採点する先生の叫び

自分の試験ではないので笑って聞いている。叫びは簡単だ。「予想よりも平均点がひく～い」だ。 数学の学習に対する僕の理屈はこうだ。 計算力を土台として、しっかりとした土台の上に知識を組み立てなければいけない。 あたりまえのことを繰り返し書いているだけで、同僚の先生方にもこのように話しているだけだ。しかし、「できる」先生は「しっかりとした土台」がわからないらしい。 単元は数学Ⅱの三角関数の入り口部分だ。 ここがうまくいかない理由はただ一つ。三角関数の値が自信をもってスラスラ出てこないことにある。 tan(-60°) の値と聞かれて「う～ん」と考えてから －√3 と答えているようではいけない。 だから、僕自身も「つまんない」と感じながらもプリントを作って公開している。こんなつまんない問題集はどの会社も作ってくれない。だから、数学の試験前に困っている人は、試..

150枚を超えるプリントを公開しました。

『計算力が土台』と常々書いていたのですが、手元にあったプリントを公開する作業を進めました。ここまでで 150枚以上 のプリントを公開しています。 https://sige-lab.info すべての問題と解答はオリジナルですので出版社様の出版物とかぶることはありません。もし、同じ数字を使っていたっとしても「基礎レベル」ですので 誰が作っても大差ない と思います。 少し面倒そうなところは簡単な解説も入っています。 もう少し問題が残っていますので、近いうちに公開します。

計算問題の公開を始めました

『数学は計算力が土台』はいつも書いているところですが、具体的に何だかわからないと思うので作りためていたプリントを公開しました。 一部、現勤務校の定期考査のためのチェック問題が入っていますので、これだけは丁寧に解説を入れています。 勤務校の生徒への公開をしていますので、トップに来るようにリンクを張りなおしています。おかげで本来のコンテンツへはつながらない状態になっていますが、目次だけは見れます。 https://sige-lab.info しばらくの間は、プリント作成のための組版システム LateX のコードも公開しています。これはプリントの分量から近々に表示しないようにします。

数学の学習の基礎

数学の先生で「計算力」を軽んじている先生は少なくない。「慌てないで計算すればできるじゃないか」が言い分だ。 僕は逆だ。「計算力が学習の土台を作る。」と考える。 生徒に話すのは「解けているのに、途中の計算を間違えて正解できないのはもったいないよね」ということ。 教員として多くの答案を採点するとき、最後の計算結果が正しければ途中の計算に誤りがないかを見に行く。最後の計算結果が正しくないときは途中の計算も見ないということで、当然、中間点をつけても厳しくなる。 そのトレーニングは「短時間でのドリル」で行う。進学校の生徒であれば解けないことは絶対にないようなレベルの問題を、時間を測って、ヨーイドンで解かせる。個人で行う場合は目の前にスマホ等のストップウォッチを置くとよい。 このことの成果は ① 計算が早く、正確になる。 ② 計算速度が上がることによって、考える時..

「答えが合っているから・・・」は数学がわからなくなる原因

この後も同様な事例を続けるが、高校入試中位レベルの高校生には「計算ができない」という生徒は希だ。単純な計算10問はすべて正しく計算できるのだが、多くは「字が汚い」上に計算順の通りに計算が記述されていない。思った通りに、好き勝手な場所に書きなぐっている。 このブログを通して書いてあることだが、書きたい場所に好き勝手に計算を書いては、後からその計算を見ても「自分で」理解できない。ひどい場合は事業に進む段階で誤読して違う数字で計算を続ける。 授業で「書き方が大切」とは話すが、それは「論理構造」のことではなく、書く場所、カッコの使い方、約分のタイミングなど計算の「書き方」のことである。 おそらく、中学までで数学が60点前後で悩んでいる人はここを直すだけで80点に寄ってくる。だから「個人指導が大切」と繰り返し書いている。また、「誤答案」に向き合うことも良い。 「誤答に学べ」は..

