リーマンのゼータ関数

リーマンはオイラーのゼータ関数のsがオイラーのときは実数で定義していたものを複素数にまで拡張しました。そしてゼータ関数の零点を2、3求めてみました。すると非自明な零点のsの実部がすべて1/2になっているのに気がつきました。リーマンはゼータ関数の零点sの実部はすべて1/2になる、すなわち零点sは複素平面上で1/2＋itの直線上に並ぶだろうという予想をたてました。これがリーマン予想です。そしてリトルウッドによってゼータ関数の零点は無限の存在するという証明がなされました。いまコンピュータで10兆個もの零点sが求められるましたが、実部はすべて1/2でした。不思議ですね。なぜ1/2なんですか。証明は160年間なされていません。リーマンのゼータ関数

ゼータ関数とオイラー積

ゼータ関数は、オイラー積は、オイラー積のpは素数です。オイラーは上にあげたゼータ関数とオイラーが作ったオイラー積が等しいことを発見しました。すなわち素数で作った式が自然数で作った式に変換されたのです。そしてオイラーはゼータ関数のsが2のときゼータ関数はに収束することを発見したのです。 ゼータ関数とオイラー積

素数

リーマン予想を記述するならまずは素数だということで今回のタイトルは素数です。リーマンは1859年に発表した論文『与えられた数宇より小さい素数の個数について』のなかでリーマン予想を発表しています。素数はご存じのように1より大きい自然数で、正の約数が1と自分自身のみのものです。ちなみに100までの素数は2357111317192329313741434753596167717379838997です。わたしはこれをエラトステネスの篩でもとめました。大規模な素数を求めるにも基本このエラトステネスの篩のアルゴリズムで求めているらしい。わたしは自分のPCで与えられた数よりも小さい素数を求めるプログラムを作って求めてみました。10万まではなんとか動くのですがそれ以上は資源不足でハングします。人間の寿命は100歳までとして素数...素数