古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。
以下のキーワードで検索すると、このブログの記事が上位に出てくるようです。「ドロレス・デル・リオ」「突貫勘太」「猿飛勘太」「画角にまつわる話」「周セン」「わかりやすい話」「新橋喜代三」「ニューヨーク23番通りで何が起こったか」「ドリーの冒険」「ヘレン・モーガン」等。なお、「わかりやすい話」は、「わかりにくさ」を「わかりやすさ」によって顕揚しようとする馬鹿げた記事です。
次方程式の整数解を求めるやり方として, 共通テストで出題されるような簡単な問題は, 合同式で求めた方が早いと思うが, そうでない場合は, 連分数で求めることにしている. 不定方程式 の整数解 (特殊解) を見つけたかったら, を連分数展開して, の直前の近似分数 を求めてやると,という性質があるので,となり, , または, , が整数解のひとつとなる.例として, の場合には, だから, 整数解が存在する. まず, を連分数展開して, とし, 近似分数は最後の を切り捨てた,で, これを普通の分数に戻す.したがって,となって,, が特解として求まる. 後は, から,となって, と が互いに素であ…
ずっと前 *1 に, 次の問題 ( 年東大文理共通) をやったことがあるけれども, 別解に気がついた. この問題は, フィボナッチ数列に関係している.【問】 は正の整数とする。 を で割った余りを とおく。 数列 は を満たすことを示せ。 に対して、 は ともに正の整数で、互いに素であることを証明せよ。【別解】 たとえば, として, を で実際に割ってみると, 商は,で, 余りは,となり, 各項の係数は, フィボナッチ数列に関連しているのではないかと予想できる. ここで, フィボナッチ数列 は, , として,で与えられる数列のことである.そこで, を で割った商を余りをと仮定し, これが正しい…
年東大文理共通問題. 要するに連分数に関係した問題である. は答が黄金比と白銀比に関連している. は有理数の連分数がユークリッド互除法と同値であることを示せばよい.【問】 実数 の小数部分を, かつ が整数となる実数 のこととし, これを記号 で表す. 実数 に対して, 無限数列 の各項 () を次のように順次定める. のとき, のとき, のとき, 数列 を求めよ. 任意の自然数 に対して となるような 以上の実数 をすべて求めよ. が有理数であるとする. を整数 と自然数 を用いて と表すとき, 以上のすべての自然数 に対して, であることを示せ.【解】 したがって, から, である. これ…
有限増分定理は, 森毅の著作 「現代の古典解析」で知った. 彼が訳したディユドネの「現代解析の基礎」では, 平均値の定理として「有限増分定理」を紹介している. ディユドネは, 平均値の定理の真価は等式にあるのではなく, 不等式にあるのだ. と書いている. 有限増分定理は, このような問題の場合, 数 で習う積分の不等式 (積分の単調性) を使って示せばよい. 年東大理系前期の問題. 【問】 【解】 のとき, のとき, (増減表を書いて) したがって, 題意を満たす. で, は単調増加であり, すべての について である. また の結果から, は連続で, である. また, だから, 再帰的に繰り…
最初の問は, 黄金比 を使って計算量を減らせる問題. とか, の三角比は入試にはそれなりに出題されている. これはたしか東大の入試問題だったと思う. 【問】 , とおく. このとき, 以下のことが成り立つことを示せ. および は有理数である. 任意の自然数 に対し, は整数である.【解】 の正の解を とおく. から, また, から,したがって,となり, 有理数で表せる. のとき, , に についての帰納法の仮定を使えば, は整数なので, 題意は示される. //※ クレジットカードの縦横比は, ほぼ の黄金長方形のものである. 黄金長方形にはいろいろな性質が知られており, たとえば下図のような関…
年の京大理系の問題.【問】 与えられた自然数 に対し, 数列 を , によって定める. ただし実数 に対し, は を超えない最大の整数を表す. および のとき, 数列 を求めよ. すべての自然数 に対し, 次の つの不等式 , が成り立つことを示せ. ならば, 以上のすべての整数 に対し, であることを示し, このときの の値を求めよ.【解】 のとき:, , , のとき, のとき:, , , のとき, まず, が成立することを数学的帰納法で示す. なお, が単調増加関数であること (つまり, であれば, であること) は証明なしに用いる. は自然数だから, で, したがって, となる. つまり…
過去の入試問題から. 解いてから, すでに以前の記事で紹介済みであることに気がついた. 【問】 整数 に対し とおき, と定める. ただし, は虚数単位を表す. このとき, が任意の に対して成り立つような正の整数 をすべて求めよ.【解】 は, 任意の について整数となる。 を で割った余りに, の値を対応させる写像 , は全単射であるので, 任意の整数 について, ()を満たす正の整数 を求めればよい. をある整数として、上記の条件は となり, これから整数 についての恒等式, が得られる. 上式において とすると、 となるが, と は 互いに素なので, または である.さらに, とすると …
