春蘭

散歩していたら春蘭が咲いていた。 少し前まで雑木林に普通に自生して見られた春蘭は地味だがよく見ると気品のあるところが (過去の) 日本人の感性にあうのか昔から愛されており、自生しているものを掘って庭に植えたり、鉢植えにして楽しんだという記述も少し前のものを読んでいるとよく見かける。 明治天皇も行幸の折に自ら見つけた春蘭を杖で掘って持ち帰り鉢植えにさせたという記録が残っている。 葉に麩が入ったり、花の色が変わっている個体変異は、明治期から昭和にかけて各地の里山で発見されて栽培、珍重され、「日本春蘭」として現在でも愛好している人がいる。

瞳をとじて

最近、映画健忘症にかかった感のある自分は遅まきながらこの映画を見て、まるで登場人物のフリオがしただろう体験をしたのだった。やはり映画館こそ失われた記憶を取り戻すのに一番適した環境なのかもしれない。 少なくともこの作品の登場人物たちはそのことを些かも疑っていないように振る舞っていることは感動的である。この映画を見る前から前兆のように、『ミツバチのささやき』の最後でアナ・トレントが窓を開いて「私はアナ。私はアナ」と呟やいてあの印象的な瞳をとじると、それまでにない大人の女性のような表情を見せるところにまいったことを思いだした。瞳をとじること。ロベルト・ロッセリーニの『ドイツ零年』の少年は自分の見た現…

大阪大学入試問題 (2024 年, 数学)

すでに話題になっているようだが, 大阪大学の 2024 年数学の文理共通問題に立体幾何の証明問題が出題されている. これは面白そうだと思ってやってみた. 制限時間もあるので, どこまで詳しく証明を書けばよいのかわからないが, 立体幾何のよく知られた基本命題は (すでに以前の記事で証明済みなので) ここでは証明なしに使った.【問】 【解】 まず, 存在証明をする. 存在証明は実際に存在する具体例をひとつでもあげればよい. どうやって直線 と直線 の共通垂線を作図できるか考えるのが一番簡明だと思う.直線 を含み, 直線 に平行な平面 を作ることができる. (なぜかというと, 直線 の任意の点から,…

駅馬車の広告

戦前 (1940 年) の映画雑誌の広告を見ていたら『駅馬車』の広告に小津安二郎 (旧字だから, 小津安二郞である) と溝口健二のコメントがある。これが淀川長治さんが当時在籍していた日本ユナイテッド・アーチスツで作った宣伝なのか。

プリズム

神奈川県公立高校入試, 理科の問題は最初にプリズムの問題だった.プリズムに関しては, 下の図からわかるようにという関係がある. はもちろん定数で, 「三角柱」 が「正三角柱」なら である.高校入試では定番の太陽光発電パネルの問題も出ていたが, これも発電効率がもっとも高くなるとき,(パネルの角度)＋ (太陽高度) = 90°が把握できていれば簡単な問題であろう.

神奈川公立高校入試 2024 数学から

例年より小問がひとつ減った.【解】 (ア) 同じような問題を中 1 の定期テスト対策でやったばかりである. 直線と平面の垂直を理解していることと, ピタゴラス (三平方) の定理の基本問題である. 暗算できるだろう. 答えは 2 番.(イ) 展開図を描き直すときにわからなくなるむきは「有向角」を使うと考えやすい.ピタゴラスの定理から,である. (高校の余弦定理を使わないで) の長さを求めるために補助線を引く(, ).だから, から, したがって, //

上野昂志さん

前の記事で白土三平の『忍者武芸帳』のことを書いた後、偶然にも上野昂志さんが 2020 年に書いた『「読解力」を巡る一考察』なる文章をネットで見つけて、それを読んでいたら『忍者武芸帳』 のことが出てきた。上野さんの文章は中公新書の『教養主義の没落』 (竹内洋) をひきながら, 学生における読書の歴史的変遷を辿ってみようというもので、なかなか面白かった。一部だけあげておく。 なお、上野さんは別のところで「単行本漫画一冊がせいぜい三万円で、しかも二冊描いて売れなければ即座にクビという劣悪な条件の下で、「命がけ」で食うために描くという行為は、諸々の意識の問題に向うよりも、まずは直接的に肉体の苦痛にぶつ…

数列の問題

小さいときに見たテレビ番組を大人になって再び見て郷愁を感じることはあっても, 作品として面白いと思うことはない. しかし, 白土三平『サスケ』のテレビアニメーションは唯一の例外である. これとても傑作というほどではないが, 1960 年代の子供向けテレビとは思えないものに仕上がっていて, いま見てもじゅうぶん鑑賞に耐えるのが不思議である. もっとも, 白土三平であれば『忍者武芸帳』のような漫画の方がはるかに面白い.横浜国大, 理系の 2017 年の数列の問題を解いてみたのであげておく.【解】 (1) (2) が自然数であることを帰納法によって証明する. のとき, より成立. のとき, が自然数…

クロモジ

部屋の加湿を忘れて寝てしまい、翌朝喉の調子が良くなかったので、普段は舐めることなどない飴でも試してみようと思いたち、近所のドラッグストアを物色していたら、「クロモジ」という名前が向こうから勝手にやってきて目に入ったので、迷うことなく「養命酒製造」と赤字でデカデカと書かれたその袋を購入した。幸田文は『木』の中で、 草木に心をよせることについて、「心をよせるなど、そんなしっかりしたことでない。毎日の暮らしに織り込まれて見聞きする草木のことで、ただちっとばかり気持がうるむという、そんな程度の思いなのである」と適切に書いているが、 「クロモジ」 という文字を目にした瞬間、そういえば、クロモジのあの黄色…

2024 年共通テストから

2024 年の数 IIB の数列の問題は小問の (1), (2) はともかく, (3) の最後の小問 (iv) だけはちょっと面白い. 存在命題だから, 実際に命題を真にする数列 がひとつでも存在すればよい. また存在命題を証明するには命題を真にする具体例をひとつあげればよい (具体例をどうやって見つけたかなどの理由を書く必要はない. また具体例が見つけられない場合は背理法などによって証明することもある). (I) の命題が真だと仮定すると命題 A と矛盾するので偽. (II) は第 1 項から第 100 項まで, であるような数列 が存在するので真. (III) も第 1 項から第 99 項…

PIE

包除原理 を使う入試問題を探していたら, 2023 年の東大の文理共通問題があったのでやってみる. この問題の問 (2) まで解くつもりなら, 問 (1) を (2) につながるようにどう解くかということが大事になる. もちろん問 (2) を捨てる場合にはこの限りではなく, 普通に解けばよい. 黒玉は 個しかないので で極端に複雑にならずいけるだろうという予想は立てられる.【問】 (1) (2) につなげるために, この問は重複組合せを使って (2) を解くための構想を確認しながら解く. まず赤玉 個を最初に並べる.ここで, 赤玉が隣り合わないためには, を満たす必要がある. と可逆な変数変換…

共通テストから (3)

「モンモール (Montmort) のめぐりあいの問題」, もっと一般的には「包除原理 (The Principle of Inclusion and Exclusion; PIE)」——高校でも簡単な場合を習うが, シルヴェスター (Sylvester) は形式論理の定理として証明した*1 ——の応用なのだが, ここでは誘導に忠実に解くことにする. 人で交換会が終了する場合の数を とおく. また 人で交換会が一回で終了する確率 は,で与えられる., は明らか. (1)(i) (1)(ii) (1)(iii) 求める確率を とすると, (2) (3) (4) が自分のプレゼントを受け取るのは,…

共通テストから(2)

数 1A の共通テスト問題 (2022 年) の整数解の問題は, 素直に誘導に乗る場合の解を記載していなかったので, ここに一応あげておく.1) を用いると, から, の正の整数の最小値は, . このとき,また, の 桁の正の整数の最小値は, . このとき,(2) (1) から, だから,つまり, //(3) から,(2) の結果 から, であるが, と は互いに素であることより,つまり,である. が 桁の正の整数で最小なのは,このとき,(4) を用いて, (2) の考察と同様にして,だから, と は互いに素であることより, の正の整数の最小値は, . このとき,

