2024東大数学（理科） in Yoshida's Math World

ちょっといきった名前のYouTubeライブをやりました． 2024東大数学（理科） in Yoshida's Math World 6問すべてについて，普通じゃない（？）解説をしました． 考えている時点から，個人的にはむっちゃ面白い内容でした． 考えているとネタが溢れ出してきて止まらず，眠れないくらい． やっぱり数学は楽しい！！！こういう感覚は久しぶりでした． 注）教育的な観点は無です！ただ私が楽しい． 実際のライブでは，ちょっと予習不足でミスったところはありましたが，まあまあかなと思います．久々に本気で数学を話しました．アーカイブがアップロードされております．1時間45分くらいあるのでなかな…

How to Solve 東大数学 2/25

2/25（日） 東大の数学の試験本番が始まる14時から 渋谷で東大数学イベントを行います（高1，2）． How to Solve 東大数学 私，吉田が主催 【言語としての数学】とは何かをお伝えし， 東大数学の過去問を一緒に解きながら， 東大数学の土俵への立ち方をレクチャーしたいと思っています． 参加無料！ぜひお越しください． 3月3日（日）は、水道橋で東大祭り！ 最新東大入試をみんなで解き、その感触が残っているうちに解説講義を実施。更に2/25（日）には、本家東大入試の数学開始時刻に合わせて渋谷でイベント「How to Solve 東大数学」を実施。どちらも参加無料！東大を志すなら参加して損な…

X

Xのロゴっぽいものを表す方程式． （もう少し縦長の方がそれっぽいか・・・） 7𝑦+8𝑥 + 9𝑦+8𝑥 -16=0 …①と (𝑦-𝑥)²+( 2 𝑥 -1 + 2 𝑥 -16 -15)²=0 …②の和集合．①が平行四辺形部分．②は線分のところで，2乗の和が0という式だから， 𝑦-𝑥=0 …③と 2 𝑥 -1 + 2 𝑥 -16 -15=0 …④の共通部分． ④は， 1/2≦ 𝑥 ≦8を表す．なぜなら， 2 𝑥 -1 + 2 𝑥 -16 が・ 𝑥 <1/2のとき -(2 𝑥 -1)-(2 𝑥 -16)=17-4 𝑥 >15・1/2≦ 𝑥 ≦8のとき (2 𝑥 -1)-(2 𝑥 -16)=15…

不等式の解の話の「最終回」

数学における認知の個人差・多様性というものについて考えました．真実は1つですが，それにみんなが到達しているのではなく，その途中にあるのだと思います．『2次不等式x^2-3x+2<0を解くと1<x<2』の 1<x<2…①にどんな意味を与えていますか？ 1．そう答えるもの2．元の式の数xは①を満たす3．xに代入して元の式を成り立たせる数は，①を満たす数4．{x 1<x<2}の略記，開区間(1,2)5．適宜選択 「数学の認知は，けっこう個人差・多様性があるのではないか？」と思いました． この中で一番真実に近いのは，4です．それは間違いありませんが，学習段階などにより，この認知であるからアホだ，とか言…

不等式の解の話の続き・・・

これの続きです ⇓ yoshidanobuo.hateblo.jp 「条件と範囲」 𝑙𝑜𝑔(𝑥-1)+𝑙𝑜𝑔(3-𝑥)の真数条件について，まず考えてみます． 『𝑙𝑜𝑔(𝑥-1)+𝑙𝑜𝑔(3-𝑥)が定義されるような実数𝑥の条件（𝑙𝑜𝑔を用いずに）』であれば，「𝑥>1かつ𝑥<3」でも「1<𝑥<3」でも良いように思います．「𝑥>1かつ𝑥<3」⇔「1<𝑥<3」で，前者が後者の定義に当たるとも言えます． では，『…𝑥の範囲』だったら，どうでしょう？私だったら「1<𝑥<3」と答えます． 範囲としての「1<𝑥<3」は{𝑥 1<𝑥<3}を表すもの．開区間(1,3)のことです． ・上記の定義により，(1,∞)∩…

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最近，Twitterをやるようになりました． 『【2次不等式の基本的な計算問題】「1<x<2」が正解のときに「1<xかつx<2」と答えたら3点満点の何点？』 というお題でアンケートされている方がいました． 難しい質問だなぁ，と思いました． 1 ≦𝑥⁴＜16の解を「1≦ x ＜2」と書いてしまう私ですが，Twitterに自分が書いたことによると「-2＜x≦-1, 1≦x＜2」じゃないと解とは言えないことになります． 範囲を明示した条件のみが，「その条件を満たすxの集まり」と書くことの代用品と認められているからです． ちなみに，いまの書き方での「，」は，「条件-2＜x≦-1または1≦x＜2を満たす…

「標本平均」と「その標本での平均」の違いが分かりにくい

「標本平均」と「その標本での平均」 標本平均は，標本を作るという試行において，各事象（標本）に，その標本での平均値を対応させる確率変数． 実際に作ると，「その標本での平均」という標本平均の実現値が得られる． サイコロを投げる試行で，出目は確率変数．本当に投げて出る目は，実現値． — 吉田信夫(お茶ゼミルータス・数学科、【大学への数学】などで執筆してます) (@Nobuo183052) 2023年8月15日 「確率変数」は「確率分布」を考える対象であるが，「確率変数」を構成するには，「確率」が必要で，そのためには「事象」が必要で，そもそも「試行」を定めないと，始まらない．その感覚がないと，この違…

二項定理によらない 𝑙𝑖𝑚(𝑛→∞)𝑛/2ⁿ

「二項定理」と言ってくれない人と一緒に・・・やっていたら導けた😆 何が面白いかと言うと，この方法と置き換えを経由して lim(x→∞)logx/x=0も導けるということです！つまり，xより発散速度が本質的に遅いもの（√xなど）によるlogxの評価が絶対に必要，というわけではない！この素晴らしさ，共感いただけますかね？？

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1²+2²+3²+4²+5²

図にしてみただけです．大したネタでなくて，すみません．

方程式を如何にとらえるか

先日の中1の授業での板書．xが1と等しい，のではない！ xに1を代入したときのみ，正しい式になる，ということ． 変な式になるだけで，1以外も代入できるのである． しかし，ある方程式の解である数は，ちゃんと値が確定し，存在している．「方程式(条件)」と「解が満たす関係式(命題)」は，明確に区別する．移項という操作しかやらないことが，マニュアル数学の始まりだろうと思います． 「等しいものに同じものを加えても，等しい」 「等しいものに等しいものを加えても，等しい」などを公理としてきちんと構成していくことは，中1でも可能なのですね． 「等しい」と「同じ」が同じではないことも，大事なところです．【問．3…

「すべて」「任意」「ある」による混乱について ➤お茶ゼミ√＋のTwitter連動企画

➤こたえはこちらへ https://twitter.com/ochazemi/status/1634522193261625344?cxt=HHwWgIDQrcrR_q4tAAAA ➤こたえはこちらへ https://twitter.com/ochazemi/status/1635904530016763906?cxt=HHwWhIDQ4ZWg87MtAAAA 「すべて」「任意」「ある」は問題をややこしくする定番ですが，作る側が混乱していることもあります． 入試問題でも模試の問題でも，けっこう雑な問題文が多いのですよね． 第1弾は分かりにくさの実感，第2弾は問題文を変えてみよう，です． ※弊社…

ちょっとした問題

これだけ見ても，何をやりたいのかは分かりにくいですが・・・ あることを考えていて現れました．授業中にここまでやれたら良かったのですけれど，晩御飯を食べているときに思いつきましたw

2023共通テスト・数学・追試についての考察

「共通テスト数学の平均点を予想する公式」を編み出しております．それによると， IA＝41.2～44.2 ⅡB＝53.5～56.8となりました．大きく外れることはないと思います． ※詳細はインスタを見てください． https://www.instagram.com/p/CoSPd44pJdl/ 本試験よりも少し低くなるのは毎年のことです．では，追試の中身はどうだったのでしょう？ 結論から言うと，問題の質は，本試験とは大きく違っています！！私のイメージする共通テストを具現化したようなもので，共通テストが，どんどん私の本に近づいてきています（笑） 「意味」がキーワードとなりそうです． ＝ⅠA＝ 第1…

【ピーマン分類法】 2023共通テストより

【ピーマン分類法】 共通テストで目を引いた【ピーマン分類法】．統計は，もうすぐ必須になるにも関わらず，多くの先生方が学習を避けている分野です．拙著などどうですか？ ☟ 本当は，それよりもこっちの方が断然オススメです． ☟ ピーマンを通じて，統計を少し身近に感じてもらいたく，解説してみようと思います． 大量のピーマンがあります．重さの平均は30.0g，標準偏差は3.6です．これらのイメージは，正規分布に従っていると仮定すれば 全体の68％が30-3.6～30+3.6に含まれる を主要イメージとして， 全体の38％が30-1.8～30+1.8に含まれる 全体の95％が30-7.2～30+7.2に含…