気分を変えて, 過去の大学入試問題から.【問】 , は自然数で は定数とする. 平面上の点 を頂点とし, 原点と点 を通る放物線を考える. この放物線と 軸で囲まれる領域の面積を , この領域の内部および境界線上にある格子点の数を とする. このとき極限値を求めよ. ただし 平面上の格子点とは, その点の 座標と 座標がともに整数となる点のことである.【解】 都合により, ガウス記号を のように書くことにする.題意を満たす放物線を とおくと,から, となって, 放物線は, として定まる. これから,となる. (, は整数) 上の領域内または境界線上の格子点の数を とし, とおけば、であり, と…
何題か基本問題で練習してみる.【例題 1】 [解] したがって, //【例題 2】 [解] ()とおくと, したがって, //【例題 3】 [解] ()とおくと, //【例題 4】 [解] ()とおくと, したがって, //【例題 5】 [解] //
高校数学の積分計算をすっきり行うための必要事項をすでに述べたことも含めて以下にまとめておく. 逆三角関数 , が全単射となるよう, として, 逆双曲線関数 , が全単射となるよう, として, 三角関数の倍角の公式 (次数下げ) 基本関数の微分 部分分数分解例: 三角関数の有理関数三角関数の有理関数の不定積分 は， と置くことで， についての有理関数の不定積分に帰着できる.※ , の場合には, でよい. 次分数の 乗根を含む不定積分 次分数の 乗根 (, 自然数) を含む有理関数の不定積分, ()は, と置換すれば, についての有理関数の不定積分に帰着できる.※ もちろん, 上記には, の場合も…
積分計算で, 三角関数の積を和に変えることが必要になることがあるが, 三角関数の積和公式は覚える必要はないし, 必要でもないので, 導出するだけ時間の無駄である.前回の記事で双曲線関数がそうであったように, と は同値なのだから, 後は加法定理を知っていればすぐに計算できる. ちなみに, この形は関数を偶関数と奇関数のパートに分割するときや, 対称式と交代式に分けるときなどにもでてきたりする.もちろん, 順番が入れ替わっていても,となって, 両者の結果は変わらない. 以下に例をいくつかあげる. 和積公式に至っては, さらに必要ない. たとえば,を積の形にしたかったら, 足して , 引いて とな…
双曲線関数 , は, オイラーの公式と似ている,で定義された関数である. は,で定義される.である. これから,もすぐにわかる. 後は双曲線関数の加法定理,で, の符号が三角関数と違うことだけ覚えておけばよい. その他の公式は, 三角関数同様, すべてこれらから導ける.微分は実際に計算すれば,となる, 双曲線関数が全単射となるよう, とすれば, 逆関数 , , を定めることができる.逆関数 の微分を求めておくと, として, に注意して, したがって,となる. から, となり, から,となる. したがって,なので,という, 自然に憶えてしまう積分結果となる. さらに, から,なので,となる.次に…
逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.求める逆関数の積分をとする. で置換積分することを考える. すると, だから,であり, したがって,となる. これを部分積分すると,となる.であり, さらに, を原始関数 で表わすことにすると,を得る.たとえば, () を考えると, で, 逆関数は, なので,となる. 前の記事の最後の例では, を求めておいて,となる. の部分は, 図形をイメージすればすぐにわかる. //
他のやり方はあるが, 根号の中が, の 次の分数式なので, とおいて解く (積分範囲は, から までに変わる). から, で置換して, したがって,
三角関数の有理式を積分する場合に, とおくのは有名だが, 計算がやや煩雑になるなので最後の手段で使うべきである. 前の記事 でもそうだったが, まず置換積分ができないか検討するのは, よい方略だと思う.たとえば, 不定積分,のような場合,だから, となって,と, と置く前にあっけなく解けてしまった. この定積分は, 「特殊な定積分」として, と置けと教わるが, 不定積分でもそんなにコストをかけずに解けることがわかった.これが,だと, と置いてもよいかなという気になる (置かなくても解けるが).だから,となる. 直角三角形で斜辺が , 他の辺が , の長さをイメージして, である. したがって,…