共通テストから

数 1A の共通テスト問題 (2022 年) は整数解の問題はやった記憶はあるが, 他の問題もやったので一部をあげておく.(1) , のとき , , のとき (2) , とおき, , のただひとつの共通実解を とするならば, を満たす. のとき, となり, 重解も持たないので はただ一つの共通実解ではない. したがって であり, これから, を必要条件としてよい. 共通実解が のとき, から, となる. 解と係数の関係により, の他解は , の他解は であり, となる.次に が重解を持つ場合は,から, で, は異なる 実解を持ち, 共通実解を持たないので, となる. // (3) つまり,した…

飯沢匡

最近、飯沢匡の文章を読んでいて、「ヤンボウ・ニンボウ・トンボウ」の作詞と「ブー・フー・ウー」の作詞はともに飯沢匡ということにいまさらながら気がついた。 ※ 飯沢匡の『武器としての笑い』によると、この頃は児童劇というものは児童がやるとういう考え方が圧倒的に強く、「ヤン坊」「ニン坊」「トン坊」 の声を担当した里見京子、横山道代、黒柳徹子の名前は一年間公表されなかったとある。また同書には不良少女的カラスの「トマトさん」を登場させたことがこの作品の成功の大きな要因であったとあり、そのカラスを新村礼子が熱演したとある。なお、飯沢匡にはウォルター・デ・ラ・メアの “The Three Royal Monk…

集合の内包的表記

自分が高校生だった頃になく, 今はあることで羨ましいと思う数少ない数学の参考書は, 長岡亮介著『総合的研究 論理学で学ぶ数学――思考ツールとしてのロジック』 (2017) であるが, その後書きにこんなことが書いてある.蛇足に過ぎないんだが, 集合を表わすのに, 「外延的記法」「内包的記法」といいながら , 実際には, 「パラメータ記法 」 (?) のような省略的便法としての集合の表わしかたが普通に行われていることも理由としてあるのではなかろうか. 内包的記法で書くとは, 要素がその集合に入ることを許される条件を書くことである. それは (普遍集合が定まっている場合) 述語 = 命題関数を真に…

全称命題と存在命題

全称命題と存在命題の扱いに慣れるために, 以前解いた問題を見直してみる. ※ 2 つ前の記事 「便利な(?) 論理演算」からの続きである.【問】 は定数とする. つの不等式, を同時に満たす整数 が存在し, かつそれが自然数のみになるとき, の値の範囲を求めよ.【解】 与えられた二つの不等式を整理して, 問題の条件から,(最後の上の式) (下の式) したがって, //【問】 と は同値であることを証明せよ.【解】 () となるように を取れば成立する (稠密性より, このような はとれる).() //※

涙腺が緩む

読んでいるのに、まるでホークスのスクリューボールの一場面を見ているかのような味わい。自筆の年譜の昭和二十七年 (十六歳) のところに、「(注: ジェラール・フィリップと) 同じエレベーターに、東和商事社長とその令嬢が乗っていて、胸もとに『陽気なドンカミロ』の翻訳をかかえる令嬢の横顔に強く惹かれる」とあるのを思い出し、ジュリアン・デュヴィヴィエの『陽気なドンカミロ』 (1952) は、日本公開が昭和二十九年で配給は東和だったんだと余計なことまで調べてしまった。※ 『映画に目が眩んで 口語篇』 によれば、戦後第一回のフランス映画祭の初日のことで、上映されたのはルネ・クレールの『夜ごとの美女』 (1…

便利な (?) 論理演算

自分だけそう思っているにすぎないかも知れないけれど, 便利だと思っている論理演算について書いてみる. なお, ここでは恒真命題は , 恒偽命題は で表わすことにする.まず, 単項命題 , の書き換えとして,便利だと思っているのは, 前件で連言になっている命題を否定して, 後件に移動して選言として加えても, その逆の操作を行なっても同値だというものである. つまり,以上二つをまとめて, 公式化しておくと,となる. 一応, 証明しておくと,たとえば, の間接証明には次のやり方があることがわかる. これは対偶による証明に他ならない. 他にも, が考えられる. 背理法とは, 上の つ全部を指すのか, …

場合分け

ここでは, 線型代数の知識を用いることなしに, 直線 が平行となる条件を求めてみる.上の つの方程式が直線を表わす条件は,※ 中括弧 は 「かつ」を意味する.ここで,だから, 次のように場合分けすると, すべての場合を排他的に場合分けできる.※ 縦線 は 「または」を意味する.A) のとき: について解いて, である.B) のとき:このとき, となる. は, となって, 軸に平行である. は, となり, 軸に平行とはならない.したがって, この場合, ※ とすると, だから, したがって,となる. をいちいち書くのは煩わしいので, 大前提として省略しているのである.//これから, C) の場合…

不等式の整数解

いつの頃からこの種の問題を扱うようになったか知らないが, 数 の不等式のところで, 整数解を何個持つ云々という類いの問題があるのだが, そこに挙げられている解法については唖然とした. こんな風に解かないといけないものなのだろうか. 自分にはとても真似できない複雑さである. ということで, 少し自分なりに解いてみる. なお, の論理的否定は, であるといったようなことぐらいは使わせてもらう.【問1】 不等式 を満たす整数 が だけであるとき, 定数 の範囲を求めよ.【解】 であればよい. より求める の範囲は,である.//【問 2】 は定数とする. つの不等式, を同時に満たす整数 が存在し, …

2次方程式の解の配置

前の記事の続き. 今度はグラフを移動しないやり方で, いままでの解法を整理しておく. 下の二つの問題が解ければ, 他の問題もさして難しくないだろう.【問】 次方程式 の異なる実数解のうち, ただ つが, の範囲にあるような定数 の範囲を求めよ.【解】 とおき, の解を , () とする. ならば, の範囲にただひとつの実数解を持つ (逆は一般に成立しない).次に, , となる場合を調べる. この場合, 異なる実数解を つ持つ場合は存在しないことに注意する.異なる実数解が にひとつも存在しない解の配置は, であり, として, 以下は, 異なる実数解が にひとつも存在しない条件と同値である. のと…

グラフの移動の応用

前回の記事で, グラフの移動について書いたので, 前にも解いた 次方程式の解の存在範囲の問題をもっと簡単に解いてみよう.【問】 方程式 の つの実数解のうち, 少なくとも つが の範囲にあるような定数 のとりうる値の範囲を求めよ.【解】 とおく. そうすると方程式は, を 軸に沿って 移動し, して考える. 範囲はそれに伴って, とする. 実数解をもつ条件は, から求めると, または となる. 解を とおく ().以下, 解と係数の関係を使う.A) となる場合 かつ より より したがって,B) となる場合 かつ より かつ より したがって,C) となる場合 より かつ より したがって, …

グラフの移動

グラフの移動の話も前に書いたんだが, その後, もう少しマシな説明を思いついたので, 下の図を使ってしてみよう. いま, 曲線 (もちろん について解いた でもよい) を 軸の正の方向に , 軸の正の方向に 移動するとする. 曲線の移動だけだとわかりにくいので, 上の図の閉領域 を切り抜いて, その図形全体を へ平行移動したとする. いま, 原点を として曲線 の方を見れば, その景色は原点を として見ていたときと変わらないはずだ. (なにせ二つの図形は合同なのだから.) 原点 から見る限りは, 点 は 点 と同じく, を満たしている. しかし, 原点 はかりそめの原点であって, 本来の原点 …

一般角での証明

三角関数の初等的説明で, ときどき気持ち悪いのは, 「それって一般角で本当に成り立つの?」と思ってしまう疑問に答えてくれないことだ. 別に証明が大変というわけではない. たとえば, の場合, 加法定理で証明すればよいではないかと思うかもしれないが, そもそも加法定理を証明する場合, ほとんどは還元公式を使っているので, やはり違うやり方で証明しておいた方がよい. (そもそも加法定理は鋭角の場合で成立することさえ示せれば, 還元公式により一般角でも成立することが示せるので図形的証明は一般角でも有効なのだ.)下図のように原点を中心とする単位円上の任意の点 を とし, 直線 に対称な点を とする. …

