中学2年生の数学の復習(連立方程式②：食塩水の濃度と速さ)

週末は冷え込むみたいですね。この暑さから急な気温低下は体調に響きやすいので指導する側も、生徒側も注意しないといけません。 前回分けたのでその続きです。連立方程式を使う文章題はいくつかありますが、苦手な人が多そうな「濃度(食塩水)」「速度」の2つに限定しました。とはいえ紹介するのはあくま「この問題、実はこう考えると簡単なんですよ……」という攻略法なので全種類は紹介しない(そもそも平均点以下の人向けの話なので)のでご注意ください。 前回はこちら 中学2年生の数学の復習(連立方程式①：基本部分) - 塾講師が数学をやりmath 濃度の問題(出典：明治大学付属明治) 容器Aには濃度a%の食塩水100g…

中学2年生の数学の復習(連立方程式①：基本部分)

最近は自分が受けた中学よりは易しい学校ですが、中学入試をする子を教えるようになって久しぶりに中学受験の算数に触れています。移項や方程式などの考えを使わず説明するのは数学を学んだ後では中々難しいですね。気を抜くと余計なことを言って逆に生徒を混乱させそうなのでそういう意味でも緊張しています。 では本題。中学2年生の範囲より「連立方程式」の基本部分です。連立方程式の利用(濃度や速さなど)の簡単な例題も同じ記事にしようと思いましたが長すぎになりそうなので分けようと思います。 連立方程式と解 x＋y＝1のように、文字が2つ入った1次方程式を2元1次方程式といいます。この式が成り立つようなxとyの値はたく…

中学2年生の数学の復習(式の計算)

12月になりました。定期テストもほとんどの学校が終わりましたが、中学3年生、高校3年生は受験がまだ残っているのでもう一頑張りですね。推薦で高校に受かった人もいると思いますが中学校で勉強したことが全然できないまま高校に行くとものすごく勉強面で苦労するので絶対に復習だけでもしておきましょう。 理由は復習しないまま高校に行けば分かりますが、そんな理由は分からないままいた方が良いですから……。 では本題。中学2年生の範囲より、「式の計算」のまとめです。 単項式と多項式 数字や文字のかけ算だけで作られた式を単項式と言います。 この時、かけられている文字の個数をその式の次数と言います。 単項式のたし算(ひ…

中学生の数学(ケアレスミスを無くすための3つの心がけ)

(最終更新日 2018/11/30) 教えている子の数学の定期テストが返ってきたようで、ケアレスミスしなかった子とした子(同じ中学校)の点数差が20点ほどあったのでこういった記事も書いてみようと思います。 ケアレスミスの有無で「学力的に低い子が高い子よりも高い点数をとる」事はありえます(自分が教えている子で今回の期末テストでありました)。 問題文の「～を求めよ。」「～を求めなさい。」に線を引く。 記述式だとこういったミスは割と低くなると思いますが、解くのに使った過程があっているのに答えるものが違っているから不正解、は精神的にも良くないのでそういうミスが多い人は「この問題は何を答えるのか」確認す…

個別指導塾で短期のバイトをする人向けの話

そろそろ塾も冬期講習の時期なので、「塾で講習の間だけバイトしようかな」と思っている大学生などいそうなのでそういう層向けの話を。 ※注意 1. 当然ですが全ての塾がここで書いた通りとは限りません。 2. タイトルで書いたように個別指導の話です、集団塾ではありません。 服装に関して 塾によっては制服(というなの白衣)があったりしますが、面倒な場合はスーツが楽ですね。着て来ていい服装に関しては最初に貰える書類に書いてあるはずなのでそれを確認しましょう。 時給に関して 1コマ〇円のところが基本だと思いますが、「〇分前には来るようにしてください」と言われると思います。まあ「授業前に慌ててくる講師」と「早…

中学1、2年生の数学(11月末～年始に勉強するなら？)

