失敗は成功の．．．

高校生のとき失敗が続いて落ち込んでいた僕に，同居していた友人がかけてくれた言葉は「失敗は成功のエジソン」でした． 駄洒落にすらなっておらず，あまりにしょうもない言葉で，かえって元気がでました（笑） 彼はこの数年苦しい道を歩んでいましたが，ようやく光明にたどり着けたようです．それもとびきり明るいやつです．．．．エジソンだけに（類友） おめでとう！失敗は成功の．．．

【1分レシピ】二項係数の漸化式 Part 2

先日の記事では，"乗法公式"を用いて【二項係数の漸化式】を導きました：今回は，同じ恒等式を【組合せ】のアイディアに基づいて導いてみたいと思います： 直感的なので個人的にはお気に入りの証明です． 次回は，「二項展開における係数」という本来の【二項係数】の定義に従って，母関数の考え方で別証明を試みたいと思います！ 注1．【組合せの総数】と【二項係数の関係】(0)nCkは，「異なるn個のものからk個を選ぶ方法の総数」（k-組合せの総数）を表します．(1)(1+X)^nを二項展開した際のX^kの項の係数を「二項係数」と言い，nCkと一致します．(2)したがって，組合せの総数と二項係数を同一視できます． 注2．（再掲）集合の考え方に基づく【組合せ】の定義(3)Sを濃度がn(⋖∞)の集合とします（つまり要素がn個の有限集合...【1分レシピ】二項係数の漸化式Part2

折りと祈り

電車でガタゴト揺られながら，コンビニで売っていた折り紙を折ってみました．子どものときは折り紙が大好きでたくさん遊びましたが，あまりに久しぶりなので何を折ろうとしても手順が不確かです． 手が覚えている通りに任せて折ってみたところ，初めはただの紙風船を折ろうとしていたのに，結局このような羽付きの風船ができあがりました（笑）※最後の数ステップを変えると，良く知られた普通の風船になります． 羽付きの紙風船の折り方を教えて下さったのは，すでに亡くなられた幼稚園のおばあちゃん先生だったのを思い出しました．優しい先生でした． 『川崎ローズ』の亜種（☞注）もなんとか折れました． 童心を思い出して楽しかったです．再びハマりそうな予感．．．！？ 注．先ほど調べて知ったのですが，このバラには『福山ローズ』という名前が与えられているそ...折りと祈り

【1分レシピ】二項係数の漸化式

おはようございます！昨日は【二項係数の漸化式】の証明に挑戦しました．3通りの方法で行ってみましたが，今朝はそのうちの1つをシェアさせていただきたいと思います． さて，ここで「二項係数の漸化式」と呼んでいるのは，次の恒等式のことです：nCkという表記は「異なるn個のものからk個を選ぶ方法の総数」を表します（☞注）．nCkは，(1+x)^nを二項展開したときのx^nの項の係数（二項係数）と一致するので同一視できます． 今回は次の"乗法公式”を用いて証明しましょう： 証明は次の通りとなります： 実は電車にガタゴト揺られながら証明していたのですが，夢中になりすぎていたあまり乗り過ごし，昨日は目的地までの終電を逃してしまいました（苦笑）皆さま良い一日を． 注．Sを濃度がn(<∞)の集合とします．組合せ論では，Sの部分集合...【1分レシピ】二項係数の漸化式

【動画化】 運転免許の試験に物理の問題！？

先日の記事で，僕が自動車運転免許の学科試験を受けたときに出遭った問題をご紹介しました．せっかくスライドを作ったので，少し整えて"むかしばなし風"（？）の動画にしてみました．主人公の「おじいさん」というのは，僕のことです（笑）：※字幕も利用できます．画面が小さくて見づらい場合は，次のワイド版をお試しください：先日晴れて優良運転者になったので，見出し画像をゴールドにしてみました♪【動画化】運転免許の試験に物理の問題！？