しつこく言ってもなかなか治らない

高校進学直後によく見られる誤答例だ。 生徒の目からすると「±を忘れただけじゃん」と見えるようだ。こう見て自分の間違いを正当化しようとする生徒は中堅の高校に多い。 しかし、こんな生徒は伸びない。これも中学校段階で × にしておいてほしい誤答だ。 繰り返しになるが、ちょっとした誤りに目をつぶると、生徒は数学の学習に苦労することになる。このカテゴリーに共通した視点だ。

頭の中と書いていることが違う

確かに代表的な誤答だし、センター試験のような「答えが合えばいい」試験の勉強をしているときに見逃しても大きな問題にならない。しかし、この手の答案を書く生徒が難関大学に合格した例を知らない。 微分係数を求めることは、接線の方程式を求めるなど多くの場面で必要とされる。それでも接線の方程式を求める過程でもこのままで困らない。しかし、よく見るととんでもないものを＝で結んでいる。 最初の＝は微分したもので、＝の左には f'(x) が入る。 次の＝は f'(x) のxに 2 を代入したもので f'(2)= となっていることが正しい。 「誤答例」のテーマの根底には「学習段階でかける情けは生徒のためにならない」という主張がある。採点時に心を鬼にすることが心苦しければ、小テストをまめにやって、こまめに指摘することを根気強く続けるしかない。 幸いなことに、この指摘をされる生..

わかったつもりで書いてはいけない。

高校生は「わかっている」と思って答案を書いている。いや、当たり前だ。しかし、雑な書き方をしても「わかっている」と確信する。その感覚が誤答に直結する。 ちょっと注意すれば正確に書けるのに。今回はミスに直結することは少ないが、あとから見直してみると何やっているのかわからなくなる書き方だ。 この場合、「微分しろ」という設定なので左辺には y' が来ることは想像に難くない。 しかし、想像しないと数式が正確に読めないということは根本的に間違っている。これも採点していると「y'しかこない」と読んでしまうので、つい仏心を出したくなる。 しかし、このような「いいかげんさ」は力がついてきてから生徒自身の足を引っ張る。つまり、「苦労して学習した努力を無駄にする」誤りだ。

カッコは大切

わかりきっていることに起因する間違いを直すことは難しい。授業中に口を酸っぱくして注意してもなかなかなおらない。もったいないからしつこく話すことを理解してくれないのは生徒が実在するのは悲しいことだ。 これも非常によく見かけ、ミスになる生徒の多いところだ。 タイトルのとおり、カッコの使い方だ。 書いた本人が「計算をわかっている」ことは認める。このように答案を書いてから次の行が正しく計算されている例も多い。答えが合っているということだ。 しかし、これは答えが合っているだけに「やっかい」だ。答えが違っていないから、生徒は自分が間違っていると自覚しない。しかし、このような答案を書く生徒は10問解くと1～2問間違える。他が正解なのでどこで間違えたのか理解できない。 僕自身が授業でしつこく注意するのは、「数学がわかるようになってから足を引っ張る」ことによる。つまり、..

「降べきの順」をバカにしない。

高校に入学して一番最初に習うものに「降べきの順」という数式の操作がある。数式の項を次数の高い順に並べるだけなので生徒はすぐにできるのだが、すぐにできるから理解できているとはいいがたい。「降べきの順」の重要さは整式の扱いに直結する点にある。例えば次の例だ。 同じような誤答は「因数分解」でも「二次関数」でも見受けられる。「誤答」タグのコンセプトは「もったいない、もったいない」にあるのだが、ちょっとした作業をさぼることで数学を難しくする、自分は数学が苦手たという失敗経験を積むことは本当にもったいない。 最近は「個人指導」に注目しているが、特に中学生高校生で、勉強しても数学の成績が出ない人は答案をじっくりと見直すか、それをもって教わっている先生の所へ相談にいくとよい。

あっと驚く計算

ちょっと絶句した計算を紹介しましょう。いきなり誤答です。 いきなり3で割っていますね。その結果「等しくない式を＝でつなぐ」形になっています。 このタイプの間違いは中間レベルの高校でよく見かけます。ということは半分近くの中学生がこのような間違いを見逃されて高校進学を果たしているということです。 底辺にあるのは「答えが合わないと、自分は数学がわからない」と感じるマインドは間違っているということです。 この因数分解の問題は「3乗の差」の因数分解の公式を正しく使うことができるかを見ることが目的です。ただ、その前に係数の3を前に出す必要があり、 としてから「3乗の差」の因数分解の公式を使えば良かったのに「3乗の差」を見つけた瞬間に因数分解に入るから3がどこかに行ってしまったと思われる。 評価する側からすると「勉強していないわけではない」ことはよくわ..

