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東大合格者数52人、公立高校一位を成し遂げた日比谷高校の卒業生たちが、日比谷高校のディープな実状や、日比谷高校のみならず難関校の入試の攻略法や勉強の要点を紹介します。数学成分多め。
おそらく日本人のほぼすべての人が初めて知る無理数であるπ。これは円周率のことで、円の直径と円周の長さの比を表す値です。 我々は数学の時間に、円や扇形の問題で何度もπを目にします。πの本来の定義からして、幾何学でπを目にするのはある種の必然だと言えるでしょう。しかし今日の数学ではπは幾何学に限らずさまざまな分野で登場し、もはや円に関するものにとどまらないのです。この記事ではその例を見ていきます。 πの現れる公式 こんなところに円周率 πは超越的な存在 πの現れる公式 πの現れる美しい公式はたくさん知られています。いくつか見てみましょう。 これらはほんの一例です。無理数であるπがこのような美しい式…
ミル定数という定数をご存知でしょうか。ミル定数とは、素数と興味深い繋がりがある、とある実数の定数です。1946年にMillsが見つけました。 A=1.3063778838... この2にも満たない値を使って、次のような式を考えます。 ここで、とは、実数xを超えない最大の整数を表します。別の言い方をすれば、整数部分のことです。この記号はガウス記号と呼ばれることがあります。 なんと、この式にn=1,2,3,...と自然数を代入していくと、現れる数が全て素数になります！ n=1のとき、n=2のとき、n=3のとき、n=4のとき、... 全ての素数が順番に出てくるわけではなく、非常に飛び飛びの値をとりま…
問題★ 下の図のような道のある地域で、次のような最短の道順は何通りか。 (1) AからBまで行く道順(2) AからCを通ってBまで行く道順(3) AからCを通らずにBまで行く道順(4) AからCを通ってDを通らずにBまで行く道順 ヒント、着眼点 私立の高校入試でもこういった問題を見かけます。組み合わせの問題として典型的です。 また、こういった最短経路を求める問題は、各分かれ道に順に数字を割り振っていくことで足し算だけで答えを出す方法もあります。 以下、解答 // 解答 (1) 56通り(2) 24通り(3) 32通り(4) 8通り 解説 (1) AからBへ行くには、右へ5回、上へ3回移動するこ…
かつてゆとり教育という政策により、「2002年度実施の小学校学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3と教えることになった」という噂が流れました。これは間違っているのですが、訂正されることなく広まり、大きな反響がありました。子供の計算力の成長の機会を奪うことになるといった学力低下を懸念する声や、円と内接する正六角形の周の長さが同じになってしまうといった批判もありました。ゆとり教育の時期と私の学生時代はかぶっていませんが、中学生の時、この六角形と円が同じ長さになる、という指摘を聞いたときはなるほど、と思いました。 また、この影響を受けたのでしょうが、…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。ついに第3回。 第一回 こちら 第二回 こちら 第三回 この記事 問題 背景 数の性質について、2018年の早稲田大学理系から。 問題 pを素数、a,b,cを整数とする。次を示せ。 (1) ∛pは無理数である。 (2)~(3)省略 (4) a(∛p)2+b∛p+c=0 ならば、a=b=c=0 である。 // 背景 大学では群、環、体という新しい概念を学びます。体論の中にガロア理論と呼ばれるものがあり、これはあの有…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 こちら 第二回 この記事 問題 解答 背景 初回は数列の収束について、1996年の北大理系から。 問題 (1)数学的帰納法により次を示せ。ただし、nは自然数とする。 (2)次の命題は真が偽か。真ならば証明し、偽ならば反例をあげて説明せよ。 ならば数列は収束する。 解答 (1)略解。n=1の場合はすぐ示せる。n=kで成り立つと仮定し、n=k+1にすることで左辺のΣ…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 この記事 第二回 こちら 問題 解答 背景 初回は数Ⅲの演習レベルの問題から。 問題 (1) のとき、を示せ。 (2) のとき、を示せ。 解答 (1) とする。 よりだから、は単調増加する。 さらによりでだから、は単調増加する。 また、よりで したがって (2) (1)と同様。 // 背景 大学数学の微積の範囲で、テイラー展開、マクローリン展開というものを習いま…
あけましておめでとうございます。2021年もどうにかブログを続けようと思います。今年もよろしくお願いします。 2021は43×47と素因数分解できることは有名でしょう。高校入試に出てもおかしくないレベルです。 2021=2025-4=452-22=(45+2)×(45-2)=47×43 さて、2021年最初の遊びとして、2021が入るピタゴラス数を見つける遊びをしてみます。 ピタゴラス数とは、を満たす自然数の組のことを言います。直角三角形の3辺の長さになりますね。 では、この組の3つの数のうちどれか1つが2021になるものを出来るだけたくさん見つけてみましょう。 問題 ピタゴラス数の基本的事項…
数オリの過去問から、お手軽な整数問題を一つ。 問題★★ どの桁も素数であるような自然数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると5桁の良い数になるものを全て求めよ。 ヒント、着眼点 ここでの良い数というのはこの問題だけの呼び方であり、別によく知られている数学の概念ではありません。 考える対象は3桁の良い数。それぞれの桁に自由に素数を入れられるとすると、2,3,5,7のどれかを入れることになります。4×4×4=64通り全て計算してみる、なんて解き方は当然人間にはできません。2乗すると5桁の数になる、という点から候補を絞り込むことを考えてみましょう。 以下、解答 // 解答 235 解説 3…
大学の数学というのは分野が非常に細分化されており、その1つを究めるだけで精一杯、という世界です。その中でも筆者が現在関心のある分野である結び目理論について、中学生でも理解できる言葉だけ（たまに外れるかもしれません）で、その面白さを説明してみようと思います。直観的なことをどう数学として定式化するか、どうやって解析の道具を作り、使うか、といった理論の奥深さも知ってもらいたい、という動機からこのシリーズを始めました。 第1回 結び目理論とは何か（本記事） 第2回 不変量（未投稿） 結び目理論とは何か 結び目が違うことを証明する 結び目理論とは何か まずここで言う結び目とはどういうものを指すかを述べま…
中学2年で連立方程式を習い、そこで割合と絡めた問題として、次のような問題がよく出ます。誰もが何度も目にしたことがあるでしょう。 ある学校の昨年の入学者は男女合わせて500人だった。今年は昨年に比べて、男子が3%減り、女子は2%増えたので、入学者は計495人だった。今年の男子と女子の入学者をそれぞれ求めなさい。 今回はこのタイプの問題を「いかに楽して解くか」について考えたいです。全人類この計算量が多くて面倒な問題で時間を無駄にしていると思いますので。 で、この昨年に比べて何%どうなったから今年はどうでした、というタイプの問題は、「今年の人数が聞かれているけど、昨年の男女をx,yと置いて連立方程式…
ここでは、不定期で僕の出会った難しい英文を紹介していきます。 第1回 英文解釈の難問① 第2回 英文解釈の難問② レベル：難関大で差がつく 次の英文を和訳せよ。 In the West, work is looked on not as something innately good but as a miserable labor divinely imposed on people as a punishment for sin, freedom from which can be won only by faithfully following the teaching of God. …