下の図で, 平面 と直線 は垂直であるということをベクトルや座標を使わずに, 証明してみる. つの異なる平面が異なる 点を共有していれば, その つの平面は, その 点を通る直線を交線として含む. いま点 と を考え, その つの点を共に含む平面の中に, と がある. 感覚として受け入れることができようができまいが, 線分 はこの つの平面の交線である.直線が平面と垂直であることを証明するには, その直線が平面に含まれる つの直線と垂直であることを示せばよい. 線分 と は, 正方形の対角線同士だから, 直交している. と は垂直である. なぜなら, は, と にそれぞれ垂直なので, は平面 …
東京都立高校 2017 年入試問題から. 簡単な問題だけれども, 立体の問題をきちんと説明するのは難しい.問 を含む切断面を求めるために, を通る の平行線 をひくと, は, 平面 上にある. 理由は前にも述べたように, と平行線を含む平面は, を含むが, と を含む平面はただ一つだからである. さらに, は平面 と平行である. なぜなら, 平面 と平面 の共有点はすべて直線 上に存在するが, は に平行で平面 と共有点を持たないからである.直線 と 上にはない点 は, 平面をただ一つ決定するが, その平面と平面 の交線 は, 直線 と平行である. なぜなら と平面 は平行で と は, 同一平…
最近, 長々と数 の積分計算のやり方を教えていたのだが, せいぜい つぐらい計算すれば, 高校数学範囲内で必要な積分の計算の仕方が全部説明できるような例題セットはないのかなあと感じた.そう思っていたら, ネット動画に次の積分を紹介している人がいて, これは, その例題セットの 題に入れてもよいと思った. 後は, 角関数の次数下げや置換積分と, 部分積分のよい例題がいくつかあれば, それで充分な気がする.まず, と因数分解して, 部分分数の係数を求める.ここで, は実数である. 両辺に をかけて を代入して, まず を得る. 次に を代入して, を得る. 最後に を代入して, となる. したがっ…
の因数分解をするのに, 平方完成すればよいという解説があって, それはその通りだなあと思ったんだけど, 別解として, いわゆる「とってがけ」の逆をやる方法があるんではないだろうかと思った. は で割れるから, つの数の最大公約数は である.元の式の因数分解をするかわりに,として, 両辺を で割ると,したがって, もとの式は, 定数項に をかけて,である. //※ 巷で「とってがけ」とか言われているのは, たとえば, を「たすきがけ」で因数分解するかわりに,を求めておいて,とするやり方のことを言う.
例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.【問】 図のように三角柱 があり, , , である. 直線 の延長上に, となる点 をとる. 線分 の中点を とし, 線分 と平面 の交点を とする. このとき, 線分 の長さを求めよ.【解】線分 を含んでいる, 直線 と 上にはない点 で決まる平面 を考える. を通る に平行な直線は, 平面 に含まれている. この平行線は, 平面 と 点 で交わるので, 点 は平面 と平面 の共有点である. また点 も平面 と平面 の共有点である. したがって, は 直線 上にある. は, 上にもあるのだから, は と の交点である. は直角三…
前の記事の関連で, 以下のような 点を含む平面 (もちろん平面はただ一つに決まる) による立方体の切断面を決定する手順を考えてみる.まず, 点を結ぶしかない.一番手前の赤丸が存在している (立方体の) 稜線 ともう一方の底面に存在している赤丸を含む平面 は, 先程二つの赤丸を結んだ直線を含む (なぜなら, 平面上の任意の 点を結んだ直線をすべて含むのが平面だから). また, 平面 は, 稜線 に平行で, かつ底面の赤丸を通る平行線も含む. なぜなら, 平行線はねじれと違って, 同一面上にある共有点をもたない直線同士でしか定義できないし, 稜線と赤丸を含む平面はただ一つしかないからである.そうす…
斜軸回転体の体積を求める有名問題だが, 計算したことがないので, 計算してみる. 立方体の切断面は中学受験から大学受験まで大活躍である.【問】座標空間内で, , , , , , , , を頂点にもつ立方体を考える. この立方体を対角線 を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ.【解】 対角線 上の点を () とする, を含み, と直交する平面は,で与えられる. が を出発し, 直交面が 点 , , を含むまで ( のとき) は, 直交面は, 線分 , , と交り, 切り口は正三角形となる.この間 () の回転体は円錐であり, のとき,で, だから円錐の体積は,となる, 次に直交面が点 …
これって, 思わず無駄な計算をしそうになる.【問】 次方程式 の つの解がともに正の整数となるような の値をすべて求めよ. 更に, その の値のそれぞれに対する方程式 の解を求めよ.[解] つの整数解を , ( とする) とおくと, 解と係数の関係から,したがって,となるが, 少し変形すればとなる. だから,, , である. したがって,, , となり, の値は, から, それぞれ, , , である.//