誤答例をまとめてみます

未だ現職であることの強みを生かして「誤答例」を紹介しようと思いました。ここで紹介する誤答の例は「数学の教師としてはシンジラレナイもの」で極めて初歩的なものです。 深刻度の順位で公開するものではありません。しかし、特に中学の先生が個人指導で見つけてあげれられればすぐに修正できるものばかりです。授業で紹介していただくのもいいと思っています。 最初は「方程式と因数分解がごちゃごちゃになっている例」です。 これは「因数分解」しなければいけない問題を「頭の中で =0 として」方程式として解の公式を摘要したものです。さらに 逆にこれは「方程式を解いて x= で答えなければならない」ところを因数分解したものです。 ただし、これらを「指導者としてみると」第1例では要求している内容とは異なるものの「解の公式が正しく使えている」し、第2例では方程式の解は出ていない..

任意の解を持つ連立方程式を作る方法

ちょうど今、授業時間で出席を確認している3分ほどの時間でできる計算プリントを作っていました。目的はいくつかあるのですが、最も大きいのは「計算力を固める」ことにあります。 今日の話題は「連立方程式の問題を作る」ことです。連立一次方程式なので係数を適当に決めて、これを解いて解き方や解の適否（解が分数になる方程式は、本来の目指す効果が得られないことも多い）を判断します。 要するに「整数解」が得られれば問題がないのですが、これが意外に大変です。しかし、計算問題もテキトーな係数で作ると解が分数になってしまって解くほうも点検するほうも大変です。面倒になると既存の問題集から、答えを先に見て問題をコピーしてシャンシャンとしている先生も多いはずです。（ここに神経を使うことは、学校で授業をする上ではほとんど価値がありません）そこで、任意の解をもつような三元連立一次方程式を作ることを考えてみました。..

自己紹介4－将棋の効用

N高の高校生時代は「将棋」に夢中になっていました。高校生最後の試合で「トン死」（勝勢の将棋をミスして逆に詰まされた）をくらって負けたのでいい思い出はあまりないのですが、当時の友人とは一度大学進学時にバラバラになって、60を超えた今になって集まって将棋を指しています。 将棋は藤井聡太七段が「天才」と言われ、プロの将棋界に大きな衝撃を与えています。これは（とっても）若いうちから将棋に親しんだから到達できた領域です。高校時代の仲間とも「子供に将棋を教えてみたいよね」なんて話しているくらいなので、いずれアクションを起こしたいと思っています。 さて、僕たちのような「普通の人」にとっても将棋は多くのヒントを与えてくれます。 まず、将棋で「待った」（一度指した手を「間違えた」と主張してやり直しを要求すること）は「恥ずかしいこと」とされます。したがって、一手一手よく考えてから指さなければ..

テープで遊んでみよう（4）

先日、ふと「先生の役割ってなんだろう」と考えてみました。小中学校は「社会性の育成」つまり、クラスという集団の中で関係性を調整しつつ自分の力を発揮する場を作ってゆくことなのでしょう。でもそれだけではないですね。 そこで、「学んだ先の世界を見せる」という言葉を考えてみました。特に私達のような進学指導の専門家は「大学受験があるから勉強しろ」とは最後の最後しか言いません。僕の場合は専門の数学、得意分野の工学・物理学などのトピックを中学生や高校生がザクッとわかるように噛み砕いて解説することを大切にしてきました。「今、勉強をがんばればこんなことが理解できる」と思うと面白がって勉強してくれた生徒が多かったということでした。 どうしても、受験の結果（進学先）はわかりやすいですが、本来は進学してからどう進んでゆくかの方が大切なはずです。自分が頑張ることで社会の難問が解決できる、人の命を救うことが..

