よって が成り立つことが示された。 したがって、 は示された…

等式の証明

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、等式の証明です。 「証明」と聞くと、苦手意識を感じる人がいるかもしれませんね。 まずは、型にはめて慣れるところから始めましょう！ ではいきましょう！ 【問題】 のとき 等式 を証明せよ。 等式の証明パターン の証明について ① か の一方を変形して証明する ② 両辺 をそれぞれ変形して証明する ③ 右辺を にして、であることを証明する Point 文字を減らす 与式を見ると、文字が 、、 の つ含まれている。 このままだと文字が多すぎて解くのが難しいため、条件（[tex:a+b+c=0]）を使って、文字を減らして解きやすくする。 STEP 1 条件を使う よ…

方程式とは違う、恒等式とは？

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、恒等式です。 恒等式は方程式と似ていると思いがちですが、明確な違いがあります。 違いをしっかりと理解しましょう！ ではいきましょう！ 【問題】 次の等式がについての恒等式となるように、定数 の値を求めよ。 恒等式 含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ等式のこと。 方程式と恒等式の違い 方程式 例） を解きなさい。 この等式を満たす を求めなさい。 恒等式 例） が恒等式の時、 の値を求めなさい。 どんな数を に代入しても成り立つ時、 の値を求めなさい。 Point 両辺を同じ形にする。 右辺を通分し、左辺に…

複雑な公式をひも解く（二項定理）

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、二項定理です！ 二項定理は、公式がとにかく複雑！ ただ、, の増え方を細かくみてあげると、規則性があって覚えやすいと思います！ ではいきましょう！ 【問題】 の展開式を求めよ。 Point 公式の , の増え方の流れを掴む。 二項定理 STEP 1 二項定理を細かく見ていこう。 組み合わせの部分（ の部分） ☆数字のところが増えている！ の部分 ☆指数がつずつ減っている！ の部分 ☆指数がつずつ増えている！ STEP 2 文字に置く , , とおき、公式 に代入する。 ☆慣れるまでは、ゆっくり代入していこう 整理すると、 いかがでしたか？ 公式がとにかく複雑…

掛け算するのか足し算するのか（確率）

はじめに 例題 例題① 例題② 解説 例題① 例題② おわりに はじめに 本日は、場合分けで得られた複数の確率を、 掛け算するのか？ 足し算するのか？ を判別する方法を紹介します！ 判別する方法は、 「または」「かつ」 このどちらかを入れてみる。です！ では、例題を使って考えていきましょう。 例題 例題① サイコロを 回振るとき、 の目または奇数が出る確率を求めなさい。 の目が出る確率は、 奇数の目が出る確率は、 ここで問題！ , それぞれで求められた つの確率、 掛け算しますか？足し算しますか？ 例題② サイコロを 回振るとき、 回目は が出て、 回目は奇数が出る確率を求めなさい。 の目が出…

必要条件を見極める

みなさんこんにちは！ 突然ですが、勉強をする上で大切なことはなんだと思いますか？？ 私は、 有意義に勉強を進めるための必要条件を揃えること だと考えています。 このことについて詳しく説明していこうと思います。 必要条件とは？ 答えのない問いとの闘い 必要条件を揃えろ おわりに 必要条件とは？ 必要条件と聞くと、「高校数学で習ったよくわからないもの」 という印象が強いかもしれませんね。 ここでは、高校数学で扱う必要条件とは、違った解釈をしています。 必要条件とは、 なにかを満たすために必要となる要素のことです。 例えば、ある物がりんごであることを満たしたいとき、 赤、果物、丸い、青森県… これら…

2 次関数の決定

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、ある条件を満たす2 次関数の式を求める問題です。 「2 次関数の式を求める」ということは、関数の応用問題ではよく見られる操作です。 今回は数あるパターンの中の一つですが、確認していきましょう！ ではいきましょう！ 【問題】 次関数のグラフの頂点が 軸上にあって、 点、 を通る 次関数を求めよ。 Point①通る点が つある時、 ②頂点の 座標または 座標がわかっている時、 【解説】STEP 0 使う公式を決めよう。「頂点が 軸上にあって・・・」と書かれているので、使う公式は、 頂点が関係してそう？と思ったら、こちらの公式を使用すれば良い。 STEP 1 公式…

2次方程式と判別式

みなさんこんにちは！ 今回の問題は、判別式を使った問題です！ そもそも判別式って何？仕組みがわからない。 って方は、↓こちらをチェックしましょう！ smohisano.hatenablog.jp ではいきましょう！ 【問題】方程式 が実数解を持つとき、 の範囲を求めよ。 Point 「実数解を持つとき」を、言い換えて判別式が使えるようにする。 【解説】STEP 0 「実数解をもつ」について整理する。「実数解をもつ」「実数解を 1 コもつ」または「実数解を 2 コもつ」と言い換えて整理すると、 「実数解を 1 コもつ」判別式「実数解を 2 コもつ」判別式 STEP 1 判別式 を計算しよう また…