共通テスト数学・出題ミス？

「2023共通テスト 数学ⅡB」の問題で，少し考察． もしや，出題ミス！？ 第1問[2]の一部です． ＊＊＊＊ log_2(3)が有理数であると仮定すると，log_2(3)>0であるので，二つの自然数p,qを用いてlog_2(3)=p/qと表すことができる．このとき，(1)によりlog_2(3)=p/qは『ニ』と変形できる．いま2は偶数であり3は奇数であるので，「ニ」を満たす自然数p,qは存在しない． したがって，log_2(3)は無理数であることがわかる． 『ニ』の解答群 ⓪ p^2=3q^2 ① q^2=p^3 ② 2^q=3^p ③ p^3=2q^3 ④ p^2=q^3 ⑤ 2^p=3^…

新刊のご紹介

2/14発売予定の新刊がAmazonで予約可能になっていました． いつも以上に編集者と議論が白熱した力作でなかなかの出来と思います！ 数学Ⅲの関数・極限・微分・積分について，私の持ちネタを隠すことなく書く機会に恵まれました． 計算重視というイメージを覆したいという思いを込めています． 一番最後に書いている「積分定数」のところだけでも読んでもらいたいほどです． よろしくお願いします．

「-1≦x≦1⇔x＝sinθ（0≦θ＜2π）」なのか？

こんな質問がありました．合わせて，色んな問題で「解」というものを考えるけれど，それって正確にはどういう意味？と． 何となくで数学をやっていると気にも留めないですが，ちゃんと知ろうとしたら躓くところです．だって，高校数学のブラックボックスに近い部分ですから． ※文字ばかりで読みにくいですが，お許しを． テキトーにAmazonのリンクを貼っておくので，お買い物したくなったらそちらからどうぞwさて，いつも書くことですが・・・ 「条件」は，変数を含む数学的な文や式で，変数に具体的なものを代入するごとに命題になるものです．その際，前提として，代入できるもの全体の集合を決めないといけません．その集合の要素…

三段論法 （A→B かつ A) ならば B

三段論法 （A→B かつ A) ならば Bのことを考えてみます．＊＊＊「2=1ならば3は偶数である」は真．「2=1のとき，1ずつ加えて3=2であり，2が偶数だから，3も偶数である」という論理展開に問題がないから．一方で、「2=1ならば3は奇数である」は真． 「2=1であろうが，そもそも3は奇数である」という論理展開に問題がないから．「2=1」が真であると仮定すると，相反する2つの命題が真になってしまう(この状態を矛盾という)から，「2=1」は偽である．偽であるものが真であることにすると，何でも真になる．恐ろしい・・・これを踏まえて， 三段論法 （A→B かつ A) ならば Bは数学の論証におけ…

大学への数学・11月号に記事が載ります

10/20発売の「大学への数学・11月号」に私の書いた記事が載ります． いまやっている「超越数学ラボ＠お茶ゼミ√+渋谷校」の講座内容を紹介するものです． yoshidanobuo.hateblo.jp 本試の記事では宣伝色はNGなので，画期的なことかなと思っています． カオス力学系，有理数無理数の話，集合の濃度，カントールの対角線論法，すべての有理数が現れる数列の話，などを書きました． 無理数と無理数の間には必ず有理数も無理数も存在します．そんなことを証明したりしています．高校範囲？適度に誘導をすれば，高校生でも考えられます．そういうところを突いていく講座としてやっていて，京大の特色入試に近い…

(3の3乗)+(4の3乗)+(5の3乗)=(6の3乗)

もしも，「(3の3乗)+(4の3乗)+(5の3乗)が3乗数であることを示せ」のような問題だった場合，(3の3乗)+(4の3乗)+(5の3乗)の概算によって，何を3乗した数と一致するのかを考えることになります．そこで，(3の3乗)+(4の3乗)+(5の3乗)を評価してみよう，となるわけです．（1の位の数を見たら分かる，というのは言わない！） 相加相乗平均の不等式（AM-GM）は，個数が増えても使えるのでした．ここでは3個バージョン． コーシーシュワルツの不等式（C-H）は，ベクトルの内積が (大きさ)×(大きさ)×(なす角の余弦) であることを利用しているのでした．これも，何次元でも使えます．こ…

「解」という，高校数学においてあいまいな言葉について

手書きですみません． 常にここまで考えて話したり書いたりはしていませんが，いざとなったらここまでやりたい，というものです．丁寧にやると，中高生の納得度は高いと思います．（計算が苦手な生徒でも，哲学的な話だから，意外と食いつきが良かったり）

東大京大 超越数学ラボ

こんなのやっています． www.ochazemi.co.jp 大学数学ではなくて，大学入試範囲で思考できる楽しいテーマをやっています．入試数学で使う手法でけっこうすごいことができてしまうのですよね．視野を広げつつ，道具を精密に使えるようにする感じです． ・カオス力学系 ・テーラー展開 ・三角関数のn倍角 などをやってきました．こうやってテーマだけ書くと陳腐な感じに見えますね笑実際はかなり面白いと思うのですけど・・・・eとπの話 ・素数の話 などが続きます．

前記事を認めると，「√4＝±2」なのか？

前の記事の続きです． ±は罪深い表記だと，改めて思いました． 「実数xについての方程式x^2＝1」とは， 「実数xを変数とする条件x^2＝1」のことで，その解とは， 「変数xに代入して得られる命題が“真”になるもの」のこと．ただし，「解をすべて求めること」つまり，「条件x^2＝1の真理集合を決定すること」を「方程式を解く」と言い，解全体の集合のことも「解」と呼びます． ※「方程式x^2=を解け」は， 「xにどんな実数を代入したら真になるかを考えよ」という意味で， 「xが1であるか―1である」と言っているわけではありません！そう見るのは，未知数としてのxであり，いまは，変数としてのxです．詳しく…

「 x ＝±x」は常に成り立つ！？

👇この主張以外の受け付けない，という趣旨ではなく，±を雑に扱うと危険である，というのが趣旨です．言い切る口調で書きますが，広い心で読んでください． ＊＊＊＊ 「 x って何？」と聞いたら「±x」と返ってくることがあります．関数としての x を扱っていてグラフを考えていたら，y＝ x とy＝±xは別の曲線を描きます． でも，ちょっと考えると・・・ ①方程式 x ＝2を解くのに ±x＝2 ∴x＝±2 ②不等式 x ＞2を解くのに ±x＞2 ∴x＞2,-x＞2 つまり x＜-2,2＜x ③不等式 x ＜2を解くのに ±x＜2 ∴x＜2,-x＜2 つまり -2＜x＜-2 となるわけです．何にも問題ない…

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もうすぐ発売になる「大学への数学 2022年3月号」に私の記事が載っています． 昨年度入試の，灘中，灘高，神戸女学院中の問題を紹介しています．高校生向けの「大学への数学」に中学，高校入試問題のことを書くというのは違和感があると思います．しかし，道具の少ない状況で問題解決することが求められるので，年を重ねるごとに解くのが難しくなってきます．●●算のような問題は，上位校では皆無ですからね．共通テストでは公立高校の生徒が圧倒的に不利で，こういう問題を通じて思考する（手段を選ばず問題解決する）経験をしている生徒が圧倒的に有利です．それなしで共通テスト高得点を狙うなら，予備校講師が授業で扱いそうなすべて…

2022共通テスト・追試 数学ⅠA，数学ⅡBについての雑感

【共通テスト・追試の数学】問題がなかなか見れないという人も居ますが，こちらにありました． ありがとうございます． ⇓ www.minyu-net.com 【ⅡB】ⅡBはすごく良いと思う！ 細かいツッコミどころはあるけれど，かなり定性的になっていると思います． 「ポアソン分布！？」と思った統計も，知識を問うものではなく，意味理解が」問われている． お花のような空間図形のベクトルは，図形が見えていなくても解ける．最後の結果はちょっと意外だし，意味理解が問われているし，悪くないのかな． 本試と同じくらいの感じかなと思いました． やはり，IIBの平均点が低いのは，良くないと思う！ あれができないのは，…