これも余事象を使って解いた方が手っ取り早い.【問】 の 次方程式が, の範囲にただ つの実数解をもつ条件を求めよ.【解】 まず, 少なくとも つの実数解をもつ条件を求める.判別式,から, , が得られる.とおいて, 解をもたない かつ の余事象 または を求めると, または だから, 合併は, 実数全体である. 実数解をもつ条件との共通部分は,, となる. ここから, 軸が範囲内にないとき, ( つの) 実数解を範囲内にもたない場合を除けばよい. で の場合このような場合は存在しないことがすぐにわかる. で の場合このような場合も存在しないことがすぐにわかる.以上から, 範囲内に少なくとも一つ…
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散歩していたら春蘭が咲いていた。 少し前まで雑木林に普通に自生して見られた春蘭は地味だがよく見ると気品のあるところが (過去の) 日本人の感性にあうのか昔から愛されており、自生しているものを掘って庭に植えたり、鉢植えにして楽しんだという記述も少し前のものを読んでいるとよく見かける。 明治天皇も行幸の折に自ら見つけた春蘭を杖で掘って持ち帰り鉢植えにさせたという記録が残っている。 葉に麩が入ったり、花の色が変わっている個体変異は、明治期から昭和にかけて各地の里山で発見されて栽培、珍重され、「日本春蘭」として現在でも愛好している人がいる。
最近、映画健忘症にかかった感のある自分は遅まきながらこの映画を見て、まるで登場人物のフリオがしただろう体験をしたのだった。やはり映画館こそ失われた記憶を取り戻すのに一番適した環境なのかもしれない。 少なくともこの作品の登場人物たちはそのことを些かも疑っていないように振る舞っていることは感動的である。この映画を見る前から前兆のように、『ミツバチのささやき』の最後でアナ・トレントが窓を開いて「私はアナ。私はアナ」と呟やいてあの印象的な瞳をとじると、それまでにない大人の女性のような表情を見せるところにまいったことを思いだした。瞳をとじること。ロベルト・ロッセリーニの『ドイツ零年』の少年は自分の見た現…
すでに話題になっているようだが, 大阪大学の 2024 年数学の文理共通問題に立体幾何の証明問題が出題されている. これは面白そうだと思ってやってみた. 制限時間もあるので, どこまで詳しく証明を書けばよいのかわからないが, 立体幾何のよく知られた基本命題は (すでに以前の記事で証明済みなので) ここでは証明なしに使った.【問】 【解】 まず, 存在証明をする. 存在証明は実際に存在する具体例をひとつでもあげればよい. どうやって直線 と直線 の共通垂線を作図できるか考えるのが一番簡明だと思う.直線 を含み, 直線 に平行な平面 を作ることができる. (なぜかというと, 直線 の任意の点から,…
戦前 (1940 年) の映画雑誌の広告を見ていたら『駅馬車』の広告に小津安二郎 (旧字だから, 小津安二郞である) と溝口健二のコメントがある。これが淀川長治さんが当時在籍していた日本ユナイテッド・アーチスツで作った宣伝なのか。
神奈川県公立高校入試, 理科の問題は最初にプリズムの問題だった.プリズムに関しては, 下の図からわかるようにという関係がある. はもちろん定数で, 「三角柱」 が「正三角柱」なら である.高校入試では定番の太陽光発電パネルの問題も出ていたが, これも発電効率がもっとも高くなるとき,(パネルの角度)＋ (太陽高度) = 90°が把握できていれば簡単な問題であろう.
例年より小問がひとつ減った.【解】 (ア) 同じような問題を中 1 の定期テスト対策でやったばかりである. 直線と平面の垂直を理解していることと, ピタゴラス (三平方) の定理の基本問題である. 暗算できるだろう. 答えは 2 番.(イ) 展開図を描き直すときにわからなくなるむきは「有向角」を使うと考えやすい.ピタゴラスの定理から,である. (高校の余弦定理を使わないで) の長さを求めるために補助線を引く(, ).だから, から, したがって, //
前の記事で白土三平の『忍者武芸帳』のことを書いた後、偶然にも上野昂志さんが 2020 年に書いた『「読解力」を巡る一考察』なる文章をネットで見つけて、それを読んでいたら『忍者武芸帳』 のことが出てきた。上野さんの文章は中公新書の『教養主義の没落』 (竹内洋) をひきながら, 学生における読書の歴史的変遷を辿ってみようというもので、なかなか面白かった。一部だけあげておく。 なお、上野さんは別のところで「単行本漫画一冊がせいぜい三万円で、しかも二冊描いて売れなければ即座にクビという劣悪な条件の下で、「命がけ」で食うために描くという行為は、諸々の意識の問題に向うよりも、まずは直接的に肉体の苦痛にぶつ…
小さいときに見たテレビ番組を大人になって再び見て郷愁を感じることはあっても, 作品として面白いと思うことはない. しかし, 白土三平『サスケ』のテレビアニメーションは唯一の例外である. これとても傑作というほどではないが, 1960 年代の子供向けテレビとは思えないものに仕上がっていて, いま見てもじゅうぶん鑑賞に耐えるのが不思議である. もっとも, 白土三平であれば『忍者武芸帳』のような漫画の方がはるかに面白い.横浜国大, 理系の 2017 年の数列の問題を解いてみたのであげておく.【解】 (1) (2) が自然数であることを帰納法によって証明する. のとき, より成立. のとき, が自然数…