グラフと判別式

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、 グラフにおける 軸との交点の個数を、判別式で判別する問題です。 グラフにおける 軸との交点の個数？ 判別式？ という方は、ぜひ下部の相談フォームからご連絡くださいね！ ではいきましょう！ 【問題】 次関数 のグラフが 軸に接するように、定数 の値を求めよ。 Pointグラフの概形を描いた上で、「グラフが 軸に接する」を言い換える。 【解説】STEP 1 のグラフの概形を描こう。 頂点はわからないが、図のように、 軸に接するグラフが描ければ良い STEP 2 「 軸に接するを言い換える」「 軸に接する」 軸との交点が コ のとき実数解が コ より 実数解が …

条件付き確率

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、条件付き確率です！ 条件が付くだけで、一気に難易度が上がりますが、コツを掴めばそこまで難しい問題ではありません。 ではいきましょう！ 【問題】 赤玉 個、白玉 個が入っている袋から、玉を 個取り出し、それをもとに戻さないで、続いてもう 個取り出す。 回目に赤玉が出たとき、 回目も赤玉が出る確率を求めよ。 Point これまでの確率との違いを理解しよう これまで：確率 今回：確率 () 条件 問題文の「〜のとき」の部分 (「〜のとき」と書かれていない場合もある) STEP 1 条件を満たすパターン 条件は「 回目に赤玉を取り出す。」なので、 「条件を満たすパタ…

赤玉と青玉の確率

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、袋の中の玉を取り出す確率の問題です。 こちら頻出問題となっておりますので、しっかりと確認しておきましょう！ ではいきましょう！ 【問題】 袋 には赤玉 個と青玉 個、袋 には赤玉 個と青玉 個が入っている。袋 から 個、袋 から 個取り出す。このとき、取り出す玉の色が全て同じである確率を求めよ。 Point 条件の場合分けを考える。 の袋、 の袋から取り出す玉の色が全て赤色の確率 の袋、 の袋から取り出す玉の色が全て青色の確率 と の和が「取り出す玉の色が全て同じである確率」となる！ 【解説】STEP 0 「 の袋、 の袋から取り出す玉の色が全て赤色の確率」…

2 次不等式と2 次関数の関係

みなさんこんにちは！ 今回の問題は、2次不等式に問題です。 2次不等式と2次関数は深く関わっています。 ただの式であっても、グラフをイメージしながら解くことが重要です！ ではいきましょう！ 【問題】全ての実数 に対して、2 次不等式 が成り立つような定数 の範囲を求めよ。 Point「グラフがすべての に対して、 となる」ということを図でイメージする。 判別式 2 次方程式 の判別式をとすると、 実数解は 2 コ 実数解は 1 コ 実数解は 0 コ 判別式の仕組みについては↓こちらを確認してみてください！ smohisano.hatenablog.jp 【解説】STEP 0 図でイメージする例…

三角比を用いて木の高さを測る

みなさんこんにちは！ 本日の問題は三角比の応用問題です。 問題を見るだけだと何をすれば良いのかわかりませんが、実際に図にしてみると、 何をすればいいのかが少しずつ見えてきますよ！ ではいきましょう！ 【問題】目の高さが の人が、平地に立っている木の高さを知るために、木の前方の地点 から測った木の頂点の仰角が 、 から木に向かって 近づいた地点 から測った仰角が であった。木の高さを求めよ。 【解説】STEP 0 図を描こう。 目の高さの は図から省いています。 STEP 1 三角比で表そう。 において において STEP 2 ①、②を用いて、 を求めよう ①, ②より STEP 3 目の高さを…

命題の基本

みなさんこんにちは！ 本日は、命題の基本知識を解説していきます。 命題の問題は、バリエーションが豊富で対策しにくく、演習を重ねるしかありません。 ただ演習を重ねるだけではなく、 命題の基本的な知識を踏まえた上で演習を重ねると理解しやすいでしょう。 今回の基本知識は必ず押さえた上で、問題演習をしましょう！ 命題とは？ 命題の基本構造 真の命題と偽の命題 真の命題 偽の命題 逆・裏・対偶 十分条件と必要条件 十分条件 必要条件 おわりに 命題とは？ 命題とは、 正しいか正しくないかが、はっきりしている式や文章のこと。 例） ① 富士山は大きい 富士山が大きいかどうかは、人によって感覚が違うので、「…

円に内接する四角形

みなさんこんにちは！ 本日の問題は、円に内接する四角形についての問題です。 円に内接する四角形にはある性質があります。 その性質が立式のヒントになるので、しっかりと押さえておきましょう！ ではいきましょう！ 【問題】 円に内接する四角形 がある。 , , , のとき の値を求めよ 四角形 の面積を求めよ。 Point 円に内接する四角形 は、向かい合う角度の和が よって、 () 図は正確でなくていいが、ある程度の直線の長さ関係が図示できると、より効果的！ 解説 STEP 1 とそれぞれに余弦定理 において ① において (※)より ② STEP 2 連立方程式 \begin{cases}BD^…