三角関数の還元公式

三角関数の余角や補角の還元公式は上の図のようにグラフから判断するやり方 *1が一番直感的だし, 簡単だし, 早いと思うが, 微分や積分を使っても導ける. この方法だとほぼ瞬間的にわかるものもあるし, 時間がかかるものもある. (複素数で, , , をかけるよりは早い気もする. ) 電気回路の交流理論で (電圧に対して電流の) 位相が 90° 進むとか遅れるとかいうので, 馴染みのある人もいるだろう。三角関数 (, ) を 回高階微分すると, 位相が 進み, 回高階積分すると, 位相が 遅れる ( 進む) と見るということである. もっとも, 周期が なので, 回微分したり, 積分すると元に戻っ…

和差算と三角関数の公式

この記事は, 前にも書いたことがある内容をただ言いかえているだけである.前田隆一の『新算数教育講座』第 3 巻 (1960) については, 最近の記事で紹介したが, 文章題に「観点変更」をもたらす数理的主題のひとつとして前田は「量を分けること」もあげている. 量が大小 n 個の部分に分かれているとき, これらを同じ大きさに分けなおすには全体を n 等分すればよい. これが, 「平均」の意味だと前田は言うのだが, このことに反対する人は多分いないと思う.「くりの実を, 私は 58 個, 弟は 35 個, 妹は27 個拾った. 3 人で同じように分けるにはどうすればよいか.」いま, 2 つの部分 …

応用

前の記事の続き. 算数の文章題って, 答えを書くと文章が長くなってしまうんだが, 下のように書くと少しは見通しがよい気がする. 【問】A さんと B さんの所持金の比は 4 : 1 でしたが，2 人とも 600 円のおこづかいをもらって 2 人の所持金の比が 3 : 1 になりました. B さんははじめいくらもっていましたか. (解)下の図より, Bさんははじめ, 600 円 × (6 × 1/3) = 600 円 × 2 = 1200 円もっていた。 【問】何人かの子どもにあめを配ります. 1 人に 5 個ずつ配ると 10 個余り, 7 個ずつ配ると 4 個不足する. 子どもの人数とあめの個…

倍概念から分数へ

前の記事からの続きだが、文章題の話ではないのでタイトルを改めた。倍概念を使って分数を説明することもできる。以下はその概略である。1) 単位分数n は整数とする. 量 A が量 B の n 倍と同じであるとき, 量 B は「量 A の 1/n 」という.2) 一般の分数量 A と量 B の大きさを比較するのに第 3 の量 C があって A は C の p 倍である. B は C の q 倍である.とする. 後者から C は 「B の 1/q 」だから, 前者に代入して C を消去すると A は 「B の 1/q 」の p 倍である.これを簡単にA は B の p/q 倍である.というが, 気をつ…

文章題にどのように躓くのか (2)

昭和 16 年に発行された國民學校初等科 (1・2年生) 向けの算數 (「算術」に代わって「算数」が初めて用いられた) 敎科書 『カズノホン』を少しだけ読んだ。図形教材に特徴があるといわれる 『カズノホン』だが、下にあげたのはそこではない。絵をまずみて文章が実際に対応していることを確認させ、次の段階で文章だけで数量的な読みまでを練習し、最終的に加法 (よせ算) の意味を理解させようとしていることが狙いとして感じられる。たし算は、1 けたのくり上がりがある計算の練習で、10 の補数を使って暗算することが強制まではされていないものの方向づけられている。実際の教室では、おはじきのようなものを使って、…

文章題にどのように躓くのか

昭和三十年代前半の算数指導についての本を読んでいたら「文章題」に子どもがどのようにつまずくのかが具体的な経験をもとに書かれていて、なおかつ例示も豊富で読み物としてもとても面白いものだった。他にも面白い部分はあるのだが、このところだけあげておく。 1) 長い文章の中から、数量処理に必要な要件をつかむことが困難であるときつまずく。 2) 短い文章の問題でも用語を吟味しなければつまずく。例: 「3 人のお友だちと 60 cm のひもを分けたいと思います。1 人いくらずつになるでしょう。」という問題で、「3 人のお友だち」というのは「私と 3 人のお友だち」の計 4 人と理解する必要がある。 3) 文…

魔法の杖

字を読めるようになった頃、家に置いてあった本の一部は教えられた通りに読もうと思っても正しく読めないのが不思議だった。その最も初期の体験がこの『魔法の杖』という本を開いたときであろう。ときどき、改めて読んでみたいと思っていたが、昭和二十一年に太田黑克彥という人がジョン•バカンの唯一の児童向け小説 “The Magic Walking Stick” (1932) を翻案したものだと最近知った。復刻版も出ているらしく、藤子不二雄の二人が少年時代に夢中になって読んだとある。自分は国会図書館のデジタルコレクションで 1946 年発行のものを随分久しぶりに読んだ。挿絵もよく覚えていた。以下、はしがきのとこ…

午後の朝鮮薊

ジョン・フォードの映画の「太い木の幹の誘惑」のように蓮實さんの文章の中に植物が出てくることはもちろん少なくはないが、植物名が文章に具体的に出てくることは少ないなあと思っていた。例外は古井由吉の『白髪の唄』を評した「榎」ぐらいしか思いあたらない。『「ボヴァリー夫人」拾遺』では《le polypier》を植物の「珊瑚樹」と訳すのは誤りで、「珊瑚などの腔腸動物の石灰化した樹木状の化石の置物」だと言っておられる。ところが今回の『午後の朝鮮薊』——不思議な題名だ——では料理の素材としてではあるが、キク科のチョウセンアザミ (アーティチョーク) が出てくるし、珊瑚樹も出てくるし、お祖父様が「出来損ないの植…

ク語法 (7)

ま金(かね)吹く丹生(にふ)のま朱(そほ)の色に出(で)て言はなくのみぞ我(あ)が戀ふらくは (3560)金を精錬する丹生の赤い辰砂のように、はっきり表に出して言わないだけだ、わたしの恋は。※ ま金ふく丹生のま朱: 丹生は地名。ま朱は辰砂 (もともとは「丹」といった) 、つまり赤色の硫化水銀 () のこと。辰砂を空気中において約 600 ℃ の温度で加熱することで水銀を作る ()。砂金が混じる土砂に水銀を接触させて金をアマルガム (水銀との合金) として回収する。その回収されたアマルガムを加熱して水銀を揮発させると金が得られる。 かなし妹をいづち行かめと山菅(やますげ)のそがひに寢(ね)しく今…

ク語法 (6)

今は我(あ)は死なむよ我(わ)が背(せ)戀すれば一夜一日(ひとよひとひ)も安けくもなし (2936)もうこの身も儚くなるほどです、我が背。お慕いするあまり、一日一夜とて心安らかなことはありません。 我(わ)が命し長く欲しけく僞(いつは)りをよくする人を捕ふばかりを (2943)自分の命が長かれと望んでおります。おいでになるとおっしゃっていらっしゃらない、そんな嘘のお上手なあなたをおつかまえして、とっちめて差し上げることがわたくしの生き甲斐です。 劍太刀名の惜しけくも我(あ)れはなしこのころの間(ま)の戀の繁きに (2984)(剣太刀) 名が惜しいとも私は思わない。この頃の恋心があまりに激しいの…

ク語法 (5)

愛(うるは)しと思へりけらしな忘れと結びし紐の解くらく思へば (2558)あの方はわたくしのことをいとしく思っておいでになるらしい。「忘れないでください」と結んで下さったこの紐が自然に解けることを思うと。※ 下紐が解けるのは相手が思ってくれているしるし。 昨日見て今日こそ隔て我妹子(わぎもこ)がここだく繼ぎて見まく欲しきも (2559)昨日逢って今日一日を隔てているだけなのに、こんなに続けてあの子に逢いたいのはなぜだろう。 白たへの袖觸れにしよ我(わ)が背子に我(あ)が戀ふらくは止(や)む時もなし (2612)互いに (白たへの) 袖を触れあってから、あなたにわたしが恋い焦れることは止むときも…

ク語法 (4)