部屋の加湿を忘れて寝てしまい、翌朝喉の調子が良くなかったので、普段は舐めることなどない飴でも試してみようと思いたち、近所のドラッグストアを物色していたら、「クロモジ」という名前が向こうから勝手にやってきて目に入ったので、迷うことなく「養命酒製造」と赤字でデカデカと書かれたその袋を購入した。幸田文は『木』の中で、 草木に心をよせることについて、「心をよせるなど、そんなしっかりしたことでない。毎日の暮らしに織り込まれて見聞きする草木のことで、ただちっとばかり気持がうるむという、そんな程度の思いなのである」と適切に書いているが、 「クロモジ」 という文字を目にした瞬間、そういえば、クロモジのあの黄色…
2024 年の数 IIB の数列の問題は小問の (1), (2) はともかく, (3) の最後の小問 (iv) だけはちょっと面白い. 存在命題だから, 実際に命題を真にする数列 がひとつでも存在すればよい. また存在命題を証明するには命題を真にする具体例をひとつあげればよい (具体例をどうやって見つけたかなどの理由を書く必要はない. また具体例が見つけられない場合は背理法などによって証明することもある). (I) の命題が真だと仮定すると命題 A と矛盾するので偽. (II) は第 1 項から第 100 項まで, であるような数列 が存在するので真. (III) も第 1 項から第 99 項…
包除原理 を使う入試問題を探していたら, 2023 年の東大の文理共通問題があったのでやってみる. この問題の問 (2) まで解くつもりなら, 問 (1) を (2) につながるようにどう解くかということが大事になる. もちろん問 (2) を捨てる場合にはこの限りではなく, 普通に解けばよい. 黒玉は 個しかないので で極端に複雑にならずいけるだろうという予想は立てられる.【問】 (1) (2) につなげるために, この問は重複組合せを使って (2) を解くための構想を確認しながら解く. まず赤玉 個を最初に並べる.ここで, 赤玉が隣り合わないためには, を満たす必要がある. と可逆な変数変換…
「モンモール (Montmort) のめぐりあいの問題」, もっと一般的には「包除原理 (The Principle of Inclusion and Exclusion; PIE)」——高校でも簡単な場合を習うが, シルヴェスター (Sylvester) は形式論理の定理として証明した*1 ——の応用なのだが, ここでは誘導に忠実に解くことにする. 人で交換会が終了する場合の数を とおく. また 人で交換会が一回で終了する確率 は,で与えられる., は明らか. (1)(i) (1)(ii) (1)(iii) 求める確率を とすると, (2) (3) (4) が自分のプレゼントを受け取るのは,…
数 1A の共通テスト問題 (2022 年) の整数解の問題は, 素直に誘導に乗る場合の解を記載していなかったので, ここに一応あげておく.1) を用いると, から, の正の整数の最小値は, . このとき,また, の 桁の正の整数の最小値は, . このとき,(2) (1) から, だから,つまり, //(3) から,(2) の結果 から, であるが, と は互いに素であることより,つまり,である. が 桁の正の整数で最小なのは,このとき,(4) を用いて, (2) の考察と同様にして,だから, と は互いに素であることより, の正の整数の最小値は, . このとき,
数 1A の共通テスト問題 (2022 年) は整数解の問題はやった記憶はあるが, 他の問題もやったので一部をあげておく.(1) , のとき , , のとき (2) , とおき, , のただひとつの共通実解を とするならば, を満たす. のとき, となり, 重解も持たないので はただ一つの共通実解ではない. したがって であり, これから, を必要条件としてよい. 共通実解が のとき, から, となる. 解と係数の関係により, の他解は , の他解は であり, となる.次に が重解を持つ場合は,から, で, は異なる 実解を持ち, 共通実解を持たないので, となる. // (3) つまり,した…
最近、飯沢匡の文章を読んでいて、「ヤンボウ・ニンボウ・トンボウ」の作詞と「ブー・フー・ウー」の作詞はともに飯沢匡ということにいまさらながら気がついた。 ※ 飯沢匡の『武器としての笑い』によると、この頃は児童劇というものは児童がやるとういう考え方が圧倒的に強く、「ヤン坊」「ニン坊」「トン坊」 の声を担当した里見京子、横山道代、黒柳徹子の名前は一年間公表されなかったとある。また同書には不良少女的カラスの「トマトさん」を登場させたことがこの作品の成功の大きな要因であったとあり、そのカラスを新村礼子が熱演したとある。なお、飯沢匡にはウォルター・デ・ラ・メアの “The Three Royal Monk…
