足し算ってなに？

足し算とは何か？ 例えば 1+2 小学校では「1つの飴玉に2つの飴玉を加えること」と教わる。 この場合、 1+2=2+1 となるのは自明であろう。 しかし、1+2を次のように考えた場合はどうだろうか？ 「1の次の次」 このとき、2+1は 「2の次」 となる。 「1の次の次」=「2の次」 は成り立つのだろうか？もちろん、計算してみれば分かる。では、次はどうだろう？ 「1のn回次」=「nの次」この等式がすべての自…

数学と切り離せないもの

普通、数学を学ぶとき、初めは生活と関連づけて考える。 歴史的に見ても、数学は生活との関わりの中で発展してきた。 では、数学と生活は切っても切れない関係なのだろうか？ 数学を学び始めたばかりのころは、内容が具体的なので、生活と関連づけて考えることができる。しかし、数学をある程度学んでいくと、話が少しずつ抽象化していく。抽象的になってくると、生活と関連づけて考えることが難しくなる。 なぜだろう？もし…

限りなく近づく

{an},{bn}を数列とする。 高校では、 lim(n→∞)an=αとは、 「nが大きくなるとanは限りなくαに近づく」 ということである。 大学では、 lim(n→∞)an=αとは、 「∀ε>0,∃N∈{自然数}s.t.(n≧N⇒ an-α <1/ε)」 ということである。 なぜあんなにわかりやすかった高校の定義が、大学で複雑になってしまったのか？ 次のような証明を考えてみよう。 lim(n→∞)an=α,lim(n→∞)bn=β ならばlim(n→∞)(an…

数学と意味

数学には意味がある。数学の公理や定理に、意味のないものは存在しない。 良い数学者とは、難しい問題を解くことができる人ではない。数学的に深い意味のある問題を解くことができる人であり、また、その問題の数学的意味に気づくことができるひとだ。 一方で、パズルに意味はない。どんなに難しい問題を解いたところで、そこに数学的意味を見出すことができなければ、それは単にパズルを解いたということでしかない――それは…

縦×横

問1（ただし面積の公式を用いてはいけません） ①縦が1、横が1の長方形 ②縦が2、横が1の長方形 どちらの面積が大きいでしょうか？理由も考えてください。 もちろん、答えは②です。 さて、問題は理由です。次のどちらかではないでしょうか？ (1)②は①2つ分の面積だから (2)横の長さが同じで縦の長さが②の方が長いから では、次はどうでしょう？ 問2 ①縦が10、横が1の長方形 ②縦が6、横が…

点を集めると線になるのか？

当たり前だが、点は長さを持たない。線には長さがある。 では、点を集めたとき、その集合が長さを持つことはあるのだろうか？ まあ、普通に考えてないだろう。 しかし、一般的に数学では「線とは、点の集合である」と、教わる。 私自身も、中学や高校でそう教わってきた。 この記事では、なぜ、「線とは、点の集合である」などというわかりきった嘘（？）が世の中に広まっているのか？について考えてみたい。 y=…

数学を外から眺めることについて

数学を外から眺めるとはどういうことか？ 数学とは、数などの数学的対象の性質を研究することである。 つまり、数とは何か？や、そもそも数学とは何であるか？ということについてはいくら数学をしたところで分かりようがない。 そこで、数学では分かりようのない問題について知ろうとしたとき、数学を外から眺める必要が出てくるのである。 数学と数学を外から眺めることの関係性について いきなりだが、たとえ話を…

ゼノンのパラドックス

次の文は正しいとは言えない。 「ある距離を進むためには、その距離の半分を進まなければならない。」 なぜなら、（もちろん、一歩も進めなくなるからというのではない。）確かめようがないからだ。 そこで、われわれは次のように言うことしかできない。 「ある距離を進むことができる理由を、確かめた範囲においてのみ、遡り続けることができる。」 ある距離を進むことができる。 なせなら、 その半分の距離を進…