実数の数直線上にどれくらい有理数が存在するかを考えてみます。言い方を変えれば、有理数はどれくらいぎっしりと詰まっているかを調べてみます。 有理数がぎっしりと詰まっていること、大学以降の数学では有理数の稠密性といいますが、今回はこの性質をいくつかの問題を解きながら体感してみましょう。 アルキメデスの性質 整数部分 有理数に隙間はあるか 発展 アルキメデスの性質 アルキメデスの性質とは、実数の持つ性質の1つを指すものです。文献によってはアルキメデスの原則などと呼ばれることもあります。 物理における浮力の性質を指すものにアルキメデスの原理がありますが、これとは別のものです。 アルキメデスの性質任意の…
今年の東大文系から、場合の数の問題です。 問題★★ 8本の直線x=1,x=2,x=3,x=4,y=1,y=2,y=3,y=4がある。これらの直線の16個の交点から5個を選ぶことを考える。 次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りか。 (1) 上の8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 上の8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ヒント、着眼点 問題文の意味、きちんと理解できていますか？ (1) 8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある。(2) 8本の直線は、いずれも選んだ点を少なくとも1個む。 ここに5個の点を選んだ例を3つ…
大学入試で出る積分の問題は、当たり前ですが高校までの知識で求められる積分しか出ません。今回は大学以上の知識で求められる有名な積分を見てみます。また、高校数学の範囲を超えている部分をうまいこと避けて入試問題が作られる場合がありますから、そのような例も確認します。 これで大学入試対策はばっちり(大嘘) 5位：逆三角関数 4位：ガウス積分 3位：ディリクレ積分 2位：フレネル積分 1位：楕円積分 5位：逆三角関数 原始関数が逆三角関数となるような関数を不定積分する問題は出ません。逆三角関数は高校数学では習いませんから。 逆三角関数というのは三角関数の逆関数です。という関係式について、のとき、1つのに…
今回は、ツイッター社のツイートを利用した英文解釈クイズを用意しました。 [問題] 以下のツイートを正しい日本語に訳せ。*drink お酒を飲む Don't drink and Tweet — Twitter (@Twitter) January 11, 2020 [正解] 飲みながらツイートするな！ （別解：お酒を飲んだらツイートするな！） 「お酒を飲んだり、ツイートしたりするな。」と訳した人はいませんか。それは、"not A and B"を「AもBも～ない」と捉えたことによる誤答です。否定語句"not"と接続詞"and"や"or"の組み合わせは、日本語話者の感覚とズレる箇所があり、誤訳のタネ…
前回はなかなか難しい話題でした。今回は前回より少しとっつきやすい話題、フラクタル図形についていくつか見てみます。後で述べますが、有名なシェルピンスキーのギャスケットと呼ばれる図形は"およそ1.58次元の図形"と言うことが出来ます。そんな話について。 シェルピンスキーのギャスケット フラクタル図形の次元 ハウスドルフ次元 有名なフラクタル図形 フラクタル図形の実用 シェルピンスキーのギャスケット シェルピンスキーのギャスケットは次のようにして構成させる図形です。前回と同じく無限に繰り返して出来たものがシェルピンスキーのギャスケットです。無限に繰り返した図は描けないですが、有限回で止めたものを描く…
前回はそこまででしたが、今回はディリクレの関数のように、本当の意味で病的な話になります。 数学における直線の扱いで「太さ、幅をもたない」という特徴がありますよね。この直線を何回も折り曲げたり曲げたりして出来たものが（幅のある）領域を埋め尽くしてしまう、という奇妙な例の紹介です。空間を埋め尽くす曲線はいくつもありますが、最も有名と思われるヒルベルト曲線について見てみます。 ヒルベルト曲線 全ての点を通ることの証明 ヒルベルト曲線 歴史的に最初に正方形の全ての点を通る曲線（折れ線も曲線とします）を考えたのはペアノです。1890年、ペアノはペアノ曲線と呼ばれる曲線を考えました。 翌年、1891年にヒ…
今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。 簡単？な因数分解 不思議な因数分解 円分多項式 簡単？な因数分解 まずは簡単な因数分解から始めましょう。当然、と因数分解されます。 では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で)因数分解してみましょう。 簡単ですかね？答えはこちら。 まだまだ行きます。 答えはこちら。 では、こちらはどうでしょう。 少し難しいですね、こんな風にできます。 ⑥は、がこれ以上因数分解できないことを確認するのが簡単ではありませんが、ここではそこはよしとします。 さて、ここまで様々なを見てきましたが、次の共通点があるように予想できます。 (a) どれ…
前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。 ディリクレの関数 リーマン積分できないことの証明 区分求積法 リーマン積分できない証明 ルベーグ積分 ディリクレの関数の書き換え ディリクレの関数 そもそも、中学で習った関数の定義は、 xの値を定めるとそれに対応したyがただ一つに定まるとき、yはxの関数であるという でしたね。この定義を守っていれば、次のようなものもれっきとした関数なのです。こちらがディリクレの関数と呼ばれるものです。 実数から好きにxを持ってきて、それが有理数か無理数かによって1か0の数字が対応す…
数Ⅱで初めて微分を習い、数Ⅲでより深く微分を習います。高校数学で見る微分可能な関数は、基本的に何回でも微分できます。 しかし、登場しないだけであって、高校数学の範囲内でも、1回微分可能だが2回微分不可能な関数は作れます。一般に、n回微分可能だがn+1回微分不可能な関数が作れます。 今回は数IIIの最初の方で習う単元と深く関係しています。 だいたい何回でも微分できる 導関数、微分可能性(数Ⅱ、Ⅲ) 導関数の定義(数Ⅱ) 関数の連続性(数Ⅲ) 微分可能性(数Ⅲ) 1回しか微分できない関数 ずるい作り方 最初は微分、連続、微分可能という定義の確認から始まります。面倒なら飛ばしてください。 だいたい何…
歴史的に有名な反例をいくつか見てみましょう。 病的な数学① 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関数 病的な数学④ ディリクレの関数 病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式 病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線 病的な数学⑦ シェルピンスキーのギャスケット 素数を作る式 ワイエルシュトラス関数 素数を作る式 素数というのはやはり数学においてとても重要で、大昔からあまたの数学者が素数の現れる法則を解き明かそうとしてきました。（当然、まだ分かっていません） フェルマー数という、数学者フェルマーが考えた次のようなものがあります。 これが全ての0以上の整数nについて、フェルマー数は素数ではないか？とフ…
数学を勉強するにあたり、反例を考えるということは非常に重要です。反例を見ることで、「できること」と「できないこと」、「成り立つ場合」と「成り立たない場合」の境界がよりはっきりし、より深い理解が得られます。 この病的な数学というシリーズで、面白い、ためになる（とは限らない？）反例を紹介していきます。 実は、数学で「病的な」という言葉はしばしば使われます。直感に反するような、一種の気持ち悪さを感じるような例に対してつけられる修飾語として用いられます。 初回は、簡単な例をいくつか見つつ、数学のセンスを磨くためのヒントを探ります。 病的な数学② 歴史的に有名な反例 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関…
2020年4月11日、自粛要請のため日比谷生の皆さんは家庭で勉強されているかと思います。その息抜きになることを願って、この「10958問題」を紹介します。 問題設定 具体例 10958問題 問題設定 1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字をこの順番で1回ずつ使って、さまざまな数を作れ。 ただし、使ってよい記号は+,-,×,÷,( ),^ のみである。 また、23や567のように、つなげて2桁以上の自然数として扱ってもよい。1の直前-を付けて、-1にしてもよい。 ※ 記号「^」は、累乗を表す記号です。a^bでaのb乗を意味します。 具体例 さて、このルールで0から順番に整数を作ってみましょう。…