2022年・灘中・1日目・算数［9］

なかなか面白い問題です．√3を使うと簡単に分かりますが・・・ 【解1】 ABとCDを延長して，交点Eをとると，角DAE＝30°だから，二等辺三角形DAEができる．三角定規形だから，BE=10,CE=5√3AE=9で，AM=9/2三角定規形だから，AD=3√3よって，DE=3√3で， CD=5√3-3√3=2√3 よって，CDはDAの 2/3倍 ■√3を使わずにやりたい！比だけでいけるか？ADとBCも延長して“相似”をたくさん作ることもできます（ぜひ，やってみてください）が，ここでは違う方法．でっかい正三角形を作ると，Dが重心になっている！【解2】 AEが1辺の正三角形を図のように作る．Dは中線…

「条件付き確率」を直感で説明される気持ち悪さを解消したい！

1組のトランプから一枚抜き出して袋に入れます。その後に残りから三枚抜き出してマークを見ると、すべてでした。この状況下で、一枚目のマークがである確率はいくらでしょう？最初に取り出す段階では、1/4の確率で。あとの三枚がすべては、なかなか起きないことですが、一枚目がだったらさらに起こりにくくなりますね。レアなことが起こったという事実があるなら、一枚目がである可能性は低い気がしませんか？そういうのを考えるのが条件付き確率。「時間を逆転させて、先に三枚ですべてのときに、次に一枚抜き出したのがの確率」を考えても同じこと(ほんと？)で、残数の比率から10/49。納得できますか？それを詳しく分析しました(写…

分数関数の最大値と言えば・・・

授業しているとき，生徒の言うがままに解き進めていくと，写真の問題に行き着いた． 3x/(2+x^2)の最大値は？ 高2，文理両方の生徒が居る．理系は数Ⅲ既習で，数Ⅲで何でもやれるという万能感に浸る時期． 「文系がいるけども・・・」 と数Ⅲでやるかどうか．このクラスは 「微分だね」 だけで笑いをとれるのが楽．そう言うだけ言って，計算は止めた． ［数Ⅲ微分］ y=3x/(2+x^2)商の微分を避けて敢えて分母を払って y(2+x^2)=3x両辺をxで微分すると y'(2+x^2)+y(2x)=3∴y'=(3-2xy)/(2+x^2) =(6-3x^2)/(2+x^2)^2だから，x=√2，-√2で…

マニア向け！立方体の方程式

x ≦1かつ y ≦1かつ z ≦1 と書けば立方体を表すわけですが，ぜんぜん楽しくないですね．例えば， x-1 + x+1 =2 ……① は，-1≦x≦1を表す（後述）のですから，これを利用してしまえばよいのです． { x-1 + x+1 -2}^2+{ y-1 + y+1 -2}^2+{ z-1 + z+1 -2}^2=0 は立方体です．なぜなら，0以上の3数の和が0なのだから，すべて0となり， x-1 + x+1 =2 かつ y-1 + y+1 =2 かつ z-1 + z+1 =2 ∴ -1≦x≦1 かつ -1≦y≦1 かつ -1≦z≦1 を表しているからです． ＜①の補足＞ …

ラーンズの“共通テスト数学対策「重要問題演習」”

共通テスト数学対策「重要問題演習」。多くの学校で採用いただき、感謝です。 かなりバージョンアップしまして、定性的な見方もより身に付くようになっていると思います。 これが、受験数学を通じて身に付けてもらいたい「生きていくための力」だと考えています。 どうぞご贔屓に。その他、最近の写真たち。●凸不等式のマニアックな応用● ●収束の収束乗を「極限値の極限値乗」とできない例（0の0乗でないもの）●

【統計】のオススメ書籍

この本，高校数学で統計を教えるための基礎固めとして，とても良いです！ （有名な東大の本や私の本よりも断然よいです！） 知りたい証明や有用な例題がテンコ盛りです．ちゃんと「数学」なのが良いと思います．例えば，連続型確率分布での「和の期待値」の法則を，離散型と同様，でごまかすことなく積分で説明するのは，案外，難しいんですよね．独立でないと，「畳み込み」にならないし・・・ 独立な3つの確率変数X，Y，Zの積の分散を求める公式を「作る」ことはできますか？（覚える必要はない！）そういう数学的な楽しみを統計でも味わえると思います．その後に私の本を読んでもらえると，私の理論解説の拙さが明確になります．でも，…

x=1は「xが1である」ということなのか？

場合によりますが，「xに1を代入したときにのみ真になる条件だ」という意味であって「xが1である」という主張ではないと考えることもできます．詳しく書いてみます（長い・・・）． xについての2次方程式x^2+x-2=0を解くと x^2+x-2=0 (x-1)(x+2)=0 x=1,-2となります． 「xは1か-2なんですよね？」 そう生徒に聞かれたら，何と答えますか？ これが実話で，この文章のモチベーションです．かなり難しいと思います．実は中1に言われて，何と説明して良いか，けっこう大変でした・・・結論は，「違うよ」です．「未知数」と「変数」の違いと言えるのかも知れません． ここでも大事になるのは…

andでつなぐもの ～「数」と「条件」と「集合」と～

数学における「and」には，2種類の訳「と」と「かつ」があります．x＝1,2の“，”は「and」ですが，これは 「xとして適するのは1と2である」なんでしょうか？それとも， 「x＝1かつx＝2である」なんでしょうか？文脈的には前者なのですが，そのように空気を読まないといけない（生徒に読ませないといけない）のでしょうか？ 1．数をつなぐand＝「と」 「1 and 2」は1と2の併記である．例えば， A＝{1，2}において，「集合Aの要素は1と2である」となる．こういうとき，数の間には“，”を打つ．「Aの要素は「1と2」である（1 and 2）」となる．これが「x＝1,2」における“，”が「an…

-12の1の位の数は？ -1.2の小数第一位の数は？

【-12の1の位の数は？】 【-1.2の小数第一位の数は？】 ① 2である ② －2である ③ 8である ④ 定義されない たぶん，このどれかです． どれなんでしょう？ こんなことばかり考えています． 「生徒を混乱させてしまうだけ！」と不快に思われる方もいらっしゃるかも知れませんが，「あなたが混乱するだけでしょ？」と私は思うことにしています（ゴメンナサイ） 混乱こそが，想像力と創造力を育むはずだ！ 正直，私は分かっていません． 私の予想（可能性の大小）： ④＞③＝①＞＞② 何か進展があったら，続きを書こうと思います． ご期待ください． ≪≪≪以下，参考まで≫≫≫ まず， 24＝23.9999・…

【大学への数学・10月号】に記事が載っています

👆これが載っているので，よければご覧ください．二項係数を通じての東大と灘中のマリアージュです（笑） 誌面の都合でカットした部分を以下に紹介しますので，合わせてどうぞ． 雑誌はこちらからどうぞ． 👇

【確率に関する妄想】 サイコロの7の目が・・・の確率

「だって，7の目は無いじゃん」を認めたら楽になりますよ，という話です．（真面目な補足も最後に追記しておきます） 『1～6までの目が等確率で出るサイコロを振るとき，7の目が出る確率は？ ① 0 ② 定義されないどっち派ですか？』 数学の先生の多くの方は，①派でした．（私は②なんですけど・・・） 私は，「出目が7である確率」なら，0と迷わず答えます．存在する「出目」というものが，7という数に「ならない」，だから何も問題ない． でも・・・ 存在しない「7の目」が主語になると？？「目」に対してあり得そうな動詞「出る」「出ない」が付くと，「7の目が出ない」が必ず「起こる」気がして，余事象を考えても，何も…

正三角形くらい1つの式で表せてこそ，大人です（笑）

※修正版です． もっとシンプルにしたいのですけど，なかなか・・・ これを考えていて，今日のある予定に遅刻した（笑） まず分母は，単位円の外（x^2+y^2＞1）に図が来ないようにするためのものです．外では 0＜1/(x^2+y^2)＜1 ∴ [1/(x^2+y^2)]=0 です．これを分母に書けば，x^2+y^2＞1で分母が0になって，そこではこの式が定義されません． ということで，正解は①か③です． ①と③の違いは，x-1なのか-(x-1)なのかです． 分子は，積が0であるとはどういうことかを考えると分かります． A×B＝0 は A＝0またはB＝0 で，図形としては，A＝0とB＝0の和集合で…

1＋2＝3が分かっていない高校生

こう書くと，勉強ができない高校生を上から目線で論じていくのかな，と思われるかも知れません．そういうのではなく，とってもよくできる高校生でも，1＋2＝3が含む色んな解釈を考えたことが無い，という話です． 高校生に話したこと． 「1＋2と3は等しい」という文章を式で書いたものですが，「1足す2は3」と読んでしまうから，視野が狭くなってしまうのかも知れません． ① ● ●● を集めると ●●●② ●●● を分けると ● ●● これらは，1も2も3も単なる数字と見て計算結果を述べているものです．このイメージだけで止まっていたら，数学の意味が分からなくなってしまうのだと思います．何となくで問題は解けても…