2学期の期末が終わる中学校が出てきそうな時期になりました。テスト前日に徹夜して翌日「_(:3 」∠)_」となるのは大学でも見ようと思えば見れる風景です(経験談)が、一番いいのは日ごろからきちんと復習して前日はしっかり寝る事、ですね。とはいえ「次回からこうならないようにしっかり毎日勉強しよう」と思って簡単に実行出来れば苦労しませんが(経験談)。 前置きはこの辺にして、本題。2学期期末から年始、そして3学期を迎えるまでにやっておきたいことです。 一番良いのは得意分野を伸ばすよりは苦手分野を減らす事ですが、1年生2年生で習う分野のうち、きちんとやっておきたい分野の優先度を決めるとどうなるか個人的に考…

中学2年生の数学(1次関数と正方形、長方形)

本格的に寒くなってきました。定期テストもそろそろ、そしてもう年末なのでテスト勉強も大事ですが体調管理もしっかりするようにしましょうね(自分を含む中学2年生以外の人達もですよ)。 1次関数のどちらかといえば発展レベルになるのかもしれませんが、「四角形ABCDの周の長さが……」という問題を扱って「(´・ω・｀)？」となっている子が多かった(一番成績が良い子は突破できていました)ので「平行四辺形でもない限り実はそんなに難しくないんだよ」というお話を。 正方形か長方形なら実は簡単な問題だったりします というわけで1次関数の例題として上の図を使ってみます。直線は「y＝」としていますが、「x＋2y－36＝…

中学生の数学(個人的に自習する時のNG行動5選)

2018.11.19 更新(余計な部分を削除、一部加筆) 自習する時にしてはいけない、いない方がいい行動を5つ紹介します。とはいえ個人的な理由によるものではありますが……。 1. 正誤は別として、自分で考えた解答をすぐに捨てる事 個人的には一番しない方が良いと思っています。理由は日付を書いておけば「この時の自分、こんなにできなかったのか」とその後に自分の成長を実感できるのと「こういうミス多いな」と自分で確認できる事の2つあります。よく「問題はノートに解こう」と言う教師がいると思いますが、その理由はこの2つかなと個人的には考えています。 2. 間違えた(できなかった)部分を別の色で書かない事 「…

佐鳴(数学)と塾技(数学)のレビュー

時間を用意しつつ解いてた問題集がようやく終わったのでレビューしようと思います。どっちも見た事ある人はいると思いますが…… 時々辛口になります、ご理解ください。 大きさは26cm×20cm×2cmぐらいですね。 この問題集が向いていない層 学校の問題集などにある基本的な部分の話は出てこないので、「自分で調べることをしない層」には向いていません。 佐鳴(数学)のレビュー ▲長所 ・問題毎に「基本事項」「考え方」などが書かれていたり、A～Cとレベル分けもされていてこの問題集を使える層が広い。 ・学校で使っている問題集で物足りない人にはお勧めしやすい。 ▼短所 ・強いて挙げるなら中学生の数学全てが分野…

中学2年生の数学(内角の和、外角の和の復習)

風邪が流行っているみたいですね。うがい手洗いなどの予防はしっかりやりましょう。自分は風邪になっても「どうしたらあの子はやる気出すのかなあ……」の方でうなされそうですが……。 そんなこちらの事情はさておき、本題。 内角、外角 上の三角形で、赤色の角度を内角、青色の角度のように各辺の延長した線と隣の辺との角を外角といいます。 内角の和 三角形の内角の和は180°です。四角形の内角の和は360°(三角形を2つ合わせた図形、180°×(4－2))、五角形の内角の和は540°(三角形を3つ合わせた図形、180°×(5－2))……と考えていくとn角形の内角の和は180°×(n－2)(三角形をn個合わせた図…

中学生の数学(比例・反比例、1次関数で基本部分のまとめ)