フルーツ・ツリー🥑🍌🍇🍎🥝

皆さんはふだん絵文字を使われますか？近年【Unicode絵文字】がますます充実し，さまざまな場面・環境で絵文字を使えるようになってきました．日本発祥の絵文字文化がいまや世界中でEmojiとして親しみ使われているというのは，なんだか面白いです．※皆さんのお手元のブラウザでも今，👍（いいね）や🍎（リンゴ）といった絵文字を表示できていますでしょうか❓ さて，僕は果物の絵文字を使う機会が時々あるのですが，「へえ，こんな絵文字もあるのか！」と驚くことが多い一方で，「この果物もあればなあ．．．」と不足を感じてしまうこともあります．そこで先日，Unicodeで用意されている果物の絵文字一覧を調べてみたのです．想像はしていましたが，【Emoji化】されている果物の種類に大きく偏りがありました．（そしてこれは少し意外だったのです...フルーツ・ツリー🥑🍌🍇🍎🥝

運転免許の試験に力学が．．．！？

親戚が自動車の教習所に通っていると聞いて，自分が学科試験を受けたときのことを思い出しました． 次のような問題に遭遇したのを覚えています．【問題】※文が正しいか否かを答える問題です．言い回しなどは違ったかもしれません． 運転技能とあまり関係なさそうな問題だったので，「衝撃」を受けました（笑） 【衝撃力】という言葉は自動車免許の教本にも載っていたのですが，おそらく力学でいう【力積】（☞撃力）のことではないかと思います． たしか大急ぎで，次のように力学の知識を思い出して試算しました：式(3)から，(a)「60km/hで壁に衝突して静止した」場合と(b)「ビルの5階から落下した」場合について，力積が等しくなるというのは，要するに衝突直前の速度v_0が等しいということだと判ります．ケース(a)およびケース(b)のそれぞれ...運転免許の試験に力学が．．．！？

「π = 3 だとどうなる？」

円周率はπ=3.141592...から始まって無限に数字が続く無理数です．しかし僕が小学生のときには，π=3.14と近似して図形の面積などを求めていました．本当は違うものをπ=3.14だとして計算しているので，ときには不都合なことが起きそうなものです． 以前塾でアルバイトしていたとき，生徒さん方に度々次のような論理パズルを出題していました（☞注1）． 【問題】いま「π=3である」と仮定します．一辺の長さが1の正六角形と半径1の円の周の長さをそれぞれL1，L2とするとき，下記の二人の主張で正しいのはどちらでしょうか？ きちんと「問い」と「答え」になっているか少し心配ですが，この問題に関する一つの事実を次の動画でご紹介しました： 2002年ごろ，「『ゆとり教育』の一環として，小学校での算数教育において円周率の値を3...「π=3だとどうなる？」

【1分レシピ】 解の公式

「解の公式」と呼ばれるものには色々ありますが，その中でも多くの方にとって最初に（そしてひょっとすると最後に？）出逢うのが【2次方程式の解の公式】なのではないかと思います． 一般にxの2次方程式は，定数a(≠0),b,cを用いて次のように表すことができます： このような方程式を解きたいとき，解の公式はとても頼りになります（☞注1）： 色々な方法で証明することができますが，今回は【平方完成】によって導いてみました： 最初に4aを掛け算しているのは，後の式変形でa^2の根号（ルート）を外すというステップが現れるのをあらかじめ防ぐためです．つまり厄介な議論を回避するのが主な目的です（☞注2）． 1分間で間に合ったようです．3次や4次の方程式の解の公式を果たして1分間で証明することは可能なのでしょうか．．．？僕では公式を...【1分レシピ】解の公式