相思はずあるらむ子ゆゑ玉の緖の長き春日を思ひ暮らさく (1936)少しも思ってくれそうにない女のために、(玉の緒の) 長い春の日を思い暮らすことである。 かくばかり雨の降らくにほととぎす卯(う)の花山になほか鳴くらむ (1963)こんなに雨が降っているのに、ほととぎすは卯の花山でいまも鳴いているのだろうか。 見わたせば向ひの野邊(のへ)のなでしこの散らまく惜しも雨な降りそね (1970)見渡すとむこうの野辺に撫子が咲いている。あの花が散ってしまうのが惜しい。雨よ雨、降らないでおくれ。 このころの戀の繁けく夏草の刈り払へども生ひしくごとし (1984)このごろの恋の絶え間ないことは、夏草がいくら…

ク語法 (3)

潮滿てば入りぬる磯の草なれや見らくすくなく戀ふらくの多き (1394)潮が満ちてくると海の中に没してしまうあの磯の海藻のようなものであろうか、自分の思う人は目に見ることは少くて恋い焦がれてばかりいる。 我が背子をいづち行かめとさき竹のそがひに寝しく今し悔しも (1412)わたしの夫(つま)に限ってどこへも行くはずがないと (さき竹の) 背中を向けて寝たことが今となっては悔やまれて仕方ない。 薦枕(こもまくら)相枕(ま)きし子もあらばこそ夜の更(ふ)くらくも我(わ)が惜しみせめ (1414)薦枕を一緒にして寝たいとしいあの妹が今もいるならば、夜が更けゆくことを惜しみもしようが。 春山の咲きのをを…

ク語法 (2)

むらきもの心碎(くだ)けてかくばかり我(あ)が戀ふらくを知らずかあるらむ (720)(むらきもの) 心が砕けてしまいそうだ。こんなにもわたしがお慕いしていることをあの人は知らずにいらっしゃるのだろうか。 今しはし名の惜しけくも我(われ)はなし妹によりては千(ち)たび立つとも (732)今はもう名を惜しむ気持ちなどわたしにはありません、あなたゆえなら千たび浮名が立つとも。 夜のほどろ我(わ)が出(い)でて來れば我妹子(わぎもこ)が思へりしくし面影に見ゆ (754)夜明けまだ薄暗い時分に (お別れして) わたしが出てくると、あなたの思い沈まれたご様子がまざまざと目に浮かんでまいります。 夜のほどろ…

ク語法 (1)

「ク語法」が気に入っていて萬葉集の中でその語法が使われている短歌だけを適当にあげてみる気になった。み吉野の山のあらしの寒けくにはたや今夜(こよひ)も我(あ)がひとり寢む (74)み吉野の山颪が寒いのにひょっとして今夜もわたしはひとりで寝るのだろうか。 宇治間(うぢま)山朝風さむし旅にして衣かすべき妹もあらなくに (75)宇治間山の朝風が寒い。旅先で衣を貸してくれそうな女(ひと)もいないのに。 わが大君ものな思ほし皇神(すめかみ)の繼(つ)ぎて賜へる我がなけなくに (77)わが大君よ御心配あそばすな。皇祖神から後継ぎを賜わっているわたくしがないことではございませぬから。 わが里に大雪降れり大原の…

敬語

わけあって、『おくのほそ道』を読みなおした。そのときに、下にある引用中の「折(をり)〳〵にの給ひ聞え給ふを」の部分を「機会ある度に言葉を下さってお聞かせになるので」と読んだのだが、これで良いかどうかは分からない。ただし、同じ『おくのほそ道』の「天龍寺」のところに「金澤の北枝といふ者、かりそめに見送りて、此處までしたひ來る。所々の風景過さず思ひつゞけて、折節あはれなる作意など聞ゆ(﹅﹅)。」とあって、ここでも「聞ゆ」は「私に聞かせる」と読まれる。「謙譲語」——時枝誠記の『國語學原論』にある「敬語論」によれば客体化された素材と素材の間の相対的上下関係の識別にもとづいた語彙のことだが——として使われ…

現代国語

現代国語の問題——年度は不明だが共通一次として出題されたらしい——に芥川龍之介の『秋』が抜粋されていた。取り上げられているのは以下の部分で、問題文の最初に次のような説明がある。「次の文章は、芥川龍之介の小説『秋』の一節で、大阪に住んでいる主人公の信子が、東京に住んでいる妹夫婦(照子と俊吉) の新居を初めて訪れた時のことを描いている。姉妹のいとこに当たる俊吉は作家で、信子もかつては作家を志望しており、俊吉と結婚するものと周囲から見られていた。(以下略)」尚、もともとの出題文は新字新仮名表記であった。 其處へ女中も歸つて來た。俊吉はその女中の手から、何枚かの端書(はがき)を受取ると、早速側の机へ向…

関数 (続き) の続き

中学 年生に座標軸とはすでに正負の数のところで習った数直線を 本, 横と縦に配置したものだと説明していたら *1, なぜか望月新一先生のブログ記事を思い出してしまった. ​​「同じものを同じものと見做すか, それとも違うものと見做すか」という話は, 恐らく通常の数学用語で表現すると, ​「同型なもの (＝つまり, 同一の ‘設計図’ に​基づく内部構造を有するもの) を、​同一視​するか, それとも区別するか」​ というような記述の, 一般人向けの翻訳のつもりでしょうが, 同型なものを同一視することも, 区別することも, (20 世紀​初頭に遡る) 公理的集合論によって当たり前に記述できる​考…

関数 (続き)

前回の続きだが, 中学数学からはちょっと逸脱する.集合 から 集合 への関数 があって, その要素 の順番を反転した対 の集合が集合 から 集合 への関数になる条件を調べるには, 前回の記事で取り上げた関数の定義を素直に確認すればよい. まず, 任意の について対 の が存在することである. つまり となる が存在することであるが, このことを関数 が「全射」であるというのだった. さらに, となる がただ つであることであるが, この条件は関数 が「単射」であるというのだった. 同じことだが, 任意の について, ならば であるといったり, その対偶をとっていわれることが多い.以上をまとめる…

比例

なんとなくしか覚えていないが, 数学教育の現代化がいわれていた時代だから, 中学 年の数学の教科書にある「関数」の定義は「 つの集合 , があって, のどの要素 に対しても, の要素 がただ つだけ対応するとき, その対応を から への関数という. またこのとき, 『 は の関数』である』ともいう」だったらしい. いまのテキストでも「対応する」という言葉が関数の定義には使われているが, 自分の中ではそれを「対 (pair) にする」とした方がわかりやすい. さらにその「対」のことを と記号で書くと定義すればよい. は普通「座標」と呼ばれているが, 大学になると急に「順序対」などと言い出す. な…

割合

大谷翔平の打率 を 割 厘 というのは, 打あたり安打が 打と考えるのが自然だからだろう.同じように百分率で表された割合は, 単位あたりで考える方が自然な気がする. たとえば, の食塩水は, あたり食塩が 含まれていると考えた方が自分にはとっつきやすい. こういったことはあるが, 「単位量あたりの大きさ」と「割合」の考えかたに大きな違いはない. ただ「割合」で学ぶことは同じ単位 (量) 同士に限り, 割り算すると という数の比になってしまうということである. 【問】 1. の食塩水 のうち を捨て, 残りの食塩水に水を 入れてよくかき混ぜた.2. さらにその食塩水のうち を捨てて、残りの食塩水…

単位量あたりの大きさ

文章題を読んで 1 次方程式をうまく立てられない場面にしばしば出くわすのは一体なんなんだろう. 最近仮説として思っているのは, 小学校 5 年生で習うことになっている「単位量あたりの大きさ」あたりがよく理解できていないこともひとつあるのではないかということだ.まず、足し算や引き算を違う単位同士で行うことは意味をなさないということが基本である。ところが掛け算や割り算はそうではない.「何本かの鉛筆があります. 子どもに1人5本ずつ配ると, 3本あまります. 子どもに1人6本ずつ配ると, 4本たりません. 鉛筆は何本あるでしょうか？」どちらでもよいが, 仮に子どもの数を 人としたときに, 本 人 を…

マイナンバー・カードと正負の数

「ちくま」に隔月連載されている蓮實重彥の「マイナンバー・カード」についての文章を読んでいるときに, なぜか唐突に思ったのは, 英語圏では,の左辺の “-" は minus と読み, 右辺の "-" は negative と読むのが, こと数学に関しては普通だということであり, つまり, 演算子の "-" と負数の符号である "-" は区別されているということである. 慣れてしまえば, どちらもマイナスと読んでもよい気もするが, いったんきちんと区別することから始めた方が初学の人には理解が容易だと思う.負数の導入により, 演算子が "-" から "+" に変わるのは決して小さなことではない. 演…