2学期期末テストの範囲が出た中学校も出て、進度が遅めの中学も1次関数が範囲に入っていそうなので1次関数の中でも基本的な部分の要点(つまり覚えておかないと問題は解けない可能性が高い)を改めてまとめようと思います。 基礎の基礎のみ書いたため省略している部分がとっても多いので、この内容を覚えただけで済ませず問題を解くようにしましょう。 以下、「関数」は「yはxの関数である」とします。 1次関数の式(2年生向け) 「y＝ax＋b」と書く事ができます。「xとy」を「変数」、「a」を「変化の割合」「傾き」「比例定数」、「b」を「切片」「定数部分」と言います。 比例・反比例(1年生向け) 「xが2倍、3倍、…

中学2年生の数学(証明に発想力はあまり必要ないという話)

期末テストが近づいてきて、同時に風邪が流行っているようです。生徒側ももちろんですが、教える側も体調管理はしっかりしないといけませんね。 では本題。 証明の問題を解かせている時に、終わっていないのに手が止まっている子を見かけます。書き方が分からない習ったばかりならともかく、テスト範囲に入るなら書き方を早いうちに覚えて、色々な問題とやっておきたいですね。 問題の中には仮定が式のみなら分かりやすいですが、文字のみの時もあります。問題で描かれている図に描きこめば多少証明を書きやすくなりますが、最初から手を動かせない場合は ①まずは結論を見て合同だと言いたい2組の図形を決める ②2組の図形を決めたら仮定…

中学1年生の数学(いろいろな方程式)

今の時期に1年生の最初の頃に習う事を書いても意味ないのでは、と思っていましたがこの前中学2年生が「x/2 ＝ 3」みたいな式を解けなかったので簡潔に復習として残しておこうと思います。 「負の数って何！？」でない限り、苦手な原因は小学生で習った範囲にあります。変なプライドは持たず、小学校で使った教科書やドリルも見直すのもいいと思います。 方程式の解き方 「xの方程式」と書かれている場合、計算して「x＝(それ以外)」の形にすれば解く事ができます。xの前に何もない場合(正確には1がありますけど)はいいですが、最初から何もない問題はあまりありません。 以降、方程式はxの方程式として、問題で最初からxに…

中学生の数学(自分で勉強する時にやった方が良い5つの話)

2018.11.12 更新 期末テストが近づいてきたので少し調整。 その1 分かる部分だけでも文字や図にしてみよう(最重要) 解けなくてもいいので、とりあえず問題文から分かる事を文字として書いてみたり必要なら図や表、グラフを描くようにしましょう。「自分はここまでは分かっている」事を分かりやすく表現できます。 このやり方は連立方程式の文章題を考える時にも有効です。 すぐに分からないと言う子に限って解く時に何もしていない可能性が高いです。分かっている事を図など使ってまとめたりするぐらいはしましょう。 その2 きちんと問題を解くようにしよう 「これならできそうだし面倒だから解かないでおこう」は時間の…

中学生の数学(1、2次関数の変域の復習をしてみます)

akina03math.hatenablog.com 以前書いたこの記事が意外と見られているようなので、復習も兼ねて1次関数、2次関数の変域の問題をやってみましょう。今回は考え方と答えも書こうと思います。 共通している考え方 上に貼った記事でも書きましたが、「変域の問題で分からなかったらグラフを描いてみる」のが基本的な考え方です。今回はこれをもう少しだけ掘り下げてみます。 1次関数の変域の問題 (1)1次関数y=ax＋1は、xの変域が－2≦x≦4である時yの変域が－1≦y≦2であるという。aの値を求めよ。 (2)1次関数y＝3x+2は、xの変域がs≦x≦tである時yの変域が5≦y≦8であるとい…

中学生の数学(平均点以上まであげるための勉強法)