2020年4月3日、数学の超難問であった「ABC予想」を証明したとされた論文が、8年に及ぶ査読の末、正しいことが認められました。「フェルマーの最終定理」や「ポアンカレ予想」の証明に並ぶ快挙であると言われています。今回はこのABC予想の内容や、何がすごいのか、という話について。 ABC予想とは ABC予想の主張 ABC予想を証明したIUT理論 ABC予想の何がすごいのか フェルマーの最終定理 ABC予想とは 準備① まず、自然数 に対して、 の互いに異なる素因数の積を の根基 (radical)と呼ぶことにし、 と書くことにします。例を見てみます。（ は を表します。これは主に高校以上で使う記法…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 文系-経済学部はこちら 法学とは？ 憲法 民法 商法 民事訴訟法 刑法 刑事訴訟法 法学部に向いている人 中高のうちからこんなことに気を付けて勉強しよう 今回は、一般に「弁護士を目指す人が入る学部」と認識されている法学部の紹介となります。こちらも普段数学記事を書いているkの同級生から紹介コメントをいただきました。 以下、いただいたコメントです。 // はじめまして！東京大学大学院 法学政治学研究科 法曹養成専攻 2年のそらいとです！今回は、法学部についてご紹介します。 法学とは？ 社会のルールである法を学び、…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 経済学部 文系の学部は非常に多種多様です。 ・経済学部・政治学部・法学部・文学部・商学、経営学部・心理学部・社会学部… 今回もこのブログメイン筆者の元同級生、経済学部出身の日比谷卒業生からコメントをいただきました。 経済学部 経済学部について 政治経済などの分類をする大学もありますが、筆者在学中の大学では特に分類がないため、経済学部一般としてのお話をさせていただきます。なお、大学について深い理解があるわけではないので、参考程度に受け取っていただければと思います。 経済学部で学ぶこと 経済学部ではなにを学んでい…
大学を知ろう！理系編 今回は理学部ついて紹介します。 理学部はおもに ・数学科・物理学科・化学科・生物学科 などがあります。大学によって学科の名称が異なったり、これら以外の学科が設置されていることもあります。 今回は、化学科、生物学科に進んだ同級生から各学科のコメントをいただきました。 物理学科のコメントはまだ交渉中です。 数学科 勉強内容 数学科にむいている人 中高生のうちからこんな勉強をして欲しい 化学科 勉強内容 必要な高校内容の知識 化学科に向いている人 中高生のうちからこんな勉強をしてほしい 生物学科 生物学科にむいている人 中高生のうちからこんな勉強をして欲しい 数学科 大学の数学…
今回の記事は数IIBまでの範囲でぎり理解可能な内容です。できれば数IIIまでの知識を要求します。 今回は複雑な式が多く、すいすい読むのは厳しいかと思われます。ぜひ紙とペンを用意して手を動かしながらお楽しみください。 目的は、 が複素数の範囲内でどう解けるか、そもそも複素数における三角関数とは、を高校生で理解できるように書くことです。毎回「しーた」と打って変換するのが面倒なのでθの代わりにzを使います。 目次 三角関数の定義 複素三角関数 cosz=2を解く 複素対数関数の定義 補足 今回登場した関数 高校数学で登場する三角関数sin, cos は、値域は-1以上1以下です。数IIにおける三角関…
新型コロナウイルスによりいつもより早い春休みに突入した皆様、いかがお過ごしでしょうか。今日はそんな暇な日比谷生やこれから日比谷高校を目指す方へ、大学の勉強はどのようなものかを紹介するシリーズを発信します。この機会に、自分の大学受験、進路について考えてみてはいかがでしょうか。このシリーズが皆さまの進路決めの一助になることを願っています。 もしあなたは理系なら ・理学 ・工学 ・農学部 ・医学部、薬学部、歯学部 ・教育学部 もしあなたは理系なら 理系と一口に言っても、その中身は多種多様です。もし理系の大学生になると決意したならば、たいてい以下の5つの学部のどれかを目指すことになります。 ・理学部・…
前回 【数学小話】3：4：5の直角三角形の鋭角は何度？ 今回は高校生向けです。春休みに早く突入して暇を持て余す高校生は、ぜひ式を一つ一つ追いながらチャレンジしてみてください。 前回は3：4：5の直角三角形の鋭角が(無理数)度であることを示しました。方針としては、(有理数)度であると仮定して背理法で示しました。その証明はおおまかに以下の通りです。 このように鋭角をθと置きます。「θが(有理数)度」=「θは(有理数)×πラジアン」であることから、と書けたと仮定します。すると、となるはずです。qπは(整数)×πなので、cosが±1になるわけです。しかし、cosθ=3/5にcosの加法定理を繰り返し用…
2次方程式の解の公式はこんな形をしていました。 これを習い、そして2次方程式を解く計算問題をたくさん解いた当時、「二次方程式が と表される数を解に持つとき、かならず も解にもつのか？」と疑問に思いました。実際、この予想は正しいです。今回はその証明と、さらに進んで、方程式が複素数 を解に持つとき、それと共役な複素数 も解であるということなども見ていきます。 に対して のことを共役無理数、 に対して のことを共役複素数、などと言います。 注：この記事では、方程式と言えば、という形をしたもの、つまり「n次方程式」を指します。などといった方程式は考えません。 目次 具体例 係数が有理数ならOK 定理1…
この記事はこちらの続編とまでは行きませんが、非常に関連しているのでまだお読みでない方は、さきにこちらをご覧ください。 【数学小話】当たり前なことほど示すのが難しいよねって話 こちらの記事の最後で少し触れましたが、「1+1=2の理由として、1個の石と1個の石を合わせると2個の石になるから」というのは少し微妙なのです。今回はその話について。 1+1=2の証明の難しさ 1つと1つを合わせたら2つ 数学としての1＋1＝2 自然数の定義 ペアノの公理 まとめと次回予告 1+1=2の証明の難しさ 1＋1＝2の証明がなぜ難しいのかというと、 あまりにも当然すぎる内容であるから です。本来の証明問題、「『Aが…
令和2年に行われた日比谷高校の入試における英語試験問題のうち、面白いと感じられた問題を取り上げて解説していきます。英作文に関しては実践的なアドバイスを載せていますので参考にしてください。 日比谷高校2020年(令和2年)国語の解説日比谷高校2020年(令和2年)数学の解説 日比谷高校2019年(平成31年)国語の解説日比谷高校2019年(平成31年)数学の解説 日比谷高校2018年(平成30年)国語の解説＋α日比谷高校2018年(平成30年)数学の解説 日比谷高校2018年(平成30年)英語の解説 今年の入試問題の全体概観 大問2 大問3 大問4 時間配分 今年の入試問題の全体概観 難易度 .…
令和2年に行われた日比谷高校の入試における英語試験問題について、中でも、面白いと感じられた問題を取り上げて解説していきます。英作文に関しては実践的なアドバイスを載せていますので参考にしてください。 今年の入試問題の全体概観 難易度 ... 難化（前年比） 分量 ... 増加（前年比） 大問2... 平年並み 大問3...難化 大問4...難化 今年の英語は難しかったですね。量・質ともにここ数年の中で最も厳しい問題だったと思います。大問3で顕著ですが、設問の形式も答え難いものになり、内容一致問題における該当箇所も例年より細かい個所を捉えなければ正答に至ることができないものが増えました。また、ひっ…
令和になって最初の日比谷高校入試。その国語の解説記事です。 日比谷高校2020年(令和2年)数学の解説 日比谷高校2019年(平成31年)国語の解説日比谷高校2019年(平成31年)数学の解説 日比谷高校2018年(平成30年)国語の解説＋α日比谷高校2018年(平成30年)数学の解説 日比谷高校2018年(平成30年)英語の解説 大問1:漢字の読み(赤字は難問) 大問2:漢字の書き(赤字は難問) 大問3:小説文 大問4:論説文 大問5:現古融合問題 解説 国語の解説記事は本文、問題文を掲載しません。実際に日比谷高校を受験した方や、問題を持っていて、これから演習するつもりの方へ向けたものとなっ…