ハリー・ベラフォンテ

日本に居て合衆国を生々しく感じた最近の出来事といえば、大谷翔平選手が自チームのベンチでひまわりの種らしきものをもぐもぐと噛みながら、その殻を片手に持った紙コップへ吐き出している光景をテレビで見かけたことくらいしか記憶がない。ハリー・ベラフォンテがお亡くなりになられたことを聞いても、なにかが生々しく浮かび上がってくることがないのは情けない感じがする。それで、彼と日本が関係する曲を聴いてみた。それから、Zoot Sims と共演した “The Night Has a Thousand Eyes” も聴いた。 The Night Has a Thousand Eyes Don't whisper t…

ルディ・ヴァリー

YouTube にプレストン・スタージェスの『結婚五年目』(The Palm Beach Story, 1942) をデジタル修復したものがあったので、ちょっとだけ見てみようと思ったら、二回続けて見てしまった。ルディ・ヴァリー (Rudy Vallée) が演じる大富豪がフロリダ行きの寝台列車の下の寝台に寝ていて、上の寝台へよじ登ろうとするクローデット・コルベール (ぶかぶかのパジャマを着ている) によって顔を踏みつけられ眼鏡を潰される場面はいつ見ても何度見ても可笑しいのだが、最近、ルディ・ヴァリーは "As Time Goes By" を最初に (1931 年) レコーディングした歌手である…

面白い

前回紹介した Dr. Geoff Lindsey の動画が興味深かったのは, 自分が浴びるほど見てきた黄金時代のハリウッド映画の中のTransatlantic English について関心を向けてくれたせいもある. 他の動画も見てみたが, 前の動画ほどではないものの, 英語教材としては群を抜いて秀れていると思う. 次の二つの動画だけ更にあげておく.英語はシェイクスピアの Iambic Pentameter (弱強 5 歩格) に代表されるようにリズムが大事だという内容. Deaccenting について.

興味深い

最近見た動画で, これが一番面白い. 「母音連続 (hiatus) 回避」を基本に整理すると, 英語の母音体系が簡単になるという話で, 内容は British English についてだが, とても役に立つなあ. もちろん動く音 (glide) である /j/, /w/ ぐらいは理解している必要があるけれど.

Frank Muller

YouTube をみていたら, Frank Muller による “The Great Gatsby” の朗読があった. 他の何よりもこの朗読が自分に英語を教えてくれた. 一体何回聴いただろう, いまでもたまに聴くことがある. Frank Muller はバイク事故が原因ですでにお亡くなりになったそうだが, 他にも沢山の朗読を残してくれていることを知った. 他の朗読も聴いてみよう.The Great Gatsby by F Scott Fitzgerald - YouTube

異なる量を割る意味

小学生に「割合」とか「食塩水の濃度」とか「速さ」を教えていて, 噂に違わず習得に困難さがあるのだなあと感じた (だからといって「はじき」だの「くもわ」だのを教えるつもりは全くない). そもそも, 「長さ」と 「時間」のような異なる量同士を足したり, 引いたりすることに意味はないと思うが, 異なる量同士を掛けたり, 割ったりすることには意味がある. そのことに意味があると一番感じるのは, たとえば, 現在地から雷までの距離を音の届く時間で測ったり, 山の高さを平野部との温度差で測ったりするときだ. 算数でいう 「比べられる量」と「もとになる量」は何かを測定することを考えれば異なる種類の量であって…

無題

近所をぶらぶらするいつもの散歩でも春は楽しい。ミスミソウの花が可憐であった。近くにカタクリの花も咲いていたし、ヒメウズの花も咲いていた。ヒメウズも可憐な花だとは思うが、ほっそりとした茎についた花はあまりにも小さく、おまけに下を向いているので、いつもうまく写真が撮れない。この前、北極冒険家の荻田泰永さんがやっていて、電車だとすぐ近くにある「冒険研究所書店」に初めて行ってみたのだが、そこで買った『きのこの自然誌』を読み始めた。「草の名をはじめて教えてくれた母へ」と献辞にはある。

正負の数

中1 の数学の最初は正負の数の計算の勉強から始まるのだが, いつも変なことを教えている気分がしてしまう.たとえば, 割り算 (除法と呼ぶようになる)は逆数をとって掛け算 (乗法) にしてから計算すると教えるのだが, だったら引き算 (減法) の方も足し算 (加法) として計算できると教えるのが, 筋だろうと思う. 実際には逆で, 括弧を外してわざわざ引き算として計算するやり方を教える. たとえば,で, 括弧の前に があれば を外すとかいうルールを覚えさせ山のように計算練習させるのだが, そんなルールが数学にあったのかとちょっと吃驚した. 記憶が定かではないが, 自分の感覚としては, 話は逆で,…

量化条件の処理

与えられた複雑な条件よりもより簡単な同値条件を求めるという問題は数学では非常に多くあるが, 最初に理解しておかないといけないのは, 一般的に「すべての」とか「存在する」とかの修飾を受け量化された変数 (束縛変数) は消去できて, 残された自由変数のみの同値条件となるということではないだろうか. たとえば 次方程式の解 が「存在する」という条件と同値な判別式には, もはや量化された変数 はどこにも含まれていない. 判別式の条件はどうして求まったかを反省してみれば, 量化条件をどのように処理すればよいかの感覚はつかめると思う.【問】 は定数とする. つの不等式, を同時に満たす整数が存在し, かつ…

分数の割り算

今度、小学生に分数の割り算について聞かれたら、次のように説明してみよう。

蛇紋岩

蛇紋岩を拾って暫し見つめていた.地球のマントル上部を主に構成するといわれる美しい緑色をした橄欖(かんらん)岩は非常に不安定で, 地表になにかの拍子で上がってくる過程で水に触れると化学的に変質してしまい, 名称からしてなにやら禍々しい蛇紋岩と呼ばれるようになる. マントルの岩石は, 大陸プレートの下へ沈み込んでゆく海洋プレートがもたらす水によって溶融してマグマになるという説明を最初聞いたときはなかなか理解できなかったが, それは地球内部にあっては水の方が不純物であるということがなかなか想像できなかったからで, その不純物としての水が岩石の固相から液相、液相から固相の平衡をずらして融点を下げるのだ…

2023 年度神奈川県公立高校入試問題から (3)

数学の問題はこれ以上記事にするようなものはないので, 理科の問題を見た. 理科の問題はやさしいので, 油断して (あるいは長い問題文にウンザリして) 問題をよく読まないで解答をしさえしなければ完答できると思う. 馬鹿らしくなって雑になってしまうようなところに罠が仕掛けてあることがよくある.理科の受験対策をしていて不思議だったのは, 「過不足なく反応する」というタイプの問題の正答率が異常に悪かったことである. それでグラフまで書いて説明したのは楽しかったが, 下の問題 (一部割愛している) は, もともとグラフまでついているので無事解答できたのではないかと思う. 【解】ア) もちろん i) の領…

2023 年度神奈川県公立高校入試問題から (2)

前の記事に引き続いて空間図形の問題をやってみた. いつも思うのだが, 神奈川県の空間図形の問題は例年つまらないものが多い. この問題も, 平面図形の中線定理を適用するだけである. なお, 中線定理は「平行四辺形の 辺の平方和は, 対角線の平方和に等しい」と同じことである.【解】 ア) 底面積は , 側面積は . したがって, .イ) だから, である. に中線定理を適用すると, したがって, となって適する解は, ※ から に垂線を下ろして求める方法もある.ウ) , , 弧 の部分を除いて側面の扇形を描いて見ると, 中心角は であることが, すぐに計算できる. だから, 中線定理を適用して, …

2023 年度神奈川県公立高校入試問題から

今日は神奈川公立高校入試だったが, 問題がもう公開されていた. 数学の次の問題は, 以前紹介した 2019 年の問題と同様に面積比を使って長さの比を求めれば容易に解ける.【解】 台形 の面積を基準にとって とする.まず,は, と相似からすぐにわかる.次に, は と を延長して相似を使っても求めることができるが,で求めてみる. , なので, したがって,また,したがって,連比を求めて,となる. だから,以上より,//