チェスパズルの数学

本日の数理パズルは，チェスの「ナイト（騎士）」が主役です． 【ルール1】ナイトというのは，将棋でいう「桂馬」のような動き方を四方に対して行うことができる駒です．【ルール2】同じマスに複数の駒が存在することはできないものとします． 【問題】上記のルール1および2を満たしながら，盤上の配置を次に示す(a)の状態から，(b)の状態に移動させることは可能でしょうか？ 判りましたでしょうか．．．？  実はどんなに頑張っても，状態(a)から状態(b)に配置を変換することは決してできないのです．でも，どうしてでしょうか？ 次のようにして不可能であることを，数学的に証明できます：※今のところ，この動画のシリーズを視聴してくださる方のおよそ半数が英語話者なので，スライドのみ英語にて作成してみています．字幕（日本語・英語）を利用で...チェスパズルの数学

レオくんは誰でしょうか？

先日，「友人関係」を表すダイヤグラムの例として，次の図を描きました．登場人物たちは実在する人々をイメージしたのですが，わかってくださる方が地球上のどこかにはいらっしゃるのでしょうか．．．？レオくんは誰でしょうか？

【1分レシピ】 タンジェントの加法定理

先の記事において【タンジェント（tan）の加法定理】を用いましたので，あわせて証明を紹介します． 今回は，サイン（sin）およびコサイン（cos）の加法定理は既知としましょう（※こちらも面白いので別の記事にて改めて証明やその周辺を紹介したい所存です）． 次のようにして，素朴に導くことができます： 【余談】三角関数には複数の定義の仕方があり，それぞれで定義域が異なります．sin(・)とcos(・)の加法定理を前提として用いれば，特に定義域を気にすることなくtan(・)の加法定理を導出できるという点で上記の証明の方針は優れているように思います．一方，定義域を制限して(0,π/2)とすれば（i.e.直角三角形を用いた定義），幾何的でもっと直感に訴えかけるような証明ができそうな気がします🤔もし面白い証明方法をご存知の方...【1分レシピ】タンジェントの加法定理

京都大学「tan(1°) は有理数か？」

本日の数理パズルは，京都大学の入試問題から．稀に見る問題文の短さから，受験業界では非常に有名な過去問なのだそうです． 【問題】tan(1°)は有理数か？ シンプルですが面白い問題ですよね．僕の解答案は次の通りです：※今のところ，この動画のシリーズを視聴してくださる方のおよそ半数が英語話者なので，スライドのみ英語にて作成してみています．字幕（日本語・英語）を利用できます．動画内で用いた記法やロジックについて，必要あれば注1，2を参照ください． 動画内では，【タンジェントの加法定理】を用いて，【背理法】によって示しました．タンジェントの加法定理は，次式で表されます：※先日証明したので，別記事にて簡単に紹介したい所存です． また類題として「cos(1°)，sin(1°)は有理数か？」が素朴に思いつきます．cosとsi...京都大学「tan(1°)は有理数か？」

でも可愛いので着ています

一部の界隈で話題になっているTシャツを，少し前にネットショップで購入しました．衝動的に黒と紺の2色も買ってしまったのですが，デザインがとても気に入っています： しかし，届いたものを手に取って眺めてみると2つほど【違和感】に気づきました．．．みなさんもお気づきになられたでしょうか？ そうです．y=sin(x)のグラフの位相がπだけずれているのです😨そしてy=log_a(x)のグラフに至っては，なぜか逆関数（y=a^x:0<a<1）を示しています．買うときには気づかなかったなあ（笑）でも，それも含めて数学好きの方との話の種になるので良いかな，と思っています．でも可愛いので着ています

若者ことば「神〇〇」

いわゆるマスメディアを全く観ないこともあって世情に疎く，幼いときから流行りには感冒くらいしか付いていけたことがありません．ですから，同年代の方々が流行り言葉を使っていても，頭にクエスチョンマーク（？）が浮かぶことがしばしばです． 近年，「神〇〇」や「まじで神！」などという言い回しをよく耳にしますが，とにかく違和感がすごいです（笑）ずいぶん安い「神」だなあ．．． この手の言葉ではじめて耳にしたのは【神対応】でした．思いがけない語彙の組合せだったので，度肝を抜かれました．脳裏に過ぎったのは集合論でいうところの「対応」．僕のなかではこんなイメージです（笑）：定義「fが神対応である」※どうしようもないダジャレによるお目汚し，たいへん失礼したしました． よい一日を． 数学ランキング若者ことば「神〇〇」