自分が高校生だった頃になく, 今はあることで羨ましいと思う数少ない数学の参考書は, 長岡亮介著『総合的研究 論理学で学ぶ数学――思考ツールとしてのロジック』 (2017) であるが, その後書きにこんなことが書いてある.蛇足に過ぎないんだが, 集合を表わすのに, 「外延的記法」「内包的記法」といいながら , 実際には, 「パラメータ記法 」 (?) のような省略的便法としての集合の表わしかたが普通に行われていることも理由としてあるのではなかろうか. 内包的記法で書くとは, 要素がその集合に入ることを許される条件を書くことである. それは (普遍集合が定まっている場合) 述語 = 命題関数を真に…
全称命題と存在命題の扱いに慣れるために, 以前解いた問題を見直してみる. ※ 2 つ前の記事 「便利な(?) 論理演算」からの続きである.【問】 は定数とする. つの不等式, を同時に満たす整数 が存在し, かつそれが自然数のみになるとき, の値の範囲を求めよ.【解】 与えられた二つの不等式を整理して, 問題の条件から,(最後の上の式) (下の式) したがって, //【問】 と は同値であることを証明せよ.【解】 () となるように を取れば成立する (稠密性より, このような はとれる).() //※
読んでいるのに、まるでホークスのスクリューボールの一場面を見ているかのような味わい。自筆の年譜の昭和二十七年 (十六歳) のところに、「(注: ジェラール・フィリップと) 同じエレベーターに、東和商事社長とその令嬢が乗っていて、胸もとに『陽気なドンカミロ』の翻訳をかかえる令嬢の横顔に強く惹かれる」とあるのを思い出し、ジュリアン・デュヴィヴィエの『陽気なドンカミロ』 (1952) は、日本公開が昭和二十九年で配給は東和だったんだと余計なことまで調べてしまった。※ 『映画に目が眩んで 口語篇』 によれば、戦後第一回のフランス映画祭の初日のことで、上映されたのはルネ・クレールの『夜ごとの美女』 (1…
自分だけそう思っているにすぎないかも知れないけれど, 便利だと思っている論理演算について書いてみる. なお, ここでは恒真命題は , 恒偽命題は で表わすことにする.まず, 単項命題 , の書き換えとして,便利だと思っているのは, 前件で連言になっている命題を否定して, 後件に移動して選言として加えても, その逆の操作を行なっても同値だというものである. つまり,以上二つをまとめて, 公式化しておくと,となる. 一応, 証明しておくと,たとえば, の間接証明には次のやり方があることがわかる. これは対偶による証明に他ならない. 他にも, が考えられる. 背理法とは, 上の つ全部を指すのか, …
ここでは, 線型代数の知識を用いることなしに, 直線 が平行となる条件を求めてみる.上の つの方程式が直線を表わす条件は,※ 中括弧 は 「かつ」を意味する.ここで,だから, 次のように場合分けすると, すべての場合を排他的に場合分けできる.※ 縦線 は 「または」を意味する.A) のとき: について解いて, である.B) のとき:このとき, となる. は, となって, 軸に平行である. は, となり, 軸に平行とはならない.したがって, この場合, ※ とすると, だから, したがって,となる. をいちいち書くのは煩わしいので, 大前提として省略しているのである.//これから, C) の場合…
YouTube にプレストン・スタージェスの『結婚五年目』(The Palm Beach Story, 1942) をデジタル修復したものがあったので、ちょっとだけ見てみようと思ったら、二回続けて見てしまった。ルディ・ヴァリー (Rudy Vallée) が演じる大富豪がフロリダ行きの寝台列車の下の寝台に寝ていて、上の寝台へよじ登ろうとするクローデット・コルベール (ぶかぶかのパジャマを着ている) によって顔を踏みつけられ眼鏡を潰される場面はいつ見ても何度見ても可笑しいのだが、最近、ルディ・ヴァリーは "As Time Goes By" を最初に (1931 年) レコーディングした歌手である…
前回紹介した Dr. Geoff Lindsey の動画が興味深かったのは, 自分が浴びるほど見てきた黄金時代のハリウッド映画の中のTransatlantic English について関心を向けてくれたせいもある. 他の動画も見てみたが, 前の動画ほどではないものの, 英語教材としては群を抜いて秀れていると思う. 次の二つの動画だけ更にあげておく.英語はシェイクスピアの Iambic Pentameter (弱強 5 歩格) に代表されるようにリズムが大事だという内容. Deaccenting について.
最近見た動画で, これが一番面白い. 「母音連続 (hiatus) 回避」を基本に整理すると, 英語の母音体系が簡単になるという話で, 内容は British English についてだが, とても役に立つなあ. もちろん動く音 (glide) である /j/, /w/ ぐらいは理解している必要があるけれど.