雑記 (2)

神奈川県公立高校入試の特色検査の問題を見ると, 判断推理の問題が出ている。この種の問題は, 1) 条件整理 2) 仮定による場合分け 3) 各場合の仮定について条件に矛盾するものを落とす, といった抹殺作業で解けるものがほとんどだが, 多少の慣れは必要である. 以下の例は公務員試験の問題.【解】 いろいろな考え方はあると思うが, 条件アから, A と H は 2 階または 3 階に住んでいる. 条件オが加わって, A と H は 2 階に住んでいて F は 3 階に住んでいる. 条件ウとエから C は 2 階に, D は 3 階に住んでいる. 条件イから B は 2 階または 3 階に住んでい…

雑記

神奈川県の去年の公立高校入試問題である。【解】 だから,ところで, と は相似である (下図). ピタゴラスの定理によりだから, これとより, したがって, //【別解】下の図のように, から に垂線を下ろしその足を とする. と は相似 である. と は相似であり, 相似比は だから, //

ダニエル電池

高校入試問題を見ていたらダニエル電池に関する問題が出ていて、その問題自体は興味をそそられるものではなかったが、不図、ダニエル電池の起電力を計算しようと思ったら熱力学を忘れている。以下は単なる忘備録である。まず、基本の復習。熱量 、仕事 が, 考えている系に流入する方向を正とするとき, 内部エネルギー変化 は, 第 1 法則からとなる. 外界から熱量 を受けた系のエントロピーが 増えたとすると, 外界のエントロピー変化 との合計は, 第 2 法則からを満たす. つまりが成立する.そこで, 外界の温度は, の定数である等温過程を考えることにし, 考えている系がまったく「仕事」をしない (体積仕事も…

散歩 (5)

午後過ぎ迄用事があったし、少し時雨てもいたので近くを散歩することにし、町田駅から境川沿いを上流に向けて歩いて古淵の鵜野森公園にある露頭を見に行った (相模野面)。横浜線は凡庸だなあと思っていたが、境川と並行して走っているのを見るとなかなか良いなあと見直したりした。露頭の場所に着いたときはもう日暮れどきでかなり薄暗いにも関わらず、三脚はいつものように持参していないのでどうしようかと思ったけれども、ともかく写真を撮った。最近、塾で小学生に教えていて、集中が途切れそうになると、神奈川の地形がどうしてできたかの話をすることがある。なんか胡散臭そうにしているけれど、興味は持つようだなあ。この前なんかノー…

雑記

この前散歩に行ったときに、相模川右岸の中津原台地の方から相模野台地が河岸段丘だとわかる写真を撮った。この前見つけた貝の化石を眺めていたら、以前から言われている海洋の酸性化のことを考えてしまった。最近は学校で教え始めているところもあるようだけれど、教科書に載っているレベルではまだないと思う。だけれども、この問題は地球環境問題だけでなく理科の教育的価値も高いなあ。そもそも、雨水は酸性雨でなくても、もともと酸性なのに、海水はアルカリ性である理由をまず理解しないといけない。高校生だったら化学平衡の計算の題材としてもってこいだ。 ヘンリーの法則も使うし、大学入試問題に出題しても良いくらいだ。

散歩 (4)

またまた同じ方面を散歩した。大山ばかり撮っているので、丹沢山の方を撮った。ツキガイモドキ (ルシノマ) 属の一種と思われる化石を前回に引き続き、合弁の状態で見つけた。陸から海底に有機物が堆積すると、その堆積した有機物の分解の過程で酸素が速やかに不足し、酸素ではなく海水中に含まれる硫酸 (イオン) を酸化剤として呼吸する嫌気性細菌により、硫化水素と炭酸水素イオンが生成される。海底表層にいるツキガイモドキは体内に化学合成細菌 (硫黄酸化細菌やメタン酸化細菌) を共生させているらしい 。これらの細菌は酸素を酸化剤として硫化水素やメタンを酸化してエネルギーを得るのだが、ツキガイモドキはそのエネルギーを…

散歩 (3)

性懲りもなくまた同じ場所へ散歩へ行った。「無人駅」「ホームはひとつだけ」「前に人家がある」その他もろもろが気に入って、JR相模線の下溝駅を使って移動することが一番多い。三度目になると、だんだん色々なことがわかってきて、化石採集の方も、殻付きで残っている比較的状態の良い貝化石を見つけることができた。

散歩 (2)

中津層群周辺の散歩が面白かったので、新年早々また出かけた。相模野台地が相模川の河岸段丘ということは知っていたが、段丘崖をじっくり見たことがなかったので、前回の散歩以上に面白かった。見たのは相模川の現在の河床 (氾濫原) と下段の陽原段丘の段丘崖である。木の根に覆われているところが「黒土」、その下にローム層 (上に黄褐色、下に暗褐色のものが見える) があるが、段丘ができた年代が一番新しいだけにローム層は、2 m ぐらいしかない。その下に細くあるのは、1 万数千年前の古冨士火山泥流層だろう。そしてその下から当時の河床だった礫層が見える (川の流れに沿った石の並びが見られる) 。その下の地層を中津層…

ちばてつやの少女漫画

『ユキの太陽』が宮崎駿の処女作だということとはあまり関係ないし、漫画を特別好きという訳でもないのだが、ちばてつやの少女漫画にだけはなぜか執着があるらしく、つい最近も気がついてみると『島っ子』『みそっかす』『アリンコの歌』『リナ』『ユキの太陽』『テレビ天使』などを読み耽っていた。最近、筒井康隆と蓮實重彥の『笑犬楼 VS. 偽伯爵』を読んでいたら、蓮實重彥の『時をかける少女』論が書き下ろしであったのだが、そこでは角川文庫新装版の『時をかける少女』のカヴァーイラストにある少女の「洒落た色彩の」ショルダー・バッグが貶されていて、「その時代——戦後の昭和ともいうべき過去の一時期——の日本の女子中学生たち…

散歩

天気が良いので、いつもより遠出して相模川の上流、中津層群が露頭に見られる方まで出かけた。中津層群の地質年代は、新生代第三紀の終わり (後期鮮新世) から、第四紀の初め (前期更新世) の約 350 万年から 200 万年前で、河川ではなく海で堆積した地層となり、当時の様々な貝の化石が出てくることで知られている——と、話には聞いていたものの自分では採集したことはないので、散歩のついでに試してみると、運よく見つけることができた。二番目の写真の貝は長軸方向が 5.5 cm ぐらいあって一番大きかった。この時期、植物よりも地層観察が楽しそうだが、いかんせん、近所は関東ローム層で覆われていて、東京軽石層…

神奈川県公立高校入試問題から

年度の問題である. ときどきというか, しばしばというか, 入試問題の過去問集に掲載されている解答になぜこんな不思議な解き方をするのだろうと思うことがある (人のことは言えないが).【問】 【解】 問題集の解答では を延長して求めているのだが, なぜ比を求めるところの線をわざわざ伸ばすのか不思議な解き方をするなあと思った. 普通に, を通る平行線を引けばよいではないか.台形 を横切る平行線の線分 の長さを求めるのはよくある基本問題の一つである. 加重平均で求める方法もあるのでここではそれで求めてみる (もちろん, 台形に対角線を引いて二つの三角形に分割して線分の和として求めてもよい). とする…

九大入試問題から

理系の問題である. いままでの知識で解ける問題だから詳しくは書かない. ところで, 大正九年に初版が出されて, 百数十版を重ねたという『わかる幾何学』の改訂版を遅まきながら入手した. 改訂版なので当時の趣きがどれほど残っているのか定かではないが, 「緒言」にはこんなことが書いてある.「殊に幾何学は数学中の暗記物であるから, 問題までも記憶すべきである」なるほどなあ. やはり秋山武太郎は, わかりやすい嘘は言わない人だ.【問】 【解】 (1) 問題文の中点云々は, 四面体が等面四面体であることを別の言葉で言っているだけである. 等面四面体は直方体に埋め込まれるから, 直方体の稜の長さを , , …

京大入試問題から (6)