命題の命題

命題とは、真、または偽であるもの。 1=1は真。ゆえに、 1=1は命題である。 では、「1=1は正しい」は命題か？ Aさんが「1=1」と言った。 Aさんが言ったことは命題である。 Bさんが「Aさんが言ったことは本当だ。」と言った。 Bさんが言ったことは命題か？ ヒント：仮にCさんがいたとすれば、Cさんは「Bさんが言っていることは本当だ。」と言うでしょう。 ありがとうございました。

命題は語らない

命題とは、真、または偽であるもの。 Aはある文である。「A」はAが命題であることを表す。 「「A」は正しい。」 このとき、「A」は正しいと言えるか？ 人間は嘘をつくことがある。 Aさんが言う。 aである。 Bさんが言う。 Aさんの言っていることは正しい。 このとき、「aである」は正しいと言えるか？ 「A」は真か偽かのどちらかである。 では、「A」や「「A」は真」の真偽はどのようにして…

ならば

命題とは、真、または偽であるもの。 （命題）(xが自然数である)ならば(xが整数である) この命題が正しいことを証明するには、xが自然数であるときに必ずxが整数であることを証明すれば十分である。 ここで、ならばを厳密に定義してみよう。 ならばとは、2つの命題を1つの命題にする演算である。 ここで、(命題①ならば命題②)のとき、命題①を前件、命題②を後件とよぶ。 では、命題(命題①ならば命題②)の真偽はど…

「「1+1=2は妥当か？」は妥当か？」の構造

構文論的とは、公理（定義）から証明すること。 意味論的とは、数学的意味から証明すること。 （公理）(1の次)=2 （公理）1+1=(1 の次) （証明）1+1=(1 の次)=2 この数学的証明は構文論的である。 その一方で、 （公理）(1の次)=2 （数学的意味）演算+1とは、(1)x=0なる引き算xの逆演算である。 （証明）引き算xは(nの次)をnに変える演算であるから、その逆演算+1はnを(nの次)に変える演算である。 よ…

「1+1=2は妥当か？」は妥当か？

「(1)x=2なる演算xに+1という名前をつけることは妥当か？」という哲学的問いの数学的本質は「(1)x=2ならばP(x)」（P(x)は演算xについてのある条件）であった。 「1+1=2は妥当か？」では具体的にP(x)は「演算xの逆演算yが(1)y=0を満たす」である。 ところで、このP(x)は妥当なのだろうか？ つまり、P(x)が「演算xの逆演算yが(1)y=0を満たす」でなければならない理由はあるのだろうか？答えは、理由はない。 つまり、1+1=2が妥…

1+1=2が妥当か？

数学的には、1+1=2 の証明は次のようになる。 （定義）2=(1 の次) （定義）1+1=(1 の次) （証明）1+1=(1 の次)=2 数学的にはこれで十分である。 つまり、数学的には、定義次第で次のような証明も可能である。 （定義）2=(1 の次) （定義）1+2=(1 の次) （証明）1+2=(1 の次)=2 つまり、1+1=(1 の次)である必然性を問うことは数学的課題でない。 つまり、哲学的課題である。 以下、"1+1=(1 の次)"の妥当性…

引き算から再び足し算へ

（引き算の続き） ある引き算-xについて (0)-x=0ならば-x=-a (1)-x=0ならば-x=-b (2)-x=0ならば-x=-c ……… このとき、 ある引き算-xについて (0)-x=0 のとき-x=-0 (1)-x=0 のとき-x=-1 (2)-x=0 のとき-x=-2 ……… とすれば、 -a=-0 -b=-1 -c=-2 ……… また、-0,-1,-2,……のそれぞれの逆演算を+0,+1,+2,……とすると、 +a=+0 +b=+1 +c=+2 ……… ちなみに (n)-0=n=(n)+0 -0=0 これでようや…