「または」も色々

※ [ ]はガウス記号（中に書かれた実数の整数部分） （1）nが偶数のとき，n-2[n/2]=0だから，x+y=1nが奇数のとき，n-2[n/2]=1だから，x^2+y^2=1 表し得る図形は，円x^2+y^2=1と直線x+y=1です．場合により，「直線または円」です．文字定数nの偶奇により，「場合分け」されます． （2）積が0になるのがどういうときかを考えます．(x+y-1)(x^2+y^2-1)=0は，条件としては x+y=1またはx^2+y^2=1です．図形としては・・・「円または直線」でしょうか？ 点(x,y)が，直線上にある，または，円周上にある ですが，図形が「直線または円」ではな…

久しぶりにこんな美しい関係を発見できた❤

多項式の割り算と，接線の方程式と，数列の和が複雑に絡み合った，面白い関係です． マニア向け（笑） なんと！！ y=x^nの接線の方程式を利用して，等差×等比の和が求まるとは

有理数と無理数の配置イメージ

「有理数」と「有理数」の和は，必ず「有理数」「有理数」と“無理数”の和は，必ず“無理数” しかし， “無理数”と“無理数”の和は，「有理数」であることも“無理数”であることも． 数直線上にある「有理数」と“無理数”．いずれも無数に存在するけれど，「有理数」は「順に数えることが可能な無限個」しかなく，“無理数”は“どうやっても順に数えられないくらい濃い無限個”もある．「有理数」を「黒」，“無理数”を“赤”で描くと，数直線は真っ赤になるけれど，実は，無数の黒が点在している．濃度の比は0：∞． 詳細は，「集合の濃度」というもの．次の拙著でも扱っているので，もしご存じでなく，興味があれば，どうぞ． そ…

似て非なる問題，真の姿は？

置き換えたら2次式になるタイプだ．範囲をしっかり考えよ！置き換えたものが2次方程式でも2次関数でも，ほとんど同じだ！ ってやってしまうのですけど・・・ むっちゃ細かく見たら，ぜんぜん違う問題なのではないか？※こうやって解くべきだ，と言いたいのではないです！ ➤字が小さくてスミマセン．写真の画質も・・・ 方程式（つまり条件の処理）では，全体集合の置き換えとしてtの範囲を考えている． （未知数tに関する「数値としての大小関係」とも見れますが，それなら「範囲」という言葉を使わない方が良いです）tを求めた後に，元の未知数を求める必要あり．関数では，定義域の置き換えとしてtの範囲を考えている．tの関数と…

新時代の数学の解法

統計が必須になる時代． 数表と仲良くなっておくことは大事ではないかと思います． また，GIGAスクール構想で1人1台端末． 問題解決にしっかり使えるように，思考してもらいたいなと思います． そんな時代になっても， 「両辺を2乗すると・・・」 という解法だけで良いのでしょうか？ ということで， 【解】 まず，アイ/ウにおいて分母の方が大きくなることはないから，アは「-」である． 鋭角の三角比では，和を0.5にできない．θは鈍角である． そこで，表で，sinθ-cosθ≒0.5となる角度を探すと sinθ cosθ 65° 0.9063 0.4226 66° 0.9135 0.4067 ➤180か…

4次元って見えますか？ －クラインの壺を描く－

クラインの壺ってご存じでしょうか？ 時間を自由に行き来できる「輪っか」を，あなたは持っているとします．その輪っか（円）を過去に向かって投げてみます．その円はブーメランのように旋回して，過去から現在に戻ってきます．投げ出したところで円をキャッチします．（円は時々で適当に大きさが変化していると考えてください）ただし，戻ってくるとき，円は，“投げ出し”たときの円の内側から返ってきたことにしましょう． その間に，円が通ったところを全部集めて図にしたものが，「クラインの壺」です！ クラインの壷は、“中”に戻ってきたのを，スタートの円とくっ付けたもの．（もし円が“外”から戻ってきたとしたら，単なるトーラス…

こういう問題，苦手ーー

甲陽学院中学の算数の入試問題です．（イラストはイメージです．「いらすとや」さんのイラストがかわいい（笑）） 文字をたくさん使って強引にやれば良い！と思っても，そう簡単にはいかない！ 条件の1つが不等式というのが厄介です． つまり，文字で置いても，値を特定することはできない！ 設定の特殊性に注目して，「求めよ」と言われているものを「求める」ことに集中しないといけないのです． 中学や高校の数学の先生は，けっこう苦手なのではないかな，と思って紹介してみました． 【文字で置きまくって解く】A，B，Cの今の1日の仕事量をそれぞれA，B，Cと表すことにする．全体の仕事量をXとおく．条件より 20(A＋0.…

「一般項」って，なんやねん！？

教科書の漸化式に関する部分に，次のような記述があります． 【漸化式がa_(n+1)=a_n+(nの式)の形のとき，階差数列を利用する方法で，一般項が求められることがある．】 何とも意味深な書き方です． 求められることがある． では，求められないこともあるのか？ここだけを読んで考えてもよく分かりません．関連する部分を調べてみましょう． 一般項の説明は，次のようになっています． ●一般項の定義●a_n=2n-1のように数列{a_n}の第n項a_nがnの式で表されるとき，これを数列{a_n}の一般項という．一般項が与えらられると，nに1,2,3,……を代入することにより，その数列の各項を求めることが…

「 ，」の乱用が，数学学習者の敵！？

数学の教科書には様々なカンマが登場します． 同じように見えて，異なる意味で使われています．もしかしたら，これが，数学を分かりにくくする原因の1つになっているのかも知れません．数学の先生は，過去の経験をもとに当たり前のようにカンマを使い分けます．授業中には，話の流れがあるから，あまり気にならないでしょうが，復習でノートを見るとき，教科書を見返すとき，・・・カンマの乱用で意味が分からなくなってしまう可能性があると思います．このような経験の積み重ねが，生徒の「よく分かんないから，そういうものだと受け入れようかな」を生み出しているのではないでしょうか？ 数学Iの教科書を調べてみました（一部，例外アリ）…

「そして」は，「かつ」なのか？「または」なのか？

実数xについて [1]x^2＝1を解くと，x＝1とx＝－1 [2]x≧－1とx≦1を満たす条件は－1≦x≦1 [1]は，解の集合{－1，1}において，「要素は1と－1である」と言っています．解xについて x＝－1 または x＝－1が成り立つということです． [2]は，「x≧－1の範囲」と「x≦1の範囲」の両方に含まれるxを考えています． x≧－1 かつ x≦1です． x≧－1 または x≦1 は，「xは実数」という条件になりますね． 「と」つまり「そして」は，付加を表すのですが，[1]は集合に要素を付加している感じ，[2]は条件を付加していっている感じです． x=1とx=2とx=3と・・・ ☞…

空集合 ∅ に関する考察

※本稿は，高校数学における空集合の扱いについて考察するものです． 公理的集合論については，考えません！ n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)が常に意味をなすためには，要素の個数が0である集合が必要になる．そうして定義された空集合は，あらゆる集合の部分集合である．一般にA∩B⊂Aであるから，A∩B＝∅ であるようなBを考えることで ∅ ⊂Aとなるのである． では，Aに含まれる空集合と，Bに含まれる空集合は，同じなのだろうか？空集合は1つしかないのだろうか？ 結論は 「同じと言えば同じ，違うと言えば違う」 「1つと言えば1つ，色々と言えば色々」 である．少し長くなるが，お付き合い願いたい…

統計講演会のお知らせ！

日本数学検定協会さまからお声かけいただき，7／11（日）のオンライン講演会で話者をさせてもらうことになりました． www.su-gaku.net さて，素人なのに思い切って書いた「統計」の本． この本の存在も，今回のキッカケになりました． 僕のような「数学好きの統計キライ」の方に向けて書いたものですが，この講演はまさにその延長線上． 1時間与えられたので，何を話そうか思案中です． 思い切って「定性的」なネタをたくさん入れようかな，などなど． 高校数学の一部としての統計をどう解釈することが可能であるか，自分なりにしっかり考えてお話しようと思います！