YouTube をみていたら, Frank Muller による “The Great Gatsby” の朗読があった. 他の何よりもこの朗読が自分に英語を教えてくれた. 一体何回聴いただろう, いまでもたまに聴くことがある. Frank Muller はバイク事故が原因ですでにお亡くなりになったそうだが, 他にも沢山の朗読を残してくれていることを知った. 他の朗読も聴いてみよう.The Great Gatsby by F Scott Fitzgerald - YouTube
小学生に「割合」とか「食塩水の濃度」とか「速さ」を教えていて, 噂に違わず習得に困難さがあるのだなあと感じた (だからといって「はじき」だの「くもわ」だのを教えるつもりは全くない). そもそも, 「長さ」と 「時間」のような異なる量同士を足したり, 引いたりすることに意味はないと思うが, 異なる量同士を掛けたり, 割ったりすることには意味がある. そのことに意味があると一番感じるのは, たとえば, 現在地から雷までの距離を音の届く時間で測ったり, 山の高さを平野部との温度差で測ったりするときだ. 算数でいう 「比べられる量」と「もとになる量」は何かを測定することを考えれば異なる種類の量であって…
近所をぶらぶらするいつもの散歩でも春は楽しい。ミスミソウの花が可憐であった。近くにカタクリの花も咲いていたし、ヒメウズの花も咲いていた。ヒメウズも可憐な花だとは思うが、ほっそりとした茎についた花はあまりにも小さく、おまけに下を向いているので、いつもうまく写真が撮れない。この前、北極冒険家の荻田泰永さんがやっていて、電車だとすぐ近くにある「冒険研究所書店」に初めて行ってみたのだが、そこで買った『きのこの自然誌』を読み始めた。「草の名をはじめて教えてくれた母へ」と献辞にはある。
中1 の数学の最初は正負の数の計算の勉強から始まるのだが, いつも変なことを教えている気分がしてしまう.たとえば, 割り算 (除法と呼ぶようになる)は逆数をとって掛け算 (乗法) にしてから計算すると教えるのだが, だったら引き算 (減法) の方も足し算 (加法) として計算できると教えるのが, 筋だろうと思う. 実際には逆で, 括弧を外してわざわざ引き算として計算するやり方を教える. たとえば,で, 括弧の前に があれば を外すとかいうルールを覚えさせ山のように計算練習させるのだが, そんなルールが数学にあったのかとちょっと吃驚した. 記憶が定かではないが, 自分の感覚としては, 話は逆で,…
与えられた複雑な条件よりもより簡単な同値条件を求めるという問題は数学では非常に多くあるが, 最初に理解しておかないといけないのは, 一般的に「すべての」とか「存在する」とかの修飾を受け量化された変数 (束縛変数) は消去できて, 残された自由変数のみの同値条件となるということではないだろうか. たとえば 次方程式の解 が「存在する」という条件と同値な判別式には, もはや量化された変数 はどこにも含まれていない. 判別式の条件はどうして求まったかを反省してみれば, 量化条件をどのように処理すればよいかの感覚はつかめると思う.【問】 は定数とする. つの不等式, を同時に満たす整数が存在し, かつ…
今度、小学生に分数の割り算について聞かれたら、次のように説明してみよう。
蛇紋岩を拾って暫し見つめていた.地球のマントル上部を主に構成するといわれる美しい緑色をした橄欖(かんらん)岩は非常に不安定で, 地表になにかの拍子で上がってくる過程で水に触れると化学的に変質してしまい, 名称からしてなにやら禍々しい蛇紋岩と呼ばれるようになる. マントルの岩石は, 大陸プレートの下へ沈み込んでゆく海洋プレートがもたらす水によって溶融してマグマになるという説明を最初聞いたときはなかなか理解できなかったが, それは地球内部にあっては水の方が不純物であるということがなかなか想像できなかったからで, その不純物としての水が岩石の固相から液相、液相から固相の平衡をずらして融点を下げるのだ…
数学の問題はこれ以上記事にするようなものはないので, 理科の問題を見た. 理科の問題はやさしいので, 油断して (あるいは長い問題文にウンザリして) 問題をよく読まないで解答をしさえしなければ完答できると思う. 馬鹿らしくなって雑になってしまうようなところに罠が仕掛けてあることがよくある.理科の受験対策をしていて不思議だったのは, 「過不足なく反応する」というタイプの問題の正答率が異常に悪かったことである. それでグラフまで書いて説明したのは楽しかったが, 下の問題 (一部割愛している) は, もともとグラフまでついているので無事解答できたのではないかと思う. 【解】ア) もちろん i) の領…