令和になって最初の日比谷高校入試。その数学の解説記事です。 日比谷高校2019年(平成31年)国語の解説日比谷高校2019年(平成31年)数学の解説 日比谷高校2018年(平成30年)数学の解説日比谷高校2018年(平成30年)国語の解説＋α日比谷高校2018年(平成30年)英語の解説 このページは前半が問題の解説、後半が講評となっています。 解説 大問1 大問2 大問3 大問4 講評 各問題の難易度 // 解説 今年の数学も、難しい問題、合否が分かれるような問題は解説し、簡単な問題は触れません。 大問1 小問集合。ここは毎年内容がぶれていません。 (4) 2つのさいころを投げる問題なので、3…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 今年の早実から、あまり見慣れない問題を紹介。2020年度の早実、問3から。 問題★★ (1) についての方程式 が解をもたないための条件を、定数a,bを用いて表せ。 …
数Bの数列の単元で登場するやや難しめの問題として、格子点の個数を求める問題があります。このタイプの問題の解法を研究してみます。 問題 解法①xまたはyを固定する 解法②長方形内にある格子点の半分 解法③nを1増やしたときの格子点の増加に注目する 解法④ズル？穴埋めであることを悪用 問題 を自然数とする。 を満たす整数の組 の個数は、である。 n=2の場合の図を用意しました。問題の不等式はすべて＝がついていないので、この青の三角形の内部(周を含まない)にある格子点の個数を求めることになります。 今日はこの問題を複数の解法で求めます。問題によって不等号に＝が入っていたり入っていなかったりしますが、…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 慶応義塾の過去問から因数分解を1つ。この記事を書いたあとに気づいたのですが、もう慶應義塾高校の入試は終わってますね。 問題★ を因数分解せよ。 ヒント、着眼点 高校入…
我々はあまり深く考えずに多くのことを まあそれは当然なりたつでしょう。当たり前だ。 と雑に片付けてしまいがちです。突き詰めていくと本当に成り立つとは簡単に言い切れないことはたくさんあります。例えば、このようなことを聞いたことがありませんか。 「1+1=2の証明は難しい」 確かに、1+1=2の証明は大学で学ぶ概念を理解しないと理解できないといわれているように、かなり難しい内容です。これはあまりにも極端な例ですが、このように、当然のこととして受け入れているものほど、「それはどうして成り立つの」と問われればきちんと根拠がしめせないものです。今回はそのような例をいくつか見て、そのような当たり前に思える…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 問題★★ 正の数 の整数部分を と表す。例えば、 である。正の数 がを満たすとき、 および を求めよ。 ヒント、着眼点 ②の方が複雑ですから、①から攻めるのがよいでし…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 問題★★ 図のように、3つの円A、B、Cが互いに外接していて、円Aと円Bの共通外接線lと円Bと円Cの共通外接線mは平行である。また、円Aと円Cの共通外接線nとの接線を…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 問題★ は、 を超えない最大の整数を表すものとする。 の方程式 を満たす のうち、最小のものを求めよ。 ヒント、着眼点 定義より は必ず整数となるから、 はともに整数…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 問題★ AB=9cm、BC=8cmの長方形ABCDと、この長方形の周および内部に含まれる円P、円Qがある。図のように、円Pは2辺AB、BCで、円Qは2辺、CD、DAで…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 問題★★★ 図のように、∠ABC=90°の直角三角形ABCがあり、∠BAD=20°、∠CAD=30°である。BD=1、CD=aとするとき、ADの長さをaを用いて表せ。…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 問題★★ 正の整数xに対して、1からxまでの整数のうち、xとの最大公約数が1であるものの個数をf(x)とおく。例えば、f(5)は、1から5のうち5との最大公約数が1で…
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ 30★★ 巣鴨高 31★★ 早稲田実業高 32★★ 城北埼玉高 33★★ ラ・サール高 34★ 慶應志木高 35★ 灘高 36★★★巣鴨高 37★★ 法政大学女子高 38★★ 都立西高 39★★ 都立日比谷高 40★ 都立国立高 41★ 学芸大附属高 42★ 計算問題① 43★★ ラ・サール高校 44★★ 計算問題② 問題★ nは自然数とする。 が素数となるとき、Pの値を求めよ。 ヒント、着眼点 整数問題、特に素数が絡む問題はたいてい因数分解します。 とできます。 以下、解答 //…
3辺が全て整数である直角三角形の最初の例として有名な3:4:5の直角三角形。1:1:√2とか1:2:√3とか、鋭角が特別な値なものも習いますが、この3:4:5の直角三角形は鋭角が何度であるかは中学校では一切触れられません。今回は高校数学までの知識で、この角度を考察していきます。 問題. 上の図におけるθは何度だろうか？ 1. (整数)度 2. 整数ではなく、(有理数)度 3. (無理数)度 答えは3です。角度は(無理数)度です。ちなみに、θ≒53.130102354...度です。 方針、下準備 証明 step1 step2 補題 step3 考察 他の整数比の直角三角形 方針、下準備 度数法で…
約数の個数、総和は難関高校入試にしれっと登場しますが、普通に高校数学の範囲ですよね。 問題★★ 自然数nに対して、nの正の約数の総和をと書くことにする。 (1) kを自然数、pを3以上の素数とするとき、 を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) 2016の正の約数nで、 となるものを全て求めよ。 ヒント、着眼点 約数の総和を求める公式、難関高校受験では個数を求める公式とセットで習います。 約数の個数、総和の公式 整数nが、 と素因数分解されるとき、約数の個数は、 であり、約数の総和は、 である。 これを使えば、(2)までは容易に解けます。(3)が少し考えさせられる問題です。 また、(1)で、これ…
初めて見ると、こんな問題が大学入試にあるの？と思うかもしれません。 問題★★ (1) の大小を比較せよ。 (2) の大小を比較せよ。 ヒント、着眼点 問題文は誰でも理解できるほど簡単な問題ですが、どう大小を評価するのでしょうか。当然、直接計算できません。 指数といえば、高2の数Bで登場するlogが使いたくなりますが、この問題に「ただし とする」のように、logの具体的な値が与えられていないので実質logは使えません。 ではヒントを。 指数がそろっていれば、大小は明らかに比較できます。例えば、 であれば後者の方が大きいです。20乗するもとの数自体が大きいからです。 以下、解答 // 解答 (1)…
就活を終えてから半年間、卒論に忙殺され、長らく更新をサボっておりました。申し訳ありません。 また気を引き締めて、来年2月21日の受験本番に備え、受験生の皆さんの当日点を1点でも多くするべく、良質な問題を出していきます。 第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 契約を反故にする。 2. 惜別の思い。 3. 友人の車に便乗する。 4. 老舗の和菓子屋。 5. 千客万来 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. 犯人を明らかにするしょうさが無い。 2. ふくろこうじに入る。 3. すんぽうを確認する。 4. 彼女はこの役所の生きじびきだ。 5. 彼はひんこうほうせいだ。 以下、答えになります。 第一…