変なグラフ 小数部分 x-[x] によって

なかなか素敵なグラフが描けました． 1つの式なのに2つに分岐して，それぞれが反比例のグラフ上にあります． 詳細は後ほど． その前に簡単に基本の確認から． まず，ガウス記号[ ] 実数xに対して， [x]＝(x以下の最大の整数) と定め，xの整数部分と呼びます． [3]=3 整数の整数部分は，その整数そのもの [π]=3 3.14……の整数部分は3 [-1.3]＝？ [-1.3]を-1と思ってしまうかも知れませんが，x以下の最大の整数なので [-1.3]＝-2 です． -1.3=-2+0.7 と考えるのです． y=[x]のグラフが，青い階段． では，赤いグラフは？ これが小数部分を表しています．…

「漸近線」の限界に漸近してみる

漸近線とは？ Wikipediaには 解析幾何学において、平面曲線の漸近線（ぜんきんせん、英: asymptote）とは、十分遠くで曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と接しない直線のことである。通常の定義では、漸近線は曲線と無限回交わってもよい。 漸近線は存在するとは限らず、また複数存在する場合もある。漸近線を見出すことは、曲線の概形をつかむ一助となる。 特に、座標平面における関数に対しては、そのグラフの漸近線の方程式は（存在の可否も含めて）求め方が確立されている。関数のグラフの接線の極限が存在するならばそれは漸近線に等しい。 代数幾何学などでは、漸近線は無限遠点のみで曲線と接する直線と定…

2次方程式の解の公式を，3次方程式で使ったら・・・？

色んな発想する人が居ますよね．例えば・・・ 3次方程式 x^3-7x+6=0 の解は (x-1)(x-2)(x+3)=0 と因数分解することで x=1,2,-3 と求まるのですが・・・ x*x^2-7x+6=0 と見て，2次方程式の解の公式を使ったらどうなりますか？ という質問をされました（最初は何を言っているのか，わからなったです）． 解の公式らしきものを使ってみると， x=(7±√(49-24x))/2x です． 実際には，平方完成して式変形しているだけなので，ものと方程式の言い換えとして，間違いのないものではあります． 「解の公式」としての使い方であるかと言われたら，「違う・・・」となり…

同一直線上にある条件が，AP＝tABですか？？？

【やはり，⇔は嫌いだ！】 条件と条件を，軽々しく「⇒」や「⇔」でつなぎたくなる人，居ませんか？お願いです． 使う前に，ぜひ，一歩踏みとどまってください． 写真にはあのように書きましたが，本当は，明記された全体集合を優先して，「Pの条件」として捉えます． だから，右側を 「AP＝tAB」を満たす実数tが存在する に変更するのが正しいです． 「AP＝tAB」という式だけでは無意味で，“を満たす実数tが存在する”を書かないと，「Pに関する条件」ではないですから！！！こういうところで手を抜いてしまうのは，誤った理解を招いたり，「何となくで受け入れよ」と強要することになったりで，細かいことをちゃんとやる…

p=a+td は，「ベクトル方程式」なのか？

「方程式」と「媒介変数表示」と「ベクトル方程式」 図形を等式で表すとき，言葉がけっこう錯綜します． グラフとは…関数y=f(x)に対して定義されるもので，点集合{(p,q) q=f(p)}のこと 図形の方程式とは…図形を点集合{(p,q) p,qに関する条件…(*)}と表すとき，(*)を座標軸の文字x,yを用いた式に直したもの 2次関数y=x^2のグラフを，「放物線y=x^2」とも言い，y=x^2をこの放物線の方程式とも言う．もはやイミフメイ（笑）y=x^2という式には，少なくとも3つの側面があるようです． ちなみに，円の方程式：x^2+y^2=1は，1つの式でy=f(x)の形には書けません．…

【増刷！】「ほぼ計算不要の思考力・判断力・表現力トレーニング 数学IA」

【増刷！】 みなさまのおかげで、拙著「ほぼ計算不要の思考力・判断力・表現力トレーニング 数学IA」が増刷になります！ありがとうございます 三刷だと思います 授業のネタにしていただいているという先生の話を聞いたり、 正規の教材として学校採用していただいたと聞いたりしていると、 僕の手から離れて少しずつ数学教育に貢献してくれていると感じて、 嬉しくなります 《本シリーズの活用法》 ・先生方には、授業や問題作成のネタに。 ・トップレベル進学校には、長期休暇の課題に。 ・進学校には、基本をやった後の深め学習の教材に。 数学II編もヨロシクお願いします BとIIIも初稿はできました！ 新課程との絡みで、…

円周率は3.15よりも大きいのか？

今回は小ネタです．数値に対する感覚は，今後の共通テストでも問われるでしょうし，世の中に出てからも役に立つ感覚になると思います．数字のマジックに騙されないようにしましょう！ ところでご存じですか？三角比の表のsin 1゜の欄には，0. 0175とあります．これを利用して，円周率πについて考えることにします． 頂角が2゜の二等辺三角形の底辺と，中心角が2゜の扇形の弧を比較すると， 弧の方が長いから 2π×2/360＞2sin 1゜ π＞180sin 1゜ =180×0. 0175 =3. 15 ということが導けてしまいます！！画期的です（笑）さて，ネタばらし．三角比の表のsin 1゜の欄にある0.…

問題文によっては，想定外の解答を認めざるを得なくなる件

今回も重箱の隅をつついていきます（笑）もはやライフワークですね．さて，ほぼ同じ問題を4つ挙げています．いずれも，a=-1を答えるのがベストですが，a=1,-3という“誤答とされるもの”が正答と見なされ得るものがあります．良ければちょっと考えてみてください． とでは、1行目の「～とする」の部分が違います．これは，どういう意味なんでしょう？また，とでは、最後が「条件を求めよ」と「値を求めよ」の違いがあります．これは，どういう意味なんでしょう？ 例えば，a=-1という式．値の表示と見るか，条件と見るかで，意味が変わります．値を表すものとしては，「aは-1だ」と主張していることになります．条件を表すも…

数学Ⅲ・極限の論証について

この答案，どのように思われますか？ 満点をあげますか？ それとも，どこかに良くないところがありますか？あるとしたら，①～⑦のうちのどこでしょうか？＊＊＊＊＊＊＊＊実は，⑤がダメなんですが，理由は分かるでしょうか？また，どうすれば認められる答案になるでしょうか？例えば，数列{a_n}が a_(2m-1)=π，a_(2m)=0 (m=1,2,3,・・・)で定義されているとしましょう．すると， lim(n→∞)a_n は存在しないですが， sin(a_n)=0 (n=1,2,3,・・・) ∴ lim(n→∞)sin(a_n)=0です． ④は問題ないですが，ここから⑤，つまり， {a_n}は収束し，そ…

【入試問題紹介】 出題者の意図は，いったい・・・

【入試問題紹介】出題者の意図は，いったい・・・ 2021年の某大学の入試問題です． 問題文が分かりにくかった，と受験した生徒（合格！）に言われました．集合を使って書いたり，論理構造を問うようにすると，混乱してしまう人がかなり多くなると思います． この問題で問いたいのは，読解力？👉それなら，（2）はいらない！ （1）はどういう方針を想定している？👉①「T∩(β，∞)に最小元があるから，それを用いてγを構成できる」を認めて良いか？➤それなら，（2）は「（1）と同様」でOKに・・・．②上記①での最小元の存在をキッチリ証明させたいのか？➤それはかなり難しい・・・③背理法（存在しないなら，矛盾）とやらせ…

2021年 東大・理「4」（3）の“a-bが偶数”は不要

こんな問題でしたね． ＊＊＊＊＊ 以下の問いに答えよ。 (1) 正の奇数 K,L と正の整数 A,B が KA=LB を満たしているとする。 K を 4 で割った余りが L を 4 で割った余りと等しいならば、 A を 4 で割った余りは B を 4 で割った余りと等しいことを示せ。 (2) 正の整数 a,b が a>b を満たしているとする。このとき、 A=(4a+1)C(4b+1), B=aCb に対して KA=LB となるような正の奇 数 K,L が存在することを示せ。 (3) a,b は(2)の通りとし、さらに a−b が 2 で割り切れるとする。 (4a+1)C(4b+1) を 4 …

場合分けって，色々ないですか？

「場合分け」のこと，実はあんまり分かっていないかも知れません．2つの場合分け，区別できていますか？ 問．aを実数の定数とする．2次関数 f(x)＝x^2－2ax の 0≦x≦1 における最小値を求めよ． 解．f(x)＝(x－a)^2－a^2 だから・0≦a≦1 のとき，最小値はf(a)で，－a^2・a＜0 のとき，最小値はf(0)で，0・1≦a のとき，最小値はf(1)で，－2a＋1 これで終わり． 文字定数 a の値によって最小値の 答えが変わるときに， 「分類」して答える というのが，ここでの場合分け．答えが何種類あるかを分類して，どういう a のときにどの答えになるか，整理するのです． …