年の問題. これは中学生で解けるなあ. 大学入試問題だから三角関数を使ってみよう (中学生はピタゴラスの定理を使えばよく, 手間はそれほど変わらない).【解】 から に垂線を下ろし, 足を とする. は (直角) 二等辺三角形なので, は の中点である. は と垂直, また与えられた条件から, とも垂直である. したがって, は平面 と垂直である. ゆえに, は, と垂直である. これより, は二等辺三角形で である. また, 平面 は を含むので, 平面 と垂直である. このことから, は, から (平面 と平面 の) 交線 に下ろした垂線の足に他ならない. とすると, 余弦定理より,これか…

京大入試問題から (5)

年の文理共通問題. 正確な記憶は残っていないので間違えているかもしれないが, 問題を見ていてると, 清宮俊雄先生がある雑誌に書かれていたことを思い出した. いつ頃のことなのかは覚えていないが, 清宮先生が中学校の数学の教科書の校閲を依頼されて内容を確認されると, 「相似の位置」の説明のところに, 相似な三角形を対応するそれぞれの頂点を結ぶ 本の直線が一点で交るように置くと二つの図形は「相似の位置」にあるというような記述があって, それも清宮先生が指摘されるまで長年そのまま掲載されていた内容だそうで, 国定教科書にある記述だったらなんでもそのまま信用するのかと明らかに怒っておられるのが感じられた…

都立国立高校入試問題から

高校入試問題に戻って, 年度の国立高校入試問題の一部だけやってみた.立方体の 辺の長さは cm である.【解】当たり前といえば当たり前なのだが, 「直線と平面が平行である」についてもっとも基本的なことを確認しておく. 直線と平面が平行であることの定義は, 「ひとつの直線とひとつの平面が共有点を持たない」ということである. それで, ここから出てくるもっとも基本的なことは, 「 つの直線が平行ならば, その一つの直線を含みもう一つを含んでいない平面は, 含まれていない直線と平行である」ということである. 簡単だが証明しておく.直線 , を平行な 直線とする. を含み, を含んでいない平面を とす…

ゴーシュ四辺形

宮澤賢治も詩の中で使っている「ゴーシュ四辺形」とはすべての辺が同一平面上にない四辺形のことである. 下の図で四辺形 はゴーシュ四辺形で, 四辺形の対角線 で分けられる と は同一平面にはない. いま, ゴーシュ四辺形の向かいあった辺 , の中点をそれぞれ , とする. そしてその二つの中点を通る任意の平面 をとり, 平面 がゴーシュ四辺形の残りの辺, , と交る点をそれぞれ, , とする. また, ゴーシュ四辺形の頂点 , , , から平面 に下ろした垂線の足をそれぞれ , , , とする. そうすると , は中点であるから, であることが三角形の合同からすぐにわかる. すると,であり, この…

京大入試問題から (4)

どういう誘導なのかよくわからないまま解いてしまった. の条件があると はもっと簡単に解けるということなのだろうか. を証明するために無駄な条件がある気がする.【解】(1) 合同な三角形を確認すると, である. が二等辺三角形であることを証明する. と において, 上の合同より , 中点だから, , また, 上の合同より, なので, 二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことより, と は合同である. 合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので, である. したがって, は二等辺三角形である. は二等辺三角形 の底辺の中点なので, は の垂直二等分線で, は, に垂直となる. 下の図は平面 が, …

京大入試問題から (3)

年の京大入試問題は, 文系と理系で出題内容が少し違っていることに気がつく. 最初の方が文系の問で, こちらは「重心」, 次は理系でこちらは「外心」である. どちらも同じようなものであり, まとめて考える. 【解】 四面体の各頂点から対面に下ろした 本の垂線はいつも一点で交るわけではない. しかし, この場合垂線は, 文系出題では四面体の重心, 理系出題では四面体の外心で交ることになる. 四面体の重心, 外心の存在はいままでの記事ですでに扱った. ここでは垂線の交点を とする. 上の図で, は平面 に垂直, は平面 に垂直であるから, 平面 と平面 の交線 は, とも とも垂直である. したがっ…

等面積四面体は等面四面体

年の京大入試問題 (文理共通) に次のような問題がある.この問題はただ解くだけだとつまらない. 『バン () の定理』と呼ばれ「四面体のすべての面の面積が等しくなるのは等面四面体に限る」という内容の典雅な定理がある. もし, この定理を認めるならば京大の入試問題は非常に簡単である. つの面の面積が等しい四面体は, つの面の三角形がすべて合同な四面体, つまり等面四面体である. 等面四面体は直方体に埋め込まれるのだった. 一方, ねじれの位置にある辺がすべての組で互いに垂直な四面体を埋め込む平行六面体の面はひし形である. 両方を満足するのは立方体しかない. 立方体に埋め込まれる四面体は正四面体で…

東大入試問題から (3)

年の文理共通問題. まず, 直前の記事を確認して欲しい.【問】 【解】 この問題の場合が簡単なのは, の外心 に立てた垂線上に があり, の外心 に立てた垂線上に があることである. なぜなら だからである. と が相似であることを利用して を求めることにする. と の面積 は,これから, 外接円の半径 は, ( の公式を用いて)したがって,から,となる. //

空間の外心

次のことを幾何学的に証明しておこう. 球面は, 中心の位置と半径が与えられていれば描けるのだった. 同一平面上にない 点を通る球面をただ一つ作ることができる. 【証明】同一平面上にない つの点を , , , とする. つの点は同一平面上にないので, と は, 同一平面上にはない. の外心を とし, の外心を とする. 外心 , からそれぞれ に垂線を下ろすと, 両者の垂線の足は の中点で一致する. その中点を とする.直線 と は点 で交わっているから, この 直線を含む平面がただ一つ定まる. この平面を とする.直線 は, 直線 とも直線 とも垂直だから, その 直線を含む平面 と垂直である…

京大入試問題から (2)

年理系の問題だが, これも以前にやった証明をちょっと変えるだけである.【問】 【解】 四面体 の重心を とし, , の重心をそれぞれ , とする. また, の中点を とする. と が相似であることから, と は平行で, である. したがって, と も相似であり, である.下の図で, , , , はそれぞれ, 四面体 の辺 , , , の中点とする. 中点連結定理より, と は平行で, は の半分の長さである. 同様に と は平行で, は の半分の長さである. したがって, と は平行で長さが等しい. このことから, は同一平面にあって平行四辺形である. 平行四辺形の二つの対角線はそれぞれ他を二…

逆の証明 (三面角の存在条件)

面角についての定理を つ前の記事で紹介した. 与えられた つの平面角が つの 面角を作るための必要条件については, 以前の旧制中学の学習雑誌の記事に証明が書いてあるが, ここでは十分条件であることの証明をあげておきたい. 高校数学でしばしば役にたたないと揶揄される「三垂線の定理」の練習問題のような証明となっている. 与えられた つの平面角が つの 面角を作るために必要十分な条件は, そのいずれの平面角も他の つの和よりも小で, かつ つの平面角の和が よりも小であることである. 【十分条件であることの証明】 つの平面角を , , とし, そのうち, 最大のものを とする. 下の図のように, 点…

東大入試問題から (2)

年理科後期. これは, 前問までに分かったことを使えばあっという間に解ける.【解】 (1) 前の記事の図を下にそのまま流用させてもらって, , , とし, 直方体の辺の長さを , , とすれば, 問の の長さは の長さに他ならない. から,したがって,(2) 求める体積を とすると,とおいて,//

埋め込み

京都大学の有名な入試問題に, 三角形 を鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが に合同な四面体が存在することを証明せよ。 というのがある. という訳でもないが, 前の記事の問題は, 等面四面体の問題だったので, その図を使って直方体へ四面体を埋め込んだ図を書いてみた. もちろん, 直方体の辺の長さを最初に計算して出してしまえば, それまでのだが, それでは面白くないので, 別の方法で作成してみた.まず, 四面体の重心を求めて作図する方法がある. 四面体の頂点と, その頂点に向かいあっている三角形の面の重心を結んだ線 (全部で 本ある) は同一点で交わり, これを四面体の重心という. 四面体の…