担当している子に、それなりに時間をかけて教えていた分野のテストをやったら正直酷い点数だったので「ところで家で復習とかやってる？」と質問したら「自分なりにまとめたりはしています。」と答えられたので、自分が中学生の時にしていた勉強法を書いておきます。中学生の頃の成績ですが、国語と英語が壊滅(直球)していましたが、他の3教科のおかげで偏差値は60以上ありました(中学卒業時の成績です)。平均点をとれていない層には意味があると思います。 前置きはこの辺にして、本題。 無駄な時間にならない勉強をしよう 自分が分かっている事をまとめ直すのははっきり言うと無駄です。ただ、分かっている問題、例えば教科書の例題で…

中学2年生の数学(証明問題の穴埋めと問題の考え方)

自分が住んでいる地域では数学では中学1年生は関数、2年生は合同、3年生は相似を習っている段階(学校によって少し違いますが)なので、しばらくはそれまでの内容の中で自分が中学生の時に苦手だった分野とかを掘り下げようと思います。 というわけで、「書き方がいまいちよく分からない」という人が多い分野の代表である証明問題の穴埋めをやってみましょう。3年生の人(相似で詰まっている)向けの内容も少し入れてみます。 例題を始める前に 「〇〇ならば××である」の時、「〇〇」を仮定、「××」を結論という、と習ったかもしれません。これは確かにその通りで、「ならば」の前が仮定で後ろが結論と考えるとイメージしやすいですが…

中学生の数学(1、2次関数の変域の問題での考え方と実例)

(2018/11/4 更新) 少しずつ期末テストが近づいてきたり、中学3年生は三者面談があるので面談担当の先生以外は授業コマが増えたりして「自分の時もこうだったのかなあ……」と思いながら最近は授業しています。中学2年生は学校によっては証明の範囲に突入し、ここで心折れる生徒もいそうなので教える側は頑張らないといけません。 それはさておき、本題。 関数の分野で登場した「変域」の問題について、1次関数2次関数関係なく「(´・ω・｀)？」となっている生徒がいたので「問題で出てきたらどう考えるのか」を書いておきます。 そもそも変域とは？ 変域とは、「変数がとれる値の範囲」の事です。「変数が移動できる値の…

中学2年生の数学(1次関数の利用：動点の基本問題)

2018.11.18 更新 はじめに 1辺の長さが1cmの正方形の面積を1平方センチメートルといいますが、1「cm^2」と書きます。 動点の例題と1次関数の文章題での考え方 AB＝5cm、AD＝10cmの長方形があり、点Pは点Aを出発して毎秒1cmでA→B→C→Dの順で進む。x秒後の△APDの面積をycm^2とする。横軸をx、縦軸をyとしてグラフを描きなさい。 動点問題のポイントは2つ 1. 動く点は毎秒何cm動くか 2. x、yは何を表すのか 特に1は間違えるとxの変域も違ってしまい、その次にあるグラフの問題も間違うことになるので「最初に(動く)点は毎秒何cm動く」部分に線を引くようにしまし…

中学2年生の数学(証明②二等辺三角形と直角三角形)

akina03math.hatenablog.com これの続きです。 二等辺三角形について 二等辺三角形と言えば、「長さが等しい辺が2つある」事は名前から想像できると思います。二等辺三角形の性質として、この他に「底角は等しい」というものがあります。底角というのは上の図でならなぜか強調されている∠Bと∠Cが底角になります。「二等辺三角形で、長さが等しい辺が無い辺の両端の角度」と思えば大丈夫です。 でも、本当に底角は等しいのでしょうか？「底角は等しい」のを証明してみて、そこから言える事について考えてみましょう。 例3. 二等辺三角形の証明問題 △ABCはAB＝ACの二等辺三角形で、∠Aの二等分線…

中学2年生の数学(証明①三角形の合同条件と証明の書き方)

三角形の合同条件 一方の図形を移動させて他方の図形と完全に重なる時、この2つの図形の関係を合同と言います。合同であるとき、記号「≡」を使います。 三角形は毎回重ねる事をしなくても、共通点があれば合同であることが分かります。この時の共通点が合同条件です。 三角形の合同条件 ①. 3組の辺がそれぞれ等しい。 「三辺相等」と言ったりもします。 ②. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。 「二辺挟(夾)角相当」と言ったりもします。 ③. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。 「一辺両端角相当」と言ったりもします。 合同条件の別名について 自分はこの「三辺相等」「二辺挟(夾)角相当」「一辺両端角相…