脱！解法主義 ～大学入学共通テストからのメッセージ～

普通は，平方完成して最大値を求め，因数分解して2次方程式を解くのですけど・・・共通テストでは，数字が大きくなってしまうのが厄介なんですよね． 定石的で汎用性の高い解法は，いつでもどこでも使えるけれど，個別の問題において最適な解法とは限らないんです．困ったときは定石に頼ろう，というくらいのスタンスがちょうど良い． この問題だったら？ 中学で習った2乗に比例する関数のグラフと合同なんだから，グラフはとってもわかりやすいものです． この性質を使わない手はない！＊＊＊＊ y=x(560-x)-70000 だから，y=-70000となるのがx=0,560で，ちょうどその真ん中に軸があります．最大値をとる…

置換積分の真の姿は，区分求積で見えてくる？

置換積分って，合成関数の微分を利用して公式を作って，それ以降は機械的に計算するだけのものになっていませんか？そんな方には次の写真を送ります． 区分求積が定積分（面積）の定義だと思っていませんか？実はそうではないのです．本当は，リーマン和というものを使っています．面積を求めたいxの範囲を等間隔に区切らなくても，区間の幅の最大値が0に収束するような分け方をしておくと，どんなリーマン和も区分求積と同じ極限値に収束するということ（言葉の使い方が不正確だと思いますが，お許しを）． 区分求積は，リーマン和の特殊な形の1つ，ということ．区間[0，1]を [0/n，1/n]∪[1/n，2/n]∪‥‥∪[(n-…

どう解く？共通テスト・第2日程 数学Ⅰ・A How to Solve IA

1／31に行われた大学入学共通テスト・数学ⅠAです．中間発表での平均点が35点！驚きです．そんなに難しいのでしょうか？僕は47点くらいになると予想していて，第1日程の55．6点（中間発表）よりは低くなりそうと思っていましたが，ここまでとは．・確率の計算処理量・整数，図形の後半の難度のため，満点を取りにくいようには思いますが，普通にやっても50点をとることは難しくないです． 本稿では普通ではなく，定性的なアプローチで可能な限り計算せず，ズルく解く方法を書いてみようと思います．もっと楽な方法があると思うので，引き続き考えてみようと思います．みなさまも，ぜひ！ では，できれば問題を解いてから，お手元…

楕円と直線の2交点をつなぐ線分の中点の軌跡（円の場合との比較）

楕円のことを，円を使って考えたい．誰もが考えることですが，1次変換が高校数学にない今，何かよい考え方はないものか？と考えたわけです． 【円と直線の2交点をつなぐ線分の中点の軌跡① ～直線が平行に動くとき～】 円の中心と線分の中点をつなぐ直線が不変（弦の二等分線が中心を通るから）この直線のうち，円の内部に入るところが軌跡．接するときの接点2つをつなぐ線分（両端を除く）と見ても良い． 【円と直線の2交点をつなぐ線分の中点の軌跡② ～直線が定点を通るとき～】 弦の二等分線が中心を通るから，円の中心と定点をつなぐと，直角三角形．円の中心と定点をつなぐ線分が直径の両端になる円のうち，元の円の内部に入ると…

高校生や大人にも解いてもらいたい！ 面白い図形問題 ＠2021関西の中学入試算数

【東大実績を伸ばし続ける「西大和学園」】図において，角BAC=90°,AB=ACである．角ACD=30°,角ABD=15°のとき，ACとCDの長さの比を最も簡単な整数比で表せ． ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝答えは「1：1」と分かるのですけど・・・導くのが難しかった．＜大人のごり押し解法①＞ →西大和の中3に見せたら，「こんなことやるヤツは居ない」と言われる（笑）＜大人のごり押し解法②＞ →15°のサイン，コサイン，タンジェントを求めるときに使う方法の応用． できれば三平方の定理を使わずにやりたい・・・＜これと同じ図形だから，これだ①＞ →あの形を知っていて、その形と一致す…

大学入学共通テスト・思考ベースでの詳解 ＝＝＝数学Ⅱ・B＝＝＝

※問題はお手元にあるという想定です！ 『総評と凡例』 高度な知識があれば一瞬で解ける問題が多い（第1問〔1〕，〔2〕，第2問，第5問）→知識で解く方針での指導に偏らないように注意したい！選択式の問題が多く，計算量が恐ろしく少ない→グラフや大小関係を選ばせるなど，定性的な数学の要素が強い知識・技能は，ストレートに問われる形式が多い一方，典型解法で解く問題は非常に少ない．→基本知識を自由自在に活用できることが重視されていることは間違いない！知識技能で半分くらいの配点，加えて選択式の問題が多いため，平均点は高くなると思われる． “ ” ＝思考・判断力【 】＝確定ポイント定性的数学度： ☆☆☆☆☆＝定…

大学入学共通テスト・思考ベースでの詳解 ＝＝＝数学Ⅰ・A＝＝＝

※問題はお手元にあるという想定です！『総評と凡例』 計算の負担は軽減，読解の負担増，出題の意図を読み取って“論点を絞り込む”ことが重要．会話は，“無条件で使ってよい情報の提供”“重要なヒントの提示”にのみ使われ，「議論を深める」系は無かった．知識・技能は，ストレートに問われる形式が多い． “”＝思考・判断力【】＝確定ポイント定性的数学度： ☆☆☆☆☆＝定量的に解くだけの数学らしい問題 ★☆☆☆☆＝計算ベースの旧来型の問題 ★★☆☆☆＝旧来型より思考要素が強い問題 ★★★☆☆＝計算要素が少なく，共通テストらしい問題 ★★★★☆＝ほぼ計算ゼロで，共通テストらしい問題 ★★★★★＝計算ゼロで，もはや…

2021年・灘中学の算数 ＝2日目＝

灘中の算数、二日目。 http://www.yotsuyaotsuka.com/kaitou-sokuhou/pdf/2021_nada_math_2_q.pdf 問題は四谷大塚さんのところにありました．しかし，難しいですよ．“さんずい”に“むずかしい”で“灘”ですからね．難し過ぎて涙を流すくらいだ，という意味かも知れません． ［1］ 文字式を使わずに僕は解けません(笑) 領域を書いて、考えるものをkとおいて、共有点（ただし、格子点に限定）が存在する条件を考えましょう(笑)本当は，できるだけ多くXを入れて考えるのだと思います． ［2］ mod 2のパスカルの三角形（東大やん！？）。右下が全部偶…

2021年・灘中学の算数 ＝1日目＝

やっと灘中一日目の算数を解き終えた。 やはり計算ミスしてしまう 方程式で解けるのが多いのが最近多いような気がします。僕にはありがたい(笑) 【3】【5】【6】【7】【8】【9】はそのまま大学入試になりそうです。 【6】は面白いけれど、灘中受験生は勘で当てそう。 【7】は正当率低そう。 【9】【11】は図形での比の性質を理解できているかが問われる良問と思いました。 【12】は87年東大文系の角を削った立体。

この式，何を表しているでしょう？

左辺はすべて同じです． 右辺の数値がちょっと変わると，図形はどう変わる？ かなり大胆に変化します（笑） これらが何であるか，定性的にとらえてパッと分かれば，プロですね． グラフ描画ソフトを使って書かせても面白いです！なぜその図になるかを考えるのも楽しいし，勉強になるかも．答えはまた後日．

正六角形は1つの式で表せるの？

こんなことを考えていても役に立たないと思っていましたが，授業中の話の流れで高校1年生に発表することになりました（笑）やってて良かった．ということで，ブログでもご紹介．かなり定性的なアプローチですので，想像力をもって読んでもらえたらと思います． さて，あれで正六角形だと言われても，何が何だか分からないですよね．作成の流れを紹介します． まず，もとになる考え方は，正方形の方程式 x + y =1 これが正方形になる理由は次のように分割して考えたら分かります． ・x≧0,y≧0においては，x+y=1・x≧0,y≦0においては，x-y=1・x≦0,y≧0においては，-x+y=1・x≦0,y≦0におい…

続）和を求めずに，和を求める

2回連続で，禅問答のようなタイトル（笑）求める和も同じです．違うのは，漸化式． a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき，a_nは等差数列×等比数列なので， ①等差数列で割ったら，等比数列 ②等比数列で割ったら，等差数列 です． ①からは，数列{a_n/n}が公比3の等比数列で a_(n+1)/(n+1)＝3×a_n/n が得られて，{a_n}の漸化式にすると a_(n+1)＝3(n+1)×a_n/n です．これはこれとして面白いですが，今回は②で頑張ります． 数列{a_n/3^(n-1)}が公差1の等差数列で a_(n+1)/3^n＝a_n/3^(n-1)+1 が得られて…