前の記事に引き続いて空間図形の問題をやってみた. いつも思うのだが, 神奈川県の空間図形の問題は例年つまらないものが多い. この問題も, 平面図形の中線定理を適用するだけである. なお, 中線定理は「平行四辺形の 辺の平方和は, 対角線の平方和に等しい」と同じことである.【解】 ア) 底面積は , 側面積は . したがって, .イ) だから, である. に中線定理を適用すると, したがって, となって適する解は, ※ から に垂線を下ろして求める方法もある.ウ) , , 弧 の部分を除いて側面の扇形を描いて見ると, 中心角は であることが, すぐに計算できる. だから, 中線定理を適用して, …
今日は神奈川公立高校入試だったが, 問題がもう公開されていた. 数学の次の問題は, 以前紹介した 2019 年の問題と同様に面積比を使って長さの比を求めれば容易に解ける.【解】 台形 の面積を基準にとって とする.まず,は, と相似からすぐにわかる.次に, は と を延長して相似を使っても求めることができるが,で求めてみる. , なので, したがって,また,したがって,連比を求めて,となる. だから,以上より,//
神奈川県公立高校入試の特色検査の問題を見ると, 判断推理の問題が出ている。この種の問題は, 1) 条件整理 2) 仮定による場合分け 3) 各場合の仮定について条件に矛盾するものを落とす, といった抹殺作業で解けるものがほとんどだが, 多少の慣れは必要である. 以下の例は公務員試験の問題.【解】 いろいろな考え方はあると思うが, 条件アから, A と H は 2 階または 3 階に住んでいる. 条件オが加わって, A と H は 2 階に住んでいて F は 3 階に住んでいる. 条件ウとエから C は 2 階に, D は 3 階に住んでいる. 条件イから B は 2 階または 3 階に住んでい…
神奈川県の去年の公立高校入試問題である。【解】 だから,ところで, と は相似である (下図). ピタゴラスの定理によりだから, これとより, したがって, //【別解】下の図のように, から に垂線を下ろしその足を とする. と は相似 である. と は相似であり, 相似比は だから, //
高校入試問題を見ていたらダニエル電池に関する問題が出ていて、その問題自体は興味をそそられるものではなかったが、不図、ダニエル電池の起電力を計算しようと思ったら熱力学を忘れている。以下は単なる忘備録である。まず、基本の復習。熱量 、仕事 が, 考えている系に流入する方向を正とするとき, 内部エネルギー変化 は, 第 1 法則からとなる. 外界から熱量 を受けた系のエントロピーが 増えたとすると, 外界のエントロピー変化 との合計は, 第 2 法則からを満たす. つまりが成立する.そこで, 外界の温度は, の定数である等温過程を考えることにし, 考えている系がまったく「仕事」をしない (体積仕事も…
午後過ぎ迄用事があったし、少し時雨てもいたので近くを散歩することにし、町田駅から境川沿いを上流に向けて歩いて古淵の鵜野森公園にある露頭を見に行った (相模野面)。横浜線は凡庸だなあと思っていたが、境川と並行して走っているのを見るとなかなか良いなあと見直したりした。露頭の場所に着いたときはもう日暮れどきでかなり薄暗いにも関わらず、三脚はいつものように持参していないのでどうしようかと思ったけれども、ともかく写真を撮った。最近、塾で小学生に教えていて、集中が途切れそうになると、神奈川の地形がどうしてできたかの話をすることがある。なんか胡散臭そうにしているけれど、興味は持つようだなあ。この前なんかノー…
この前散歩に行ったときに、相模川右岸の中津原台地の方から相模野台地が河岸段丘だとわかる写真を撮った。この前見つけた貝の化石を眺めていたら、以前から言われている海洋の酸性化のことを考えてしまった。最近は学校で教え始めているところもあるようだけれど、教科書に載っているレベルではまだないと思う。だけれども、この問題は地球環境問題だけでなく理科の教育的価値も高いなあ。そもそも、雨水は酸性雨でなくても、もともと酸性なのに、海水はアルカリ性である理由をまず理解しないといけない。高校生だったら化学平衡の計算の題材としてもってこいだ。 ヘンリーの法則も使うし、大学入試問題に出題しても良いくらいだ。
またまた同じ方面を散歩した。大山ばかり撮っているので、丹沢山の方を撮った。ツキガイモドキ (ルシノマ) 属の一種と思われる化石を前回に引き続き、合弁の状態で見つけた。陸から海底に有機物が堆積すると、その堆積した有機物の分解の過程で酸素が速やかに不足し、酸素ではなく海水中に含まれる硫酸 (イオン) を酸化剤として呼吸する嫌気性細菌により、硫化水素と炭酸水素イオンが生成される。海底表層にいるツキガイモドキは体内に化学合成細菌 (硫黄酸化細菌やメタン酸化細菌) を共生させているらしい 。これらの細菌は酸素を酸化剤として硫化水素やメタンを酸化してエネルギーを得るのだが、ツキガイモドキはそのエネルギーを…
性懲りもなくまた同じ場所へ散歩へ行った。「無人駅」「ホームはひとつだけ」「前に人家がある」その他もろもろが気に入って、JR相模線の下溝駅を使って移動することが一番多い。三度目になると、だんだん色々なことがわかってきて、化石採集の方も、殻付きで残っている比較的状態の良い貝化石を見つけることができた。