こんなところにも自然対数eが登場するという、不思議な例を見てみます。 問題 漸化式を作る 一般項を求める プレゼント交換がうまくいく確率 1/eに収束する理由 問題 n個の整数 1,2,3,...,nを、1番目に1が、2番目に2が、...、n番目にnが来ないように、1列に並べるのは何通りか。 これは、 n人がプレゼントを持ち寄って、ランダムに配ったとき、全員が自分のでないプレゼントを受け取るような配り方は何通りあるか。 と同じ問題です。 完全順列 n個の整数 1,2,3,...,nを、i番目（1≦i≦n）にiが来ないように1列に並べる順列、これを完全順列といい、完全順列の総数をモンモール数とい…
若干簡単な問題になるよう、数字を変えています。 問題★★ (1) コインを8回投げて、表が一度も出ない確率を求めよ。 (2) コインを8回投げて、表の出る回数がちょうど4回である確率を求めよ。 (3) コインを8回投げて、表の出る回数が4回以下である確率を求めよ。 ヒント、着眼点 (3)まで全て樹形図を描くことで解けなくはありません。かなり広いスペースが必要になりますが。ここでは、このように考えてみます。 コインを6回投げたときの表裏の出方は何通りあるかというと、 28=256通りです。この256通りのうち、条件を満たすような出方がいくつあるかをうまく考えます。 表がちょうど4回でる確率なら、…
小問集合から1つ。 問題★ 係数が整数の2次方程式 は を1つの解にもつ。A,Bを求めよ。また、 のとき、 の値を求めよ。 ヒント、着眼点 (1) A,Bはが整数であることに注意。a,bが有理数で、nが平方数でないとき、 ならばということを使います。 実はこれはマーク問題でして、答えさえ出ればよいので、若干のズルをしてもいいかもしれません。 (2) を にそのまま代入すると、ほぼ100%計算ミスをします。"次数下げ"というテクニックがあります。 以下、解答 // 解答 (1) A=3, B=1 (2) 解説 (1) 正攻法 に を代入して、 よって、すなわち (1) ズル を解に持つなら、どう…
日常生活で、この足し算は無限になるか、有限の値に収まるか、気になる瞬間はたくさんありますよね。ということで、有限になるか、無限になるかのクイズを用意してみました。 目次 級数クイズ 問1. 調和級数 問2. 等比級数 問3. 交代級数 問4. バーゼル問題 問5. 数列の逆数の和 式をすっきりさせる記号Σ 寄り道：ゼータ関数と解析接続 級数クイズ 級数は簡単にいうと、「無限個の足し算」のことです。 問1. 調和級数 これは有限か無限か。 答1. 無限 これは有名な調和級数で、足されていく値は0に近づくのに、和は無限大に発散するものです。このように示すことができます。 このように調和級数を下から…
うまく数える方法を考える。 問題★★ 次を満たす5桁の自然数の総数を求めよ。 (1) 各桁が1か2で、1と2の両方が用いられている自然数 (2) 各桁が1、2、3のいずれかで、それらがすべて用いられている自然数 ヒント、着眼点 (1) ようするに、1と2を合計5つ1列に並べつつ、1も2も少なくとも1回は使うのは何通りか、と言っています。(2)も同様。 (1)は、やみくもに書き出す方法でも解けるでしょう。 2を1回だけ使うもの 1111211121112111211121111 2を2回だけ使うもの 11122 11212 11221 12112 ... コンビネーション(nCr) の計算を知っ…
高校受験でやや発展的な内容として扱われるものとして、解と係数の関係があります。少し難易度の高い私立高校では受験問題でその知識が要求されることがあります。公立高校の受験ではめったに出題されないテーマですが、今回はこのことについての記事です。後ろ半分は高校以上の、しかもかなり難しい内容なので後半は飛ばしてもらって構いません。 ・高校受験における解と係数の関係 高校受験で見かける解と係数の関係は、以下のようなものです。 の方程式 の2つの解を とすると、 ・例題 の2つの解を とする。 の値を求めよ。 ・解答与えられた方程式は と変形できるので、解と係数の関係より、である。 このように解くことができ…
誘導がうまく使えると気持ちいい。 問題★★ (1) を展開せよ。 (2) の因数分解を利用し、 を7で割ったときの余りを求めよ。 ヒント、着眼点 数学の入試問題のよくある流れ。一見、(1)と(2)に関係がなさそうに見えるものほど(1)をうまく使って(2)が解けるパターン。どう活かせるかをよーく考える。 以下、解答 // 解答 (1) (2) 1 解説 (1) (2) を因数分解する。 とすれば、 だから、ここで、63は7の倍数だから、 は7の倍数。つまり は7の倍数だから、 とすると、 つまり は7で割って1余る。 と見れるかがポイント。 前回 中学生でも解ける大学入試数学61 2019年法政…
私立高校入試でも十分あり得る問題。 問題★ とする。 (1) のとき、 の値を求めよ。 (2) のとき、 の値を求めよ。 ヒント、着眼点 高校入試でもやります。基本対称式の値を考える問題です。 つまり の値を考えるとうまくいきやすいです。 以下、解答 // 解答 (1) 12 (2) 解説 (1) の両辺に をかけると、を得る。 であるから、 すると、 (2) とおくと、 より より、これを解いて、よって、 前回 中学生でも解ける大学入試数学60 2017年千葉大 次回 written by k
ちょっと場合分けがややこしい確率の問題です。 問題★★ 1個のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。 ・1回目は、出た目を得点とする。 ・2回目は、1回目と同じ目なら得点は0、異なれば出た目を得点とする。 ・3回目は、1回目か2回目と同じ目なら得点は0、そうでなければ出た目を得点とする。 3回の得点の和をnとする。 (1) nの最小値を求め、最小値を得る確率を求めよ。 (2) nの最大値を求め、最大値を得る確率を求めよ。 (3) n=6となる確率を求めよ。 ヒント、着眼点 得点を決めるルールをしっかり理解し、どんな時に最小値、最大値を得るかをしっかり見極めましょう。 目の出た…
数学は証明の文化です。論理を使いこなすことで、直感で分からないことも"分かる"ようになるのです。 さて、証明って何でしょうか。正しいって何でしょうか。 全知全能の逆説というものがあります。これを見ながら、証明とは何か、正しいとは何か、ということについて考えていきます。 目次 全知全能の逆説 定理は公理を要求する 屁理屈による反論の反論 「正しい」とは何か 全知全能の逆説 もし全知全能の存在Aがいたと仮定します。Aはなんでもできるので、「誰にも持ち上げることのできない石」を作ることができます。Aは何でもできるので、この石を持ち上げることができます。…①また、この石は誰にも持ち上げることができない…
前回、前々回 星陵祭で見る日比谷生の生態①(特に、帰国子女の話)星陵祭で見る日比谷生の生態②(特に、文理選択の話) Q11. 1日の勉強時間は？ 1年生 2年生 3年生 Q12. 塾に通っていますか？ 1年生 2年生 3年生 Q13. 部活は何ですか？ 日比谷生の勉強事情をさらに見ていきましょう。日比谷高校を目指す受験生も、現在日比谷高校に通っている日比谷生も、このデータをもとに自分の勉強スタイルを顧みるよい機会になるかもしれません。 Q11. 1日の勉強時間は？ 前回も述べましたが、おそらくこのアンケートは夏休み以前にとったものであると予想されることを踏まえてこのデータを参考にしてください。…
2017年の問題の大問2の途中まで。 問題★ さいころをn回ふり、n個の出た目の数を全てかけ合わせた数をaとする。 (1) aが素数となる確率をnを用いて表せ。 (2) aが3の倍数となる確率をnを用いて表せ。 ヒント、着眼点 中学校でならう確率は答えに文字が入ることはないのですが、確率の求め方さえ分かっていれば十分対処できるでしょう。 例えば、硬貨をn回投げて全て表が出る確率は、 となりますね。今回の問題の答えはこのような分数が登場します。 以下、解答 スポンサーリンク // 解答 (1) (2) 解説 (1) aが素数となるのは、n回中1回だけ素数が出て、他は全て1が出る場合である。1から…
先日、河合塾の2019京大オープンの答案が返却されたようですね。京大受験生の皆さん、出来はいかがだったでしょうか。 普段某塾にて英語を指導しているのですが、この京大オープン模試の英語について、指導中の生徒から質問がありました。指導の過程で問題を解いたのですが、あまりにも優れた出題に驚きました。どの大問も良問でしたが、中でも大問2は「お見事！」としか言い様がありませんでした。この整った英文を見つけるのにどれだけの時間がかかったでしょう。作問された講師の方々に脱帽です。 さて、閑話休題。本日から、京大オープンの作問者に敬意を表して(？)、複数の英文をどう読むか、つまり、長文読解の考え方を書いていき…