和を求めずに，和を求める

禅問答のようなタイトル（笑）等差数列×等比数列のタイプは，和を求める流れが確立されています． a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき， S_n=1*1+2*3+3*3^2+‥‥+n*3^(n-1) 3S_n= 1*3+2*3^2+‥‥+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n で，2式の両辺の差を計算すると -2S_n=1+3+3^2+‥‥+*3^(n-1)-n*3^n = (3^n-1)/2-n*3^n ∴ S_n={(2n-1)3^n+}1/2 でも，メンドクサイ！ そんな人にオススメなのが，「和を求めずに和を求める」方法！ a_(n+1)=(n+1)3^n を代入した…

極方程式のことをよく考えてみよう

極方程式 r=cosθ＋2 は何を表しているでしょうか？単なる x=rcosθ，y=rsinθ というパラメータ表示ですね．極座標のときはr≧0としますが，極方程式のときはr<0も許容します．θに偏角という図形的な意味があるのが面白いのです． θを消去すると，x,yの方程式になります．その際には， r^2=x^2+y^2, x=rcosθ，y=rsinθ を用います． r=cosθ＋2 ……① 今回はr>0なので，①の両辺にrをかけると r^2=rcosθ+2r ∴ x^2+y^2=x+2r ……② です．残ったrを消すには x^2+y^2-x=2r としてから，両辺を二乗して (x^2+y^…

Merry Christmath！ 外接円の対称な複素方程式を贈ります

今日は12／25．世間ではクリスマスですが，私にとってはクリスMATHです（笑）クリスMATHプレゼントを用意していますので，お楽しみに．そうそう，共通テストが近づき，拙著の売れ行きが好調のようです．ありがとうございます．お持ちでない方は，こちらからどうぞ． 👇 👇 数Bはやっと初稿ができて，ここから編集していきます．初年度に間に合わなかった分，実際の共通テストを踏まえて作り直せるので，これまで以上に良いモノを作りたいです！もちろん，共通テスト対策問題集ではないので，「思考・判断・表現力」育成するための問題をたくさん作ります！数Ⅲも作ろうと思うので，気長にお待ちください．さて，最近凝っている外…

外接円の複素方程式 －ベクトルと複素数での図形表示の違い－

(★)は，確かに外接円を表しています． 1）式の形から，円，直線，または，1点，または，∅ 2）z＝α，β，γのとき(★)が成立 の2つから分かります．2）から，1）は円に決まり，3点を通る円は外接円しかないので，(★)は外接円を表す式であるしかありません！ さて，どうやって作ったか，少し説明してみます． まず，ベクトルと複素数の対比から． ベクトルでは，図形的な量は内積を使って捉えます．内積は余弦定理が元になっているので，そこで考える角度には「向き」がありません．角度も長さも面積も，すべて内積で捉えられるのが良いところ． 一方，複素数では，絶対値と偏角で捉えていきます．2つを分断して捉えるこ…

新発見！？ 「“三角形の外接円”のベクトル方程式」を求める公式

公式の発見が止まらないです（笑）この公式を知っていた人も，「知ってたよ」「しょうもな」とか思わないでくださいね．「やっと吉田くんも私のところまで追いついてきたか．でも，まだまだだね」くらいにしておいてください（笑）どうぞ温かい目でご覧ください． 以下の記事の発展です． 👇 円だと分かっているので・・・ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー (★)の雰囲気から，P(x, y)とおいたら A(x^2+y^2)＋Bx+Cy+D=0という形になるはずなので，(★)が表す図形は 円 直線 1点 ∅（空集合）のいずれかです．これが大前提！(★)が外接円…

円だと分かっているので・・・

問 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊1辺の長さが1の正三角形ABCがある．三角形ABCの外接円の周上に点 P をとるとき， AP^2＋BP^2＋CP^2の値を求めよ． ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 頑張って座標を置いて，三角関数の問題にしてみたり，色々と考えられますが，実は，認知の仕方を変えると，一瞬で分かってしまいます．そこで，こんな問題． (★)の左辺は，z＝αのとき， 0 ^2＋ α－β ^2＋ α－γ ^2＝AB^2＋CA^2＝1＋1＝2だから，(★)は A を通ることが分かります．同様に，B，Cを通るこ…

新発見！？ 公式「a cosA / sinA」は何を求めるものでしょう？

先日，ある動画をキッカケに考えていて，こんな公式を作っちゃいました！ どうでしょうか？見たことはありますか？もちろん，2Rを導く正弦定理を途中で使いますが，外接円とは関係ない量です．実は，三角形ABCの垂心をHとすると， AH＝a cosA / sinAとなるのです！！外接円の直径に cosA をかけるだけ．絶対値なのは，鈍角のときにcosAがマイナスになるから．成り立ちを説明してみます．まず，A，Bから対辺に向かって垂線AL，BKを引きます．これらの交点が垂心Hです． 90°が見つかるから，4点C，K，H，Lは同一円周上です．方べきの定理が使えて， AH・AL＝AK・AC ・・・①です．ま…

x=0 ⇔ x=1 ⇔ x>0 ー0は1で，正の数は何でも0なのか？？ー

重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて，頭がおかしい人だと思われそうですが（笑）定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって，感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います．ということで，そんな例を紹介しています． 全体集合をUとして，Uの要素に関する条件pを考えます．条件pの真理集合Pとは P＝{x∈U xはpを満たす} です．真理集合P，Qが等しくなる条件p，qは同値で p⇔q です．P⊂Qのとき，pを満たすxは必ずqを満たすから， p⇒q が成り立ちます． 条件pは，条件qが成り立つための十分条件 条件qは，条件pが成り立つための必要条件 と言います．“条件”について述べています．…

偶数は4の倍数なのか？ ー心情と数学ー

先日の記事 同値記号を使って証明を書く - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー ですが，Facebookで画像とちょっとのコメントだけ公開していました．インスタと同内容です． https://www.instagram.com/p/CIcZkaalsx0/ これに多くの友人がコメントをくださいました．友人というのが躊躇われるくらいのビッグネームの方々ですけれど．そこで思ったことがあります． xは実数とする．x≧3において，x^2-2x-1>0が成り立つことを示せ．という問題で示すべきことは， 命題「x≧3 ならば x^2-2x-1>0」が成り…

アポロニウスの円に反転が隠れている！？

AP＝2BPを満たす点Pの軌跡は円になることが知られており，アポロニウスの円と呼ばれるものの1つです．これを満たす点として，線分ABを2:1に内分する点，外分する点があって，これらを含む円になるはず．しかも，これらが直径の両端になるのでした．（内角・外角の二等分線の性質を使って示すことができます） 方程式の問題，ベクトル方程式の問題，複素方程式の問題，として登場します． 複素方程式 z－α ＝2 z－β から円の複素方程式 z－(中心) ＝(半径) の形を作るには，両辺を二乗して， z ^2＝z×(zの共役複素数)が成り立つことを利用することになります． 敢えてそれをせず，別ルートで攻めてみ…

同値記号を使って証明を書く

以前は同値記号⇔をよく使っていました．学生の頃は一切使っておらずでしたが，この仕事について初めて使うようになりました． 何も考えずに使っている時期もありましたが，よくなかったなぁ，と反省しています．当時は，条件と命題の違いも言語化できていなかったのではないか，と思うほどです．今回は，生徒の答案を見て思ったことをもとに，ちょっと整理しておこうかなと思って書いています． 証明するのは「命題」．「命題」は，真偽が確定するような数学的な文章（意味をなしていないものはダメ）． xは実数とする．x≧3において，x^2－2x－1＞0が成り立つことを示せ． という問題を出されたら，示すのは何でしょう？ 「x^…

いまさらながら，懐かしの“帯分数”について考えた

イギリスの数学問題集を見ていたら・・・ 帯分数って，日本の小学校限定のものだと勝手に思い込んでいました．そうじゃないんですね！？イギリスにもありましたよ．しかも，中学生くらいがやる問題に．日本では，中学で負の数が出てきたり，無理数（円周率とか平方根とか）が出てきたりで，帯分数では考えにくくなるのだろうと思います．これに関連して最近思ったこと．帯分数は，整数部分と小数部分を分けているのではないか？ 2.4＝2＋0.4＝2+2/5=2 2/52.4の整数部分が2で，小数部分が0.4です．そして，0.4=2/5だから， 2 2/5 ↑ ↖小数部分 整数部分 になっているじゃないか！整数部分・小数部分…