中学2年生の数学(直線の式を求める問題)

akina03math.hatenablog.com 昨日書いた記事で、1年生の内容ですがこの内容に原点を通らない話を加えると2年生の内容になります。 2018.11.11 編集済 1次関数の式を求める問題 始める前に yがxの1次関数である時、yは y＝ax＋b と書く事ができます。このaを「変化の割合」「傾き」、bを「切片(y切片)」と言います。 変化の割合はxの増加量に対するyの増加量の値のことで、式で書くと 変化の割合＝yの増加量 / xの増加量 です。増加量の求め方は、点が(A,B)と(C,D)の2つある時、 xの増加量＝C－A yの増加量＝D－B です。この時、xの増加量をC－Aと…

中学1年生の数学(グラフ、グラフから式を求める)

「グラフを描け。」とか「～を通る式を求めよ。」という問題、1年生の時点でよく出てきますが「何をすればいいのか」を分かっているなら点数は安定して取りやすい分野です。文章題や応用以外はできるようにしたいですね。 グラフの描き方とグラフから式を求める方法 例1. y=2xのグラフを描いてみよう。 グラフを描くためには 1. 「y=」に直す。 2. 通る点を求める。 3. 通る点を平面に描いて、それを直線で結ぶ。 の3つを考える必要があります。今回は比例ですが、これが反比例の時でも考える事は同じです。では、y=2xが通る点を考えてみましょう。 y=2xに x=0を代入してみると y=2×0=0 x=1…

中学1年生の数学(反比例、座標)

読む前に 学習サイト等見たことがある人は知っていると思いますが、分数は (例)2分の1 ＝ 1/2 とも書けます。ここでは何度か書いていますが、日付ではありません。 反比例とは yがxの関数で、xとyの関係がy=a/xとなるとき、「yはxに反比例する」と言います。aは0ではない定数で 1. xが2倍、3倍、……となるとyは1/2倍、1/3倍、……となる。 2. aを比例定数といい、a=xyが成り立つ。 の2つは覚えておきたいですね。敢えて太字で色を着けましたが、反比例の式がすぐに出てこない人は割といます。塾で生徒の問題用紙を見ると y=x/a y=a/x の2つを書いている時があるので、そうい…

中学1年生の数学(関数とは？、変域、比例)

関数とは？ 抽象的な表現をすると、「二つの文字があって、その二つの文字の関係を示すもの」が関数です。 例を挙げてみましょう。 ・青森県→東北地方 ・千葉県→関東地方 ・岐阜県→中部地方 ・大阪府→近畿地方 ・香川県→四国地方 ・佐賀県→？ みたいな関係があるとき、「？」には何が入るでしょうか？流れで予想できると思いますが、「九州地方」が入ります。左側の文字が右側の文字になるためには、「左側の文字がある地方は」という変換をする必要があります。ではこの続きで ・〇〇県→△△地方 を考えてみましょう。このままだとどちらも埋まりませんね。しかし、「都道府県が決まれば△△地方は決まる」事が分かります。こ…

書こうと思っている記事について

初めまして、閲覧ありがとうございます。 ブログ開設の最初の記事なので、このブログで書こうと思っている内容について。 1. 数学に関する話 主に「中学生の内容」、特に「偏差値換算で45～55あたり(平均点未満だったり以上だったりする)」の層向けの内容にする予定です。この辺は自分が個別指導の塾に勤めているのもあるので、自分もいかに簡単に説明できるかの練習も兼ねています。応用レベルの内容は扱う予定はありません。個人的には余程難しいものでもない限り、基礎レベルが理解できているなら応用レベルも多少は解けるはず、と考えているからです。 2. 塾で教える事になった科目の話(数学以外) 自分が勤めている塾では…