東大入試問題から

年理科の入試問題から. いままでの延長で解ける.【問】 【解】 (1) 展開図を書くと の つの辺の中点を結んだものが になっている. 垂線の足 は, 前の記事でやったように, から辺 , から辺 , から辺 に下ろした垂線の交点であり, の垂心である. とおいて, から, で . とおいて, から, . したがって, . 天秤法により, と求まる. したがって,であるが, あとは と を と で表す計算をひたすらやれば,となる. まず切り口の平面が, 頂点 を含むときがすぐに作図できる. 他のところの切り口は、この切り口に平行である.まず, を求める. とおいて, 方べきの定理より,から, …

垂線の長さと足の位置

高校数学 (数 ) の参考書にあった問題.【問】 , , , である四面体 において, 頂点 から平面 に下ろした垂線 の長さを求めよ.【解】これも展開部分図を書いて垂線の足 がどこにあるか, 作図するのが早いだろう. 展開図の状態で, 四面体の頂点に相当する , から, それぞれ , に垂線を下ろし, その垂線の交点を とすれば, これが立体の状態で から平面 に下ろした垂線の足の位置である. ついでに垂線 の長さも作図で求めてみると, の位置から に直交する線を引いて, を中心とする半径 の円を描いて交点 を求めれば, が求める垂線の長さである.なぜなら, 最初の立体図で, 平面 は に垂…

京都大学入試問題から

年京都大学理系甲の問題である. 空間ベクトルで解くのが普通だろうが, (馬鹿らしいので) 敢えて使わずに高校入試問題的に解いてみる.【問】 【解】 点 から, に垂線を下ろし, その足を とする. と は垂直なので, は, 平面 と垂直である. したがって, は, と垂直である. 四面体の展開部分図を下に示す. なので, 四角形 は同一円周上にある. また, は円の直径である. 四角形 の対角線は直交しているので, , であることがすぐにわかる (円の中心から弦への垂線は弦の垂直二等分線である). 立体図に戻って, , は, 二等辺三角形の垂直二等分線である. したがって, , は, と直交す…

同一法

同一法による証明の例. 下の図のように直角三角形 の斜辺 の中点を とするならば というのをわざわざ同一法を使って証明してみる. 円周角は中学 年生にならないと習わない.【証明】 は鋭角だから, となるように線分 上に点 を必ずとれる. すると は二等辺三角形である. また, だから, であり, も二等辺三角形である。以上より, であり, 点 は線分 の中点 (線分 上に一点しかない) と一致する. したがって, で である. //

大学入試問題から

熊本大学の入試問題らしい.【問】 図の直方体において, 辺 , , , の中点をそれぞれ , , , とするとき, 次のことを証明せよ. 線分 , は同一平面上にある. 上の平面と線分 との交点は の中点である.【証明】 1) 辺 , の中点をそれぞれ , とする. 平面 において, 四角形 は平行四辺形 (長方形) であるから, と は長さが等しく平行である. 同様にして, と は長さが等しく平行である. いま, 上の点 を任意にとり, と点 を含む平面 を考える. と (平面 と平面 の交線) が平行なので, は平面 に平行である. したがって, は平面 と平面 の交線 (これを直線 とす…

展開図

某私立高校の 年度の入試問題【問】 下図は, 辺の長さが の正三角形 面と 辺の長さが , , の直角二等辺三角形 面できる六面体の一部である.(1) 残りの 面を解答用紙に記入せよ. (2) この六面体の体積を求めよ. (3) この六面体において, 点 , 間の距離を求めよ.【解】 (1) 落ち着いて問題文を読むと, 残り 面は, 直角二等辺三角形だとわかる.それと, 正三角形の部分だけ見ると正四面体の展開図の一部である. ※ には が重なり, には が重なる.(2) 四面体が つくっ付いた形なので, それぞれ計算して合計すればよい.(3) 対称面で切断すると, だから, から に垂線を下ろ…

都立日比谷高校入試問題から

年の問題である. で, は の外心だから, である. 中点連結定理より, は, とも とも垂直なので, は平面 と垂直である. したがって, は常に である. このことから, の面積が最小になるのは, の長さが最小となるときであることがわかる. そして, それは が と垂直のときである. なぜなら, が 上の他の位置にあるとき, その点を とすれば, は, 直角三角形となるが, 直角三角形の最大辺は直角の対辺である斜辺 となるからである (他の 角は鋭角である).より, したがって, となる.下の図のように, を相似の中心として, が 上の点 の位置にくるよう相似変換する (そのためには, と…

福島県公立高校入試問題から

年の問題である. 時間があるときは面白い問題である. 時間がないときは……。【解】 (1) (2)-①下の展開部分図で,である. ひし形 の面積を基準にとり, ひし形の面積を 倍とすると, の面積はその 倍であり, の面積は,倍である. したがって, (2)-②下の断面図で, だから,したがって,である. 正四面体 の体積は,三角錐 は, 正四面体 に対して底面積が 倍, 高さが 倍だから,答えは, である. //

東京都公立高校入試問題から

2022 年度である. 問 (2) は, すでに灘中の問題で出てきたように, 等体積の二つの三角錐に分割して求めるのが簡便だろう. 灘中の問題の場合はどちらの三角錐で体積を計算しても手間は変わらなかったが, こちらは変わるなあ. しかし, 空間図形の問題を捨てる必要がどこにあるのだろうか. なお, ここでは採らなかったが, から平面 への垂線の長さも求めることができる. その場合, 垂直な面を探すには, 立体の対称性を利用した方が早い. この場合, , の中点, の中点を含む平面が対称面となり, たとえば, は, と の中点を結んだ線に対しても, の中点と の中点を結んだ線に対しても垂直となる…

埼玉県公立高校入試問題から

年度の問題.【問】 下の図のように 辺が の立方体 があります. この立方体の対角線 上に, となる点 をとります. このとき, 次の問に答えなさい. と が相似であることを証明しなさい. 線分 の長さを求めなさい. つの点 , , , を頂点とする立体の体積を求めなさい.【解】 (1) 点 , , はひとつの平面を決定する. , から, は平面 に垂直である. したがって, である. 仮設より, である. ゆえに, となる. は共通角で等しい. 組の角が等しいので, と は相似である.(2)だから,答えは, である.(3) つ前の記事で示したのと同様にして, は, 平面 に平行である. した…

わかる幾何学

秋山武太郎の『わかる幾何學 立體篇』(昭和 七年) をパラパラと見ていたら, かなりの内容が, 以前感心したので紹介した昭和七年創刊の旧制中学生向けの学習雑誌の記事の内容とかぶっていることに気がついた. あの記事の内容は, 『わかる幾何學 立體篇』がベースにあるダイジェストなのだ. 道理で素晴らしいはずである. 秋山武太郎のことは, いろいろな人が書いているが, 湯川秀樹も『旅人』にこう書いている. ただ, ここに書いてある「わかる幾何学」は, 平面幾何の方だとは思うが内容は未見である. 幾何学によって、私は考えることの喜びを教えられたのである。何時間かかっても解けないような問題に出会うと、フ…

別解?

ネットを見ていたら, 下図において, 側面がすべて長方形の三角柱で, , , , のとき, 点 から, 平面 に下ろした垂線の長さを求めよという問題があった.普通に三角錐の体積から求めれば良いのだが, 別解といわれる方法がどうもしっくりこないので, じゃあ自分だったらどう解くのか考えてみた. まず, は とも とも垂直なので, は, 平面 に垂直である. 平面 は, を含むので, 平面 と平面 は垂直である. 二つの平面の交線は であり, したがって, から平面 に下ろした垂線の長さは, 交線 に下ろした垂線 の長さである.ところで直線 は平面 に含まれているが, 平面 と平面 の交線は, 直…

灘中の入試問題から

年の入試問題である.【問】 【解】 ① 四角錐を点 , , を含む平面で切断して, 三角すい , の体積の和として求めればよいが, どちらも同じ体積なので, 片方の体積のみ求めて 倍すればよい. 答えは ② あまり上手く作図できなかったけれど, 求めるものは四角すい の体積である. 同じようにして, 三角すい , の体積の和として求める.三角形の相似から 今度は天秤法を使って, の体積は, の体積の であり, の体積は, の体積の である. したがって, 求める四角すい の体積は, //