ちょっと前に、フィボナッチ数列の記事を書きました。今回は数Bで習う数列の知識を使ってその一般項を求めてみます。 hibiyastudy.hatenablog.com フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,... 隣り合った2つの和が次の値になる。そんなルールで作られています。 a1 = 1 ,a2 = 1 an+2 = an+1 + an (n≧1) 隣接3項間漸化式と言われるやつです。このパターンの問題の解き方のみならず、特性方程式の考え方もついでに書いてみます。 3項間漸化式の特性方程式 漸化式 の をそれぞれ に置きかえて…
英文解釈①では、形ではなく内容から2つの訳を吟味する問題を出題しました。 hibiyastudy.hatenablog.com 受験レベルの英文では、しかし、①で扱ったような文構造を意味から吟味するといったポイントが問われるものは多くはありません。むしろ、その対極で「形」だけから意味が大体決定されるものが多く出題される傾向にあります。 英文解釈②では、「形」を捉える練習として、「関係代名詞」の読み方をテーマに以下の問題を出題します。 レベル：難関 下線部を和訳せよ。（文章を抜き出しているので、意訳はしなくてよい。） For two or three days, Madame Berger lo…
問題を少し変えています。 問題★★ 自然数nについて、 以下の最大の整数を とする。 (1) の値を求めよ。 (2) となるnはいくつあるか。 ヒント、着眼点 の定義をしっかり理解できたら、落ち着いて解けるでしょう。 以下、解答 スポンサーリンク // 解答 (1) 14 (2) 6個 解説 (1) である。 よって14 (2) となるnは、 を満たすnであり、 つまり、 をみたすものである。これを解くと よって、n=19,20,21,22,23,24の6つ。 前回 中学生でも解ける大学入試数学57 2018年防衛大 - 日比谷高校のススメ 次回 written by k
前回はこちら 星陵祭で見る日比谷生の生態①(特に、帰国子女の話) - 日比谷高校のススメ 今回は、日比谷生を対象としたアンケートの続きを見て、日比谷生の勉強事情を探ります。特に面白いと思ったアンケート結果を見てみましょう。 Q6. 放課後(部活後)の過ごし方は？1位 帰宅して何もせずゴロゴロ 47.0%2位 帰宅して勉強 21.9%3位 自習室 16.2%4位 塾 14.9% このアンケートは、星陵祭企画委員によるものなので、おそらく星陵祭前以前にとったもので、「星陵祭準備」という項目がないので、星陵祭の準備が本格的になる夏休みよりも前であると考えられます。それを鑑みると、約半分の日比谷生が勉…
2019年9月21,22日に星陵祭がありました。日比谷高校の3大行事に数えられる、全生徒が全力を注ぐイベントです。今回は卒業してから久々に日比谷高校に足を運んだ人が目にした、日比谷生の実態、またその考察を書きます。 1階の購買の前にある広場でクラスTシャツ、逆カップル*1と一緒に、こんなものが張り出されていました。 Q14までありますが、とりあえず今回はQ4まで。 日比谷生の生態大調査 日比谷の全校生徒を対象としたアンケートです。なかなか面白い内容が書いてあるな、と興味深く思ったので紹介します。 Q1.帰国子女ですか？ なんとYesが20%という結果に。これをTwitterでも書いたところ、驚…
実際に院試を受験したときの自分の答案を再現＆若干の手直ししたものを記録として遺しておく。誰かの勉強の役に立つかもしれないし、自分の役に立つかもしれない。 あくまで自分の答案を書き起こしたものであり、間違っている可能性がある。それも含めて記録として価値のあるものになることを願って。 試験は[1][2]が必答で[3]~[7]から2つを選んで解くのだが、自分が解いた[1][2][4][7]の答案を遺す。 [1]の解答のみ無料で見れます。 written by k
前回 東大院数学科を受験しました② - 日比谷高校のススメ 院試の問題を軽く振り返る。 自分の作った院試の解答は、いつか記事として遺しておきたい。 令和2年度大学院入試データ ・東工大院数学系 受験者70→筆記合格38→合格34人 ・京大院数学系 受験者110くらい→筆記合格64→合格51(うち基盤35先端16) ・東大院数学科 受験者116→筆記合格60→合格? 公式の解答がないので、自分の主観であるが、どれくらい解けたかも書いておく。 ・東工大院 数学基礎：2完3半/5問中 [1]リーマン積分の収束の問題。最初めんどくさそうだから飛ばした。最後の15分で戻ってきて考えたら、2年生の時にリー…
前回 東大院数学科を受験しました① - 日比谷高校のススメ 次回 東大院数学科を受験しました③ - 日比谷高校のススメ 大学院受験までどんなことをしたかを振り返る。 3年春休み 1年のときに買わされた線形代数の演習書を1周する。1年の時は授業中に指定された問題しか解いていなかったのもあり、はじめて解く問題もあったが、ひと月で1周させる。ジョルダン標準形はやっていない。 早稲田の院を一般受験する時にTOEICかTOEFLのスコアを提出することを知り、TOEICの勉強のためにTOEICの勉強本を買って勉強する。 4年4月 院試の情報を求めて院試ガイダンスに出る。そこで言われたこと。 ・早稲田の院に…
タイトルの通りです。東大院数学科を受験しました。そのレポートをお届けします。問題の振り返り、反省を赤裸々につづります。 大学の数学科に興味がある人、これから数学科の院試を考えている人の参考になると思います。 大学院の入試問題がどんな感じかをまず見てみましょう。こまかい反省や受験生へのアドバイス的な物は次回に。 大学院入試 そもそも大学院入試は大学入試と違い、国立大学であっても複数受験できます。大学入試と違い日程が大学ごとに違うからです。例えば2020年度入試では東工大院は8/16,17、京大院は8/24,25、東大院は8/26,27です。私はこの3つを受験しました。 結論からいうと、筆記試験は…
問題を少し変えています。 問題★★ のとき、 の値の1の位の数字はいくつか。 ヒント、着眼点 難関高校受験でも出る基本対称式を使う問題。 を の組み合わせで表すことを考えればよさそうです。 たとえ分からなくても、0から9のどれかを書けば1/10で当たります。 以下、解答 解答 8 解説 まず、 を有理化してみる。 同様にして、 を得る。よって、 である。また、 である。(うまく約分される) ここで、の1の位の数字は0より、それから2を引くと、1の位の数字は8 よって の1の位の数字は8 補足 この問題は1の位だけを求めればよいので、 をまじめに計算しないように。 を作るのに、今回は というルー…
大学院入試の過去問を眺めていたら、たまたま運よく高校生でも解ける（ここでの解けるは、問題文の意味を理解でき、そして高校までの知識のみで答えを出せるという意味で、簡単に解けるとは言ってません*1 )問題を見つけたので、記事にしようと思います。問題文自体は簡潔で簡単ですが、きっちりと解答を書こうとするとかなり長くなる、そんな問題です。 問題 1以上3500以下の整数 のうち、 が3500で割り切れるものの個数を求めよ。 方針 とりあえず と因数分解できるので、 にそれぞれ の素因数をどう"振り分ける"かを考えて候補を絞っていきます。個数を聞いていますが、ここでは全てちゃんと値を求めようと思います。…
問題を少し変えています。 問題★★ 3桁の自然数の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcとする。 (1) 10a+b-2cが7の倍数ならばもとの自然数は7の倍数であることを示せ。 (2) a≠b, a=cであるとき、もとの自然数が7の倍数となるようなaとbの組は何通りあるか。 ヒント、着眼点 倍数判定法の証明に関する問題です。 3の倍数の判定法はよく知られていて、使う機会は多いです。 Aの各位の数の和が3の倍数ならば、Aは3の倍数 例 123456は1+2+3+4+5+6=21より3の倍数。実際、123456=3×41152 この証明を見てみましょう。今回の問題にも役立つはずです。ここ…
問題★ 1から2002までの自然数のうち、45で割ったときの余りが45で割ったときの商より小さいものはいくつあるか。 ヒント、着眼点 「何通りあるか」問題は、計算でパパっと求められるものもあれば、根気よく順に数えて求めるものもあります。今回はうまく順に数えればよいでしょう。 このような問題で、うまく数えることができる、というのはいわゆるセンスがしばしば要求されます。この問題を通して、センスを磨きましょう。 以下、解答 解答 969個 解説 まず、該当する自然数はどのように現れるのかを把握しましょう。1から2002までの自然数を45で割ったときの商とあまりがどのように変化するかが分かれば、該当す…
問題★★ 自然数の組(a, b)で、aからbまでの自然数全ての和が500となるようなa, bの組を全て求めよ。ただしa<bとする。 ヒント、着眼点 aからbまでの自然数全ての和は、aとbを用いてどのように表されるのかが重要になりそうです。 さて、このような公式をご存知でしょうか。 1からnまでの自然数全ての和は、 と表される。 この公式の証明のアイデアが、aからbまでの和を求めるのに役立ちそうです。 証明 1からnまでを横にならべ、その下にnから1までを並べる。縦に並んだ2つの数を見ると、どれも和がn+1になっている。この和がである2つの数字の組が組あり、それらの和はとなる。これは(1からn)…
簡単な問題を出します。 1,2,3,〇,5,... さて、〇に入るのはいくつ？ いやー簡単ですねぇ。当然答えは2019です。当たり前ですね。 え？答えは4じゃないかって？いやいや。 この数の並びは、 にを順に代入したものですから。4になるわけがありません。ちなみに6以上を代入すると全然違う数になります。0以下も同様。 茶番終わり ということで、今回の話は、好きな値を代入して好きな値になるような関数を作る話です。上で登場した4次多項式も、この方法を用いて作りました。 ・n個の点を通る多項式 中学2年で、一次関数を習います。ここで、2つの点を通る直線の式を求める方法を習います。2つの点を通る直線の…
問題★ 平面上に一辺4の正三角形がある。0<r<1として、平面上にある半径rの円が、その中心がこの正三角形の辺上を一周するように動くとき、この円が通過する部分の面積を求めよ。 ヒント、着眼点 まずは自分で図を描きましょう。正確に描きましょう。 どこがとんがった角で、どこが丸い角かを間違えずに図が書けることが最初の関門でしょう。 もし正しく図が描けたら、うまく図形を分割するなりして面積を出しましょう。 ヒント:この公式が使えるかもしれません。高校受験生なら覚えるべきものです。 一辺の長さがaである正三角形の高さは、 面積は、 難関校を目指す受験生なら、この公式の導出も説明できるようになるべきでし…
第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 人情味あふれる性格 2. 船の甲板に出る。 3. 月極駐車場 4. 兵法を学ぶ。 5. 一日千秋の思いを馳せる。 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. へんきょうの地 2. とろうに終わる。 3. べんぎを図る。 4. さんじゅうろっけい逃げるに如かず 5. しんらばんしょう 以下、答えになります。 第一問 1. にんじょうみ 2. かんぱん 3. つきぎめ(× アルティメットムーン) 4. へいほう 5. いちじつせんしゅう 第二問 1. 辺境 2. 徒労 3. 便宜 4. 三十六計 5. 森羅万象 【正答率目安】 8問〜: 合格者平均は堅い。 6…
【数学小話】中学校では教えてくれない数の性質⑤ あまりと周期
第1回の記事はこちら 第2回の記事はこちら 第3回の記事はこちら 第4回の記事はこちら p,qは互いに素な自然数とする。pの倍数をqで割った余りは、q個ごとに同じ数が繰り返される。 例として、p=4, q=7でやってみます。 4の倍数を7で割った余りを表にしました。これを見ると、7で割った余りが「4,1,5,2,6,3,0」の7つがループになっていることが分かります。これを周期7のループと呼ぶことにしましょう。 ちなみに、p,qの役割を入れ替えて、7の倍数を4で割った余りを見ると、今度は周期4のループになっています。 では互いに素でない数ならどうなるかを見てみます。p=6, q=8で見てみまし…
問題★★ 正の約数の個数がちょうどm個であるような、1900以上の自然数のうち最小のものをとする。 (1) (2) ヒント、着眼点 難関高校受験でも習う約数の個数の求め方を知っていれば方針が決まりやすいのではないでしょうか。 一応公式を書いておきます。 自然数が以下のように素因数分解されたとする。 この時、の約数の個数は (ここで、は素数、は指数) つまり、素因数分解したときの指数をそれぞれ1足してかければ求められます。例を見てみます。 例① 36の(正の)約数は9個 例② 12の(正の)約数は6個 ※今回の例のように、指数が書かれていないときは1乗と見ます。 例③ 16の(正の)約数は5個 …
第1回の記事はこちら 第2回の記事はこちら 第3回の記事はこちら ・素因数分解の一意性 素因数分解は積の順番を除いてただ一通りである。 つまり、素因数分解は必ず同じ結果になるということです。 Aを素因数分解したらあるときは53×71になり、あるときは13×19×43だった、なんてことにはなりません。これは経験則として誰もが知っていることでしょう。 これだけです。これだけの短い内容ですが、とてもとても重要なことです。 素因数分解を使って解く問題を少しみていきましょう。 例題 10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1は末尾に0がいくつ並ぶか。 解答 10!=10×9×8×7×6×5×4×3…
第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 人の性である。 2. 良い塩梅を探る。 3. 真っ新な状態を維持する。 4. 突飛な発想を推す。 5. 紺屋の白袴 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. 授業のいっかんで農家を訪ねる。 2. 給料日前ですかんぴんだ。 3. みえをはる。 4. めんぺきくねん 5. はがんいっしょう 以下、答えになります。 第一問 1. さが 2. あんばい 3. まっさら 4. とっぴ 5. こうや 第二問 1. 一貫 2. 素寒貧 3. 見栄 4. 面壁九年 5. 破顔一笑 【正答率目安】 8問〜: 合格者平均は堅い。 6-7問: 受験者平均並み。さらなる高みを目…
問題★★ ある規則に従って、次のように分数を並べる。 (1) 最初から20番目、50番目、200番目の分数は何か。(約分しなくてよい) (2) 最初から200番目までの間に、1と等しい分数はいくつあるか。 ヒント、着眼点 まずは分数の並びの規則を見ぬいてください。分母だけを見ると、分母1が1つ、分母2が2つ、分母3が3つ、というようになっています。そこで、最初の1つを第1グループ、次の2つを第2グループ、次の3つを第3グループ、...とします。 第nグループの分数の分子は、12からn2までが並んでいることが分かります。 ここで、このようにグループ分けをする利点は、第nグループの最後の分数が最初…
第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 水稲耕作を行う。 2. 便宜を図る。 3. 体裁を気にする。 4. 陳腐な感想を述べる。 5. 待てば海路の日和あり 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. 割れた陶器のかけらを集める。 2. 人の心のきびに敏感である。 3. えんまんな家庭を築く。 4. かなわない相手に挑む。 5. こうとうむけい 以下、答えになります。 第一問 1. すいとう 2. べんぎ 3. ていさい 4. ちんぷ 5. かいろ / ひより 第二問 1. 欠片 2. 機微 3. 円満 4. 敵わない 5. 荒唐無稽 【正答率目安】 8問〜: 合格者平均は堅い。 6-7問: 受…
問題★ が の約数となるような最小の自然数 を求めよ。 ヒント、着眼点 「aがbの約数である」というのは、b÷aが割り切れるということですね。中3で、約数、公倍数などと因数分解の関係を習うかと思います。 例①7は28の約数である 28を素因数分解すると、28=22×7となり、7は28の約数だと分かります。 例②12は180の約数である 12と180を素因数分解すると、12=22×3, 180=22×32×5となります。この素因数分解の結果を見れば、約数であることは一目瞭然です。 つまり、「aがbの約数である」というのは、 「aの各素因数について、 aの素因数の指数≦bの素因数の指数 がなりたつ…
第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 益々のご活躍を期待しております。 2. 先達を務める。 3. 時代劇の殺陣を見る。 4. 畏敬を示す。 5. 殊勝な心がけ 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. ゆかりの地 2. もっぱら勉学に打ち込む。 3. しふくして時の至るを待つ。 4. いとまを取って郷里に帰る。 5. りかに冠を正さず 以下、答えになります。 第一問 1. ますます 2. せんだつ 3. たて 4. いけい 5. しゅしょう 第二問 1. 所縁 2. 専ら 3. 雌伏 4. 暇 5. 李下 【正答率目安】 8問〜: 合格者平均は堅い。 6-7問: 受験者平均並み。さらなる高…
2019年名大理系の問題です。 問題★★ 自然数nの正の平方根 は整数ではなく、小数第1位は0で、小数第2位は0でない数とする。 (1) このようなnの中で最小のものを求めよ。 (2) このようなnで10番目に小さいものを求めよ。 ヒント、着眼点 中3でならう平方根。 普段からいろんな自然数の平方根の値がだいたいどれくらいになるかということを考えている人にとっては答えの見当はすぐにつくかと思います。 と、順番に平方根の値を見ていきましょう。 どうやらnが18までには問題の条件を満たすようなnはないようです。 nの値が大きくなると、 の値も大きくなります。n=1,4,9,16,...といった平方…
高校数学の発展事項として扱われる鳩の巣原理。内容はごくごく当たり前のことですが、とても強力な証明の道具です。この原理に関する面白い事柄をご紹介します。 鳩の巣原理とは 鳩の巣原理は部屋割り論法、ディリクレの箱入れ原理などと呼ばれることもあります。内容は以下の通りです。 n個の物をm個の箱に入れるとき、n>mならば、物が2個以上入っている箱が必ず存在する。 例えば、5個の玉を4個の箱に入れる時、必ずどれかの箱には玉が2個以上入ることになります。 ごくごく当たり前のことです。 この鳩の巣原理を使って、このようなことが分かります。 ・さいころを7回振ると、いずれかの目は必ず2回以上出る。 ・血液型は…
今年の大学入試から。京大の整数問題です。 問題★★ とする。 と がともに素数となる整数 を全て求めよ。 ヒント、着眼点 ※中学生はf(x)という表記を習っていないと思います。これは中学校におけるyと同じようなものです。たとえば、f(1)と書いたら、x=1を代入した値のことなので、5になります。f(n)というのは、xに整数nを代入した値のことです。 f(n)を挟んでいる2本の縦棒は「絶対値」です。ようするに、「f(n)の絶対値」です。 さて、 が素数となるnを実際にいくつか探してみます。そのうえで、答えの見当をつけます。 これを見るに、nが±10までの範囲において、 が素数となるようなnは小さ…
第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 募金活動に勤しむ。 2. 市井の人 3. 虚ろな瞳 4. 悦に浸る 5. 勅語奉答 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. ざゆうのめいを語る。 2. きのうほう的に解を導く。 3. いさいを放つ人材を育てる。 4. 反旗をひるがえす。 5. さんさんごご帰っていく。 以下、答えになります。 第一問 1. いそしむ 2. しせい 3. うつろ 4. えつ 5. ちょくごほうとう 第二問 1. 座右の銘 2. 帰納法 3. 異彩 4. 翻す 5. 三々五々 【正答率目安】 8問〜: 合格者平均は堅い。 6-7問: 受験者平均並み。さらなる高みを目指しまし…
算数、数学が好きな人であれば(おそらく)だれもが考えること、 とにかく大きな数を作りたい！！！ 数を大きくするのにどんな方法があるのか、どうすれば手っ取り早く数を大きくできるか、を考えてみましょう。そのために、まずは頭の体操をしてみましょう。 頭の体操 3つの3でなるべく大きな数を作れ。 基本ルール ・使ってよい数字は3つの3のみ。 ・なるべくシンプルな表現にする。 ・2つの3を33として使ったり、3つの3を333として使ってはいけない。 ・足し算、掛け算 3+3+3=9 3×3×3=27 この時点では一番大きいのは27。足し算よりも掛け算のほうが、より速く数を大きくできます。 ・指数 中学生…
中学入試でも見そうな問題です。ただ、最後の問題は少し難しいです。 問題★★ 2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていく。 (1) 1003は何番目の数か。 (2) 2000番目の数を求めよ。 (3) mを自然数とする。1番目から2m番目までの数を全て足した値をmを用いて表せ。 ヒント、着眼点 よくある倍数に関係する問題です。2の倍数、3の倍数を気にするときは、たいていその最小公倍数である6の倍数に注目することが多いです。 自然数を書いていき、2の倍数でも3の倍数でもないものを赤く色分けしてみます。 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17…
第一問 次の漢字の読みを答えよ。 1. 煩雑な計算問題を解く。 2. 浅薄な思考を咎められる。 3. 従来のやり方に固執する。 4. 虚空を見つめる。 5. 悪口雑言の限りを尽くす。 第二問 次のひらがなを漢字に直せ。 1. 孫の顔を見てそうごうを崩す。 2. しょもうされた製品を納品する。 3. 彼の仮説はあながち間違いではない。 4. 計画のかなめを担う。 5. よういしゅうとうな対策 以下、答えになります。 第一問 1. はんざつ 2. せんぱく 3. こしつ 4. こくう 5. あっこうぞうごん 第二問 1. 相好 2. 所望 3. 強ち 4. 要 5. 用意周到 『相好を崩す』は、読…
さて、どちらが大きいか当ててみてください。実際に計算するもよし、概算や直感で判断するもよし、です。 問題1. どちらが大きいか。 (1) 34と43 (2) 510と105 (3) 1011と1110 答え1. (1) 34=81, 43=64より、34 (2) 510=9765625, 105=100000より、510 (3) 1011=100000000000, 1110=25937424601より、1011 さて、これらを見ると、こんな法則があるように思えてきます。 a<bならば、ab>ba？ ようするに、指数の値が大きい方が大きい、という法則があるような気がします。 では、次の問題はど…
問題★★ のとき、の値を求めよ。ただし、とする。 ヒント、着眼点 対称式 対称式とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことをいいます。 中学数学でも言葉は習わずに少しだけ登場します。 例えば、これらが対称式です。 文字が2つのときはその2つを入れ替えても変わらない、3つのときはその3つをどう入れ替えても変わらないものが対称式です。 対称式の重要な性質として、どんな対称式も基本対称式で表すことができるというものがあります。 基本対称式 文字2つ と 文字3つ と と 例 この問題では、登場するはすべて対称式です。まずはを基本対称式で表しましょう。 ですね。 以下、解答 解答 35 解説 ①の…
【数学小話】ほんとうに0.999...=1なのか② 本当の説明
前回はこちら 【数学小話】ほんとうに0.999...=1なのか① 1/3を使う証明は間違い？ - 日比谷高校のススメ 0.999...=1 これがなぜ正しいのか、そもそもこの式の意味は何なのか、ということを説明するという目的のこのシリーズ。前回は中学生向けとしてよく見られる証明を紹介しました。今回は、高校の理系レベルの数学に触れつつ、この式の適切な説明、解釈を話します。 ・極限 極限というのは、高校3年理系が習う数IIIに登場する単元です。記号の意味を理解すれば、中学生でも十分今回の話は理解可能です。 極限は、一言で言うと、「限りなくこうなる」というものです。 このように数を並べていくと、登場…
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