テープで遊んでみよう（3）

同名の記事では「メビウスの輪」を作って、縦にカットしてみたときの変化をしらべていました。縦に2本にカットした場合は、大きなメビウスの輪ができました。メビウスの輪をカットしたら大きなメビウスの輪ですので、あまりおもしろみのない結果とも言えます。 次にメビウスの輪を縦に3本にカットする場合を考えます。前回に準備したペーパーを太線でカットすると1本〜5本のまとまったテープが切り出されます。今回はその中でも3本まとまったテープを使います。 これも、1本のメビウスの輪にしてから縦線にそって3つにカットするので、メビウスの輪を作る前に両端を1cmずつくらい残して真ん中をカットしておきます。写真が見にくいかもしれませんが、この写真も切れ目が入っています。 このテープをくるっとひねって糊付けして1本のメビウスの輪を作ります。糊が乾いたら「糊代」の部分だけ残っていますので、そこをカット..

自己紹介3

僕自身のこともわかっていただきたいので、昔話を続けて書きます。 前任校は、なかなか優秀な学校でした。4人集めて整数論のセミナーをやったときは、4人の偏差値の合計が 300 で大きな間違いはないでしょう。中心になった一人は現役で東京医科歯科大学の医学部に入っていきました。今は6年生です。 4年前に卒業させた学年は、4年生（高1）から数学を指導した学年ですが、僕にとっての「ラストゲーム」でもあり、仲間から「あの学年は伸びなかったよね」と言われたくなくって頑張りました。学力別にクラスを展開した上で、文系理系の最上位クラスをしました。国語・英語・理科の先生にも恵まれた結果、現役で東北大学は何名入ったのか数えられず、一橋大学、東京工業大学、北海道大学（医医）など超難関の国公立大学に、さらに1浪して東大、京大、東京医科歯科大（歯）などに合格していってくれました。受験数学の指導者としては一定..

プログラミング － 小学生はこんな学び方をしよう

小学生からプログラミングを学ばせる、そんな時代に入ります。僕自身はこれを「仕掛けた側」にも知り合いが多いのでどのような未来を見ているのかも理解しています。また、プログラミング教育にかかわって30年を超えますので、早期教育（頭の柔軟なうちに論理的思考を仕込む）の大切さも十分に感じているところです。さて、そんな僕の目から見たプログラミング入門時の学び方を紹介します。 プログラミングは、「繰り返し」と「条件分岐」で問題を解決することです。その過程で「変数」を上手に使うことが要求されます。すごく野蛮な書き方をすれば、この3つを上手に使えれば少なくとも小学校段階でのプログラミングは合格です。 ま、中学校では「技術家庭」の中に含まれることで、高校では「情報科」の中に含まれることで専門性が上がってきますが、土台はこの3つです。 そこで、学習の初期段階に僕が生徒によく使わせていたサイ..

不思議な計算（3）

以前の記事「不思議な計算」「不思議な計算（2）」の計算をやってみていただけたでしょうか。もし、最初にこの記事を見たのであれば、ぜひ遡っていくつかの数字で良いので計算をしてみてください。 この計算は「コラッツ問題」とか「コラッツ予想」と呼ばれる計算で、ドイツの数学者 Lothar Collatz により1937年に提示された問題です。しかし、これは数学的には有名な「未解決問題」の一つです。これが解決できれば数学史に名前が残りますので、未解決問題に自分が立ち向かえるはずがないなんて消極的にならずに挑戦してみると新しい世界がひろがる気持ちが味わえます。 この問題に関しては、一つ一つの計算だけなら小学生でもできます。特定の数について確かめることならコンピュータでもできます。繰り返し計算（ループ）を回せば、「多倍長計算の問題」「オーバーフロー」の問題はでてきますが、相当の範囲についても確..

1+2+2+4+････（2）

｢1+2+3+4+････｣最後が10なら暗算で足しても大したことはありません。最後が100なら、電卓を使えばいいでしょう。逆に、合計した数字から引いてみると確かに0になるか？はちょっとした頭のトレーニングになります。 でも、その前に「目で見て」理解できないかを考えてみよましょう。材料は100円ショップの園芸コーナーで売っている小さなキューブです。4つ購入して400円です。子供さんといろいろと遊んでみるには高くない出費です。 このキューブを使って 1+2+3+4+5 をどう表現できるでしょうか。どう準備したら視覚的にうまい整理ができるでしょうか。工夫してみてください。解答は次回です。 この計算は、18世紀のドイツが生んだ最も著名な数学者のガウスが7歳の時に解いて見せた方法です。もし、小学校1年生でこの方法が思いついたら「ガウス並みの頭脳」かもしれません。 ---..