「張られた面積はいかほど？」

おはようございます！本日もパズルを紹介します． 【問題】次の平行四辺形の面積はいくつでしょうか？ この問題も以前，塾でアルバイトしていたとき生徒さんにQUIZ（小テスト）として出題していたものです． たとえば，次のような等積変形を考えることで算出できます：※今のところ，この動画のシリーズを視聴してくださる方のおよそ半数が英語話者なので，スライドのみ英語にて作成してみています．字幕（日本語・英語）を利用できます． もともとは高校生のとき，2次の行列式の幾何的な意味を考えている中で思いついた解法です．画期的なアイディアだとは思いませんが，一つの素朴なイメージとして個人的には気に入っています． 3次の行列式も同様に6つの直方体の体積を足し引きすることによって，（3本のベクトルによって空間上に張られる）平行六面体の符号...「張られた面積はいかほど？」

【1分レシピ】 底の変換公式

公式を覚えるのが苦手です．いまは思い出せなくても公式集やインターネットなどでさっと調べてしまえば問題ないかと開き直ってしまっています．しかし大学入試の勉強をしているときは，そういうわけにもいきませんでした． 語呂で覚えるのも楽しいのでよく試みていましたが，本質的ではないですし，いざというときに忘れてしまうことももちろんあります．そのため，試験中に公式を脳内ですばやく導出できるように，当時は寝床で練習したりしていました． 最近，ふと中学や高校で習った公式をすぐに証明できるだろうかと不安になったので，ときどき挑戦してみています．次はなんとか思い出せた例です（※動画は清書しなおしたものです）． ■対数の【底の変換公式】： 数学ランキング【1分レシピ】底の変換公式

美味しかったです

雑学コラムなどで頻繁に目にするテーマとして「消費期限と賞味期限は何が違う？」というものが挙げられると思います．端的に記すと，【消費期限】とは「その食品を安全に食べることができる期限」，一方【賞味期限】とは「その食品を品質を損なうことなく食べられる期限」を指します．生ものなど傷みやすい食べ物は消費期限が記されていることが多く，期限を過ぎて食べた場合に衛生上の危害が及ぶ恐れがあります． ふつう消費期限を過ぎたら，その瞬間から食べられなくなるわけではありません．もう少しの間は安全に食べることができるだろうと思われます．というのも，保管条件の違いなどによって生じうる食品の衛生状態のブレを考慮し，安全に食べられる基準期間に安全係数を掛け算した値を消費期限として表示するからです（☞注）．僕は美味しいものを後に取っておく性格...美味しかったです

「これ展開できる？」

早速ですが，数学パズルです． かっこ（）を外して，xについて式を整理していきたいと思います．次のような感じです：「一般」の場合について考えたくなりますね．．． 【問題】次を展開するとどうなるでしょうか？ 少し前，戯れにyoutube動画にしてみましたので，良かったら答え合わせしてみてください： 正解できましたか？添え字記法の素朴ながらも確かな効能を実感できる，楽しい例なのではないかと思います．以前，塾でアルバイトをしていたとき，よく生徒さんたちに出題していました．ひょっとすると類題をご存知だったでしょうか？僕自身もこのパズル，というかトリックをこれまでの長くない人生のなかで何度も友人や先生から出題されたことがあります．よく知られた問題なのではないかと推察しますが，一体いつ誰が考案したものなのでしょうか．．．？ ...「これ展開できる？」

Hello, world!

Thisisatestentry.  /  これはテスト投稿です． カレーが好きな理系の学徒です．思い付きで今更ながらブログをしてみます．Hello,world!