2次関数の接線について，ちょっとだけ図形的に

2次関数のグラフCのx座標がa,bである2点A,Bをとります．A,BにおけるCの接線の交点Pは，x座標が(a+b)/2の点であることが知られています（接線の方程式を連立）．ちょうど真ん中で交わります．図の①：①です．また，直線ABと放物線Cで囲まれる部分の面積は，(b-a)^3に比例することが知られています．比例定数は，(x^2の係数の絶対値)÷6です．さらに，Cと上記の2接線で囲まれる部分の面積は，上述の面積のちょうど半分になることも知られています．図で言うと，いずれも「“幅”の3乗に比例」し，「面積比が2⃣：1⃣」であるということになります．A,BにおけるCの接線の交点Pを通り，y軸に平行…

無限にヒヨコが並ぶ領域を1つの方程式でw

方程式1つで領域を表すシリーズも，ここまで来てしまいました（笑） x-1 + x-2 =1が1≦x≦2を表すことは何度も紹介しました．右辺は，2-1の1です．これを応用しまくると， y-f(x) + y-g(x) =f(x)-g(x)に自然に到達しますね（ぼくだけ？）． f(x)≦y≦g(x)という領域を表しております．左辺が0以上の値だから，右辺が0以上になるxのみで定義され，そのような各xに対してyの値の範囲が決まっていくというカラクリです． y-sinx + y-cosx =sinx-cosxでも良かったのですが，ぼくの中でヒヨコは右を向いている感じがしたので， y+sinx +…

16葉の菊っぽい図になる極方程式を作ってみた

極方程式の応用の回の授業． 何だかんだやっているうちに菊の花のようになる極方程式を，生徒と一緒に作ることに（笑） 皇室御用達の16葉の菊紋は，後鳥羽上皇が使い始めたとか． 御番鍛冶といって各月担当の刀鍛冶を選出して，一緒に刀を作っていた後鳥羽上皇は，隠岐に流されても刀を作っていたとか． その刀には，16葉の菊紋が刻まれていて，菊御作と呼ばれています． そんな話をしているうちに，極方程式で菊を作ることに． 後鳥羽上皇をリスペクトです． int(θ/2π)は，ガウス記号で[θ/2π]とも表すもののことで，θ/2πの整数部分． 0≦θ＜2πにおいては int(θ/2π)＝0 ∴ r＝1/5 2π≦θ…

方程式の可能性は，∞

先日，図形としての「100」を1つの方程式で表しました． 👇 100記事目なので，100を表す方程式！ - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー そこで使った考え方を応用したら，1つの方程式でこんな図が描けるのですね． A-1 + A-2 =1 は，何を表すでしょう？ A＝0,1,1.5,3として左辺を計算すると，順に -1 + -2 =3 0 + -1 =1 0.5 + -0.5 =1 2 + 1 =3 です．1になるものがいくつかありますね． 1≦A≦2 のとき， A-1 + A-2 =(1-A)+(A-2)=1 か必ず成り立ち…

100記事目なので，100を表す方程式！

やっと記事数が100になったので，記念に図形としての「100」を式で表してみました（笑） ABC＝0 ⇔ A＝0 または B＝0 または C＝0 で，3つの和集合． それぞれは， x + x-1 =1 ⇔ 0≦x≦1 という性質を応用しています． 1つ目は， A + B =0 ⇔ A＝0 かつ B＝0 で，2つの共通部分． -4≦x≦-3 かつ -2√2≦y≦2√2 で長方形を表していて，これが「1」に見えるのです． 2つ目は，2つの楕円 1≦x^2+y^2/2≦4 の間を表しています．ちょっと説明しておきます． 1≦k≦2を満たすkについて， x^2+y^2/2＝k^2 を満たす(x,y…

面白い図形問題

三角比を使って解いてはみましたが，これでは全然，面白くない！ということで，初等編！ 2つの直角三角形ABEとBCFが合同なので，求める面積は，三角形ABGの面積と等しいです．鋭角の1つが15°で斜辺の長さが6の直角三角形です．これを2つくっつけると・・・ つまり，BGを2倍に延長してHを作ると，三角形ABHは頂角が30°の二等辺三角形で，等辺は6です．HからABに垂線を引くと，その長さは3（1：2：√3から）です． これで面積が分かります． △ABH＝6×3÷2＝9 ∴ 9÷2＝4.5 が四角形CFGEの面積です！ さて，オマケ． ∠HAD＝60°であることから，何が分かるでしょう？ AH＝A…

場合分けして求めるものに関する条件の扱い

「最小値≧6となるaの条件」を考えるのだから，aは“未知数”の扱いで，1),2),3)は“最終的”には『範囲の分割』になります．しかし，最小値を求める段階（xを消去するとき）には，aを“文字定数”として扱い，1),2),3)は“いったん”は『答えの分類』になっています． ※「場合分け」についてはこちらもご覧ください！ 👇 場合分けにも色々とありますね - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー これを1つにまとめて書くと，解答は分かりにくくなるのではないか，という気がしています．そのために，複数種類の「場合分け」つまり，「文字定数による答えの分類…

色んな図形を1つの方程式で表す快感④

また変な式を作ってしまいました（笑）どうやって作ったかをお話します． a＜0においては，2a^2+1 0≦a≦1においては，2a^2+1 - a^2 a＞1においては，2a^2+1 - a^2 + (a-1)^2 となっていることに注目しました． ということで， a＜0においては，0 a≧0においては，1 という関数を作ろうと思いました．ガウス記号を使ってしまおうと最初に思ったので， a＜0において，0以上1未満 a≧0において，1以上2未満 になる関数を作ろうと思いました．そうして考えたのが， 2/(1+e^(-a)) です． これは，人工知能を作るときによく使う“シグモイド関数”の仲間なの…

場合分けにも色々とありますね

「～のとき」と分けて解くことを，何でも「場合分け」と呼んでしまいますが，実は色々ありますよね．その違いを意識していないと，思わぬところでミスをしてしまう可能性があるのではないかと思います．授業していて，「分かっていないのかな？」と思う節があったので，予定を変えて説明したこともあります．その辺をちょっと整理してみようと思っています． 1⃣は，aに色んな値を入れることができるのだから，「無限個の問題を解け」と言われています． a=-2のときの問題： y=x^2+4x+9 (0≦x≦1)の最小値 a=0のときの問題： y=x^2+1 (0≦x≦1)の最小値 a=100のときの問題： y=x^2-20…

色んな図形を1つの方程式で表す快感③

悪ノリが止まりません（笑） y＝x^2 (0＜x≦1) を y-x^2 + x /x-1 + x-1 ＋x-1 ＝0 と表しました．なかなか素敵と自画自賛しています． 👇 色んな図形を1つの方程式で表す快感① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 色んな図形を1つの方程式で表す快感② - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー でも，少し項数が多くて，見栄えが悪いという気がしてきました． そこで考えたのが・・・幅が1の範囲と関連しそうなのは，ガウス記号！ [x]＝（x 以下の最大の整数）…

色んな図形を1つの方程式で表す快感②

私の十八番，悪ノリです． y=x^2（0≦x≦1)を1つの方程式で表そう！ 1）√を利用して y＝x－(√{x(1-x)})^2 →ルートを2乗するとx(1-x)になるので，y=x^2と同じ式． でも，ルートが定義されるxしか考えられないので，0≦x≦1です！ ちょっとズルい？ 2）絶対値を利用して y-x^2 + x -x + x-1 ＋x-1 ＝0 2つ目と3つ目の項では， の中の符号が違います！ a -a=0 ⇔ a≧0 a +a=0 ⇔ a≦0 を使っています． y-x^2＝0 かつ x -x＝0 かつ x-1 ＋x-1＝0 の2つ目から x≧0 ，3つ目から x≦1…

「大学への数学」12月号に記事が掲載されます

今回は，複素数平面で，変換，特に反転などについて書きました． 「極」をキーワードに，いくつかのネタを組み合わせています． お楽しみに． 定期購読されていない方は，ぜひ，こちらから． 👇

色んな図形を1つの方程式で表す快感①

y=x^2（x≧0)を表すのに， 1）「0以上」が定義域・値域になる√を利用して x＝√y 2）「0以上」だけで成り立つ x =xを利用して y-x^2 + x -x ＝0を紹介しました。． 2）では， ≧0だから， y-x^2＝0 かつ x -x＝0 つまり y＝x^2 かつ x ＝x としています．さらに， x ＝xとなる条件が「x≧0」であることを利用して y＝x^2 かつ x≧0 と書き表したのです！カッコイイ！ このように，式の意味に不等式が含まれるようなものがあります！ 平方根 √ や絶対値 以外には・・・ y=x^2（x＞0)を表すのには，対